MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqom0g Structured version   Unicode version

Theorem seqom0g 6932
Description: Value of an index-aware recursive definition at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqom.a  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
Assertion
Ref Expression
seqom0g  |-  ( I  e.  _V  ->  ( G `  (/) )  =  I )

Proof of Theorem seqom0g
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqom.a . . . . 5  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
2 df-seqom 6924 . . . . 5  |- seq𝜔 ( F ,  I
)  =  ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om )
31, 2eqtri 2463 . . . 4  |-  G  =  ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om )
43fveq1i 5713 . . 3  |-  ( G `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  (/) )
5 seqomlem0 6925 . . . 4  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
65seqomlem3 6928 . . 3  |-  ( ( rec ( ( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
) " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )
74, 6eqtri 2463 . 2  |-  ( G `
 (/) )  =  (  _I  `  I )
8 fvi 5769 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (  _I  `  I )  =  I )
97, 8syl5eq 2487 1  |-  ( I  e.  _V  ->  ( G `  (/) )  =  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993   (/)c0 3658   <.cop 3904    _I cid 4652   suc csuc 4742   "cima 4864   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   omcom 6497   reccrdg 6886  seq𝜔cseqom 6923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-seqom 6924
This theorem is referenced by:  cantnfvalf  7894  cantnfval2  7898  cantnflt  7901  cantnff  7903  cantnf0  7904  cantnfp1lem3  7909  cantnf  7922  cantnfval2OLD  7928  cantnfltOLD  7931  cantnfp1lem3OLD  7935  cantnfOLD  7944  cnfcom  7954  cnfcomOLD  7962  fseqenlem1  8215  fin23lem14  8523  fin23lem16  8525
  Copyright terms: Public domain W3C validator