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Theorem seqof2 11860
Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 11859. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
seqof2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
seqof2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqof2.3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  B )
seqof2.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  z  e.  A ) )  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
seqof2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  oF  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( z  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, A    x, M, z    x, N, z    ph, x, z   
z,  .+    x, B
Allowed substitution hints:    B( z)    .+ ( x)    V( x, z)    W( x, z)    X( x, z)

Proof of Theorem seqof2
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqof2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 seqof2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ x
( ph  /\  n  e.  ( M ... N
) )
4 nffvmpt1 5696 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )
5 nfcv 2577 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
6 nffvmpt1 5696 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  X ) `  n )
75, 6nfmpt 4377 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
84, 7nfeq 2584 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
93, 8nfim 1857 . . . . 5  |-  F/ x
( ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
10 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
1110anbi2d 698 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) ) ) )
12 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n ) )
13 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
1413mpteq2dv 4376 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x
) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 x )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) ) )
1611, 15imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 x )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) ) ) )
17 seqof2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  B )
1817sselda 3353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  B )
191adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  V )
20 mptexg 5944 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
z  e.  A  |->  X )  e.  _V )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( z  e.  A  |->  X )  e.  _V )
22 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) )
2322fvmpt2 5778 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( z  e.  A  |->  X )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x )  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
2418, 21, 23syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x
)  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
2518adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  B )
26 simpll 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  ph )
27 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
28 seqof2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  z  e.  A ) )  ->  X  e.  W )
2926, 25, 27, 28syl12anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  X  e.  W )
30 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  X )  =  ( x  e.  B  |->  X )
3130fvmpt2 5778 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  X  e.  W )  ->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x )  =  X )
3225, 29, 31syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  x
)  =  X )
3332mpteq2dva 4375 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) )  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
3424, 33eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) ) )
359, 16, 34chvar 1962 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
36 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ y
( ( x  e.  B  |->  X ) `  n )
37 nfcsb1v 3301 . . . . . 6  |-  F/_ z [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X )
38 nfcv 2577 . . . . . 6  |-  F/_ z
n
3937, 38nffv 5695 . . . . 5  |-  F/_ z
( [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) `  n
)
40 csbeq1a 3294 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  B  |->  X )  =  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) )
4140fveq1d 5690 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  n
)  =  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
4236, 39, 41cbvmpt 4379 . . . 4  |-  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
4335, 42syl6eq 2489 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
441, 2, 43seqof 11859 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  oF  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( y  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) `  N
) ) )
45 nfcv 2577 . . 3  |-  F/_ y
(  seq M (  .+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `
 N )
46 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ z M
47 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ z  .+
4846, 47, 37nfseq 11812 . . . 4  |-  F/_ z  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) )
49 nfcv 2577 . . . 4  |-  F/_ z N
5048, 49nffv 5695 . . 3  |-  F/_ z
(  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N )
5140seqeq3d 11810 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  seq M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) )  =  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) )
5251fveq1d 5690 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (  seq M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) )
5345, 50, 52cbvmpt 4379 . 2  |-  ( z  e.  A  |->  (  seq M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) )  =  ( y  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) `  N
) )
5444, 53syl6eqr 2491 1  |-  ( ph  ->  (  seq M (  oF  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( z  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   [_csb 3285    C_ wss 3325    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433    seqcseq 11802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803
This theorem is referenced by:  mtestbdd  21829  lgamgulm2  26952  lgamcvglem  26956
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