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Theorem seqof2 11879
Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 11878. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
seqof2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
seqof2.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqof2.3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  B )
seqof2.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  z  e.  A ) )  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
seqof2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  oF  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( z  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, A    x, M, z    x, N, z    ph, x, z   
z,  .+    x, B
Allowed substitution hints:    B( z)    .+ ( x)    V( x, z)    W( x, z)    X( x, z)

Proof of Theorem seqof2
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqof2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 seqof2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ x
( ph  /\  n  e.  ( M ... N
) )
4 nffvmpt1 5714 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )
5 nfcv 2589 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
6 nffvmpt1 5714 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  X ) `  n )
75, 6nfmpt 4395 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
84, 7nfeq 2599 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
93, 8nfim 1853 . . . . 5  |-  F/ x
( ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
10 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
1110anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) ) ) )
12 fveq2 5706 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n ) )
13 fveq2 5706 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
1413mpteq2dv 4394 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x
) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 x )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) )  <->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) ) )
1611, 15imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 x )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `
 n )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) ) ) )
17 seqof2.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  B )
1817sselda 3371 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  B )
191adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  V )
20 mptexg 5962 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
z  e.  A  |->  X )  e.  _V )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( z  e.  A  |->  X )  e.  _V )
22 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) )
2322fvmpt2 5796 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( z  e.  A  |->  X )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x )  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
2418, 21, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x
)  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
2518adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  B )
26 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  ph )
27 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
28 seqof2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  z  e.  A ) )  ->  X  e.  W )
2926, 25, 27, 28syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  X  e.  W )
30 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  X )  =  ( x  e.  B  |->  X )
3130fvmpt2 5796 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  X  e.  W )  ->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x )  =  X )
3225, 29, 31syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  x
)  =  X )
3332mpteq2dva 4393 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) )  =  ( z  e.  A  |->  X ) )
3424, 33eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  x
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  x ) ) )
359, 16, 34chvar 1957 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
36 nfcv 2589 . . . . 5  |-  F/_ y
( ( x  e.  B  |->  X ) `  n )
37 nfcsb1v 3319 . . . . . 6  |-  F/_ z [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X )
38 nfcv 2589 . . . . . 6  |-  F/_ z
n
3937, 38nffv 5713 . . . . 5  |-  F/_ z
( [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) `  n
)
40 csbeq1a 3312 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  B  |->  X )  =  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) )
4140fveq1d 5708 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  B  |->  X ) `  n
)  =  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
4236, 39, 41cbvmpt 4397 . . . 4  |-  ( z  e.  A  |->  ( ( x  e.  B  |->  X ) `  n ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) )
4335, 42syl6eq 2491 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) `  n
)  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) `  n ) ) )
441, 2, 43seqof 11878 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  oF  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( y  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) `  N
) ) )
45 nfcv 2589 . . 3  |-  F/_ y
(  seq M (  .+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `
 N )
46 nfcv 2589 . . . . 5  |-  F/_ z M
47 nfcv 2589 . . . . 5  |-  F/_ z  .+
4846, 47, 37nfseq 11831 . . . 4  |-  F/_ z  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) )
49 nfcv 2589 . . . 4  |-  F/_ z N
5048, 49nffv 5713 . . 3  |-  F/_ z
(  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N )
5140seqeq3d 11829 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  seq M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) )  =  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) )
5251fveq1d 5708 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (  seq M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  [_ y  /  z ]_ ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) )
5345, 50, 52cbvmpt 4397 . 2  |-  ( z  e.  A  |->  (  seq M (  .+  , 
( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) )  =  ( y  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  [_ y  /  z ]_ (
x  e.  B  |->  X ) ) `  N
) )
5444, 53syl6eqr 2493 1  |-  ( ph  ->  (  seq M (  oF  .+  , 
( x  e.  B  |->  ( z  e.  A  |->  X ) ) ) `
 N )  =  ( z  e.  A  |->  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  B  |->  X ) ) `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987   [_csb 3303    C_ wss 3343    e. cmpt 4365   ` cfv 5433  (class class class)co 6106    oFcof 6333   ZZ>=cuz 10876   ...cfz 11452    seqcseq 11821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-seq 11822
This theorem is referenced by:  mtestbdd  21885  lgamgulm2  27037  lgamcvglem  27041
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