MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid3 Structured version   Unicode version

Theorem seqid3 12153
Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity  Z is for operation  .+) sums to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid3.1  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
seqid3.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqid3.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  =  Z )
Assertion
Ref Expression
seqid3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, F    x, M    ph, x    x, Z    x, N

Proof of Theorem seqid3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqid3.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 seqid3.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  =  Z )
3 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
43elsnc 4056 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  { Z }  <->  ( F `  x )  =  Z )
52, 4sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  { Z } )
6 seqid3.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
7 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( Z 
.+  Z )  e. 
_V
87elsnc 4056 . . . . . 6  |-  ( ( Z  .+  Z )  e.  { Z }  <->  ( Z  .+  Z )  =  Z )
96, 8sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } )
10 elsni 4057 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { Z }  ->  x  =  Z )
11 elsni 4057 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { Z }  ->  y  =  Z )
1210, 11oveqan12d 6315 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  =  ( Z  .+  Z ) )
1312eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
( x  .+  y
)  e.  { Z } 
<->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } ) )
149, 13syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  e.  { Z } ) )
1514imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  { Z } )
161, 5, 15seqcl 12129 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e. 
{ Z } )
17 elsni 4057 . 2  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  { Z }  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  Z )
1816, 17syl 16 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697    seqcseq 12109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12110
This theorem is referenced by:  seqid  12154  ser0  12161  prodf1  13711  gsumval2  16033  mulgnn0z  16288  gsumval3OLD  17034  gsumval3  17037  lgsval2lem  23706
  Copyright terms: Public domain W3C validator