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Theorem seqof2 12129
Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 12128. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
seqof2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
seqof2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqof2.3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  B )
seqof2.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  z  e.  A ) )  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
seqof2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  oF  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( z  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, A    x, M, z    x, N, z    ph, x, z   
z,  .+    x, B
Allowed substitution hints:    B( z)    .+ ( x)    V( x, z)    W( x, z)    X( x, z)

Proof of Theorem seqof2
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqof2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 seqof2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ x
( ph  /\  n  e.  ( M ... N
) )
4 nffvmpt1 5872 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )
5 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
6 nffvmpt1 5872 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  X ) `  n )
75, 6nfmpt 4535 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
84, 7nfeq 2640 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
93, 8nfim 1867 . . . . 5  |-  F/ x
( ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
10 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
1110anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) ) ) )
12 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n ) )
13 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
1413mpteq2dv 4534 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x
) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 x )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) ) )
1611, 15imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 x )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) ) ) )
17 seqof2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  B )
1817sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  B )
191adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  V )
20 mptexg 6128 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
z  e.  A  |->  X )  e.  _V )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( z  e.  A  |->  X )  e.  _V )
22 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) )
2322fvmpt2 5955 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( z  e.  A  |->  X )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x )  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
2418, 21, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x
)  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
2518adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  B )
26 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  ph )
27 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
28 seqof2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  z  e.  A ) )  ->  X  e.  W )
2926, 25, 27, 28syl12anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  X  e.  W )
30 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  X )  =  ( x  e.  B  |->  X )
3130fvmpt2 5955 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  X  e.  W )  ->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x )  =  X )
3225, 29, 31syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  x
)  =  X )
3332mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) )  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
3424, 33eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) ) )
359, 16, 34chvar 1982 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
36 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ y
( ( x  e.  B  |->  X ) `  n )
37 nfcsb1v 3451 . . . . . 6  |-  F/_ z [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X )
38 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ z
n
3937, 38nffv 5871 . . . . 5  |-  F/_ z
( [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) `  n
)
40 csbeq1a 3444 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  B  |->  X )  =  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) )
4140fveq1d 5866 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  n
)  =  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
4236, 39, 41cbvmpt 4537 . . . 4  |-  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
4335, 42syl6eq 2524 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
441, 2, 43seqof 12128 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  oF  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( y  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) `  N
) ) )
45 nfcv 2629 . . 3  |-  F/_ y
(  seq M (  .+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `
 N )
46 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ z M
47 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ z  .+
4846, 47, 37nfseq 12081 . . . 4  |-  F/_ z  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) )
49 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ z N
5048, 49nffv 5871 . . 3  |-  F/_ z
(  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N )
5140seqeq3d 12079 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  seq M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) )  =  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) )
5251fveq1d 5866 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (  seq M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) )
5345, 50, 52cbvmpt 4537 . 2  |-  ( z  e.  A  |->  (  seq M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) )  =  ( y  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) `  N
) )
5444, 53syl6eqr 2526 1  |-  ( ph  ->  (  seq M (  oF  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( z  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   [_csb 3435    C_ wss 3476    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668    seqcseq 12071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072
This theorem is referenced by:  mtestbdd  22534  lgamgulm2  28218  lgamcvglem  28222
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