MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqom0g Structured version   Unicode version

Theorem seqom0g 7133
Description: Value of an index-aware recursive definition at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqom.a  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
Assertion
Ref Expression
seqom0g  |-  ( I  e.  _V  ->  ( G `  (/) )  =  I )

Proof of Theorem seqom0g
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqom.a . . . . 5  |-  G  = seq𝜔 ( F ,  I )
2 df-seqom 7125 . . . . 5  |- seq𝜔 ( F ,  I
)  =  ( rec ( ( a  e. 
om ,  b  e. 
_V  |->  <. suc  a , 
( a F b ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. ) " om )
31, 2eqtri 2496 . . . 4  |-  G  =  ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om )
43fveq1i 5873 . . 3  |-  ( G `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( a  e.  om , 
b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >.
) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. ) " om ) `  (/) )
5 seqomlem0 7126 . . . 4  |-  rec (
( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b )
>. ) ,  <. (/) ,  (  _I  `  I )
>. )  =  rec ( ( c  e. 
om ,  d  e. 
_V  |->  <. suc  c , 
( c F d ) >. ) ,  <. (/)
,  (  _I  `  I ) >. )
65seqomlem3 7129 . . 3  |-  ( ( rec ( ( a  e.  om ,  b  e.  _V  |->  <. suc  a ,  ( a F b ) >. ) ,  <. (/) ,  (  _I 
`  I ) >.
) " om ) `  (/) )  =  (  _I  `  I )
74, 6eqtri 2496 . 2  |-  ( G `
 (/) )  =  (  _I  `  I )
8 fvi 5931 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  (  _I  `  I )  =  I )
97, 8syl5eq 2520 1  |-  ( I  e.  _V  ->  ( G `  (/) )  =  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   <.cop 4039    _I cid 4796   suc csuc 4886   "cima 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   omcom 6695   reccrdg 7087  seq𝜔cseqom 7124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-seqom 7125
This theorem is referenced by:  cantnfvalf  8096  cantnfval2  8100  cantnflt  8103  cantnff  8105  cantnf0  8106  cantnfp1lem3  8111  cantnf  8124  cantnfval2OLD  8130  cantnfltOLD  8133  cantnfp1lem3OLD  8137  cantnfOLD  8146  cnfcom  8156  cnfcomOLD  8164  fseqenlem1  8417  fin23lem14  8725  fin23lem16  8727
  Copyright terms: Public domain W3C validator