MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqom0g Structured version   Unicode version

Theorem seqom0g 7039
Description: Value of an index-aware recursive definition at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqom.a  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
Assertion
Ref Expression
seqom0g  |-  ( I  e.  _V  ->  ( G `  (/) )  =  I )

Proof of Theorem seqom0g
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqom.a . . . . 5  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
2 df-seqom 7031 . . . . 5  |- seq𝜔 ( F ,  I
)  =  ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om )
31, 2eqtri 2411 . . . 4  |-  G  =  ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om )
43fveq1i 5775 . . 3  |-  ( G `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  (/) )
5 seqomlem0 7032 . . . 4  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
65seqomlem3 7035 . . 3  |-  ( ( rec ( ( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
) " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )
74, 6eqtri 2411 . 2  |-  ( G `
 (/) )  =  (  _I  `  I )
8 fvi 5831 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (  _I  `  I )  =  I )
97, 8syl5eq 2435 1  |-  ( I  e.  _V  ->  ( G `  (/) )  =  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   (/)c0 3711   <.cop 3950    _I cid 4704   suc csuc 4794   "cima 4916   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   omcom 6599   reccrdg 6993  seq𝜔cseqom 7030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-seqom 7031
This theorem is referenced by:  cantnfvalf  7997  cantnfval2  8001  cantnflt  8004  cantnff  8006  cantnf0  8007  cantnfp1lem3  8012  cantnf  8025  cantnfval2OLD  8031  cantnfltOLD  8034  cantnfp1lem3OLD  8038  cantnfOLD  8047  cnfcom  8057  cnfcomOLD  8065  fseqenlem1  8318  fin23lem14  8626  fin23lem16  8628
  Copyright terms: Public domain W3C validator