MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid3 Structured version   Unicode version

Theorem seqid3 12254
Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity  Z is for operation  .+) sums to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid3.1  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
seqid3.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqid3.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  =  Z )
Assertion
Ref Expression
seqid3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, F    x, M    ph, x    x, Z    x, N

Proof of Theorem seqid3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqid3.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 seqid3.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  =  Z )
3 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
43elsnc 4026 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  { Z }  <->  ( F `  x )  =  Z )
52, 4sylibr 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  { Z } )
6 seqid3.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  =  Z )
7 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( Z 
.+  Z )  e. 
_V
87elsnc 4026 . . . . . 6  |-  ( ( Z  .+  Z )  e.  { Z }  <->  ( Z  .+  Z )  =  Z )
96, 8sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } )
10 elsni 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { Z }  ->  x  =  Z )
11 elsni 4027 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { Z }  ->  y  =  Z )
1210, 11oveqan12d 6324 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  =  ( Z  .+  Z ) )
1312eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
( x  .+  y
)  e.  { Z } 
<->  ( Z  .+  Z
)  e.  { Z } ) )
149, 13syl5ibrcom 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ Z }  /\  y  e.  { Z } )  ->  (
x  .+  y )  e.  { Z } ) )
1514imp 430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { Z }  /\  y  e.  { Z } ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  { Z } )
161, 5, 15seqcl 12230 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  e. 
{ Z } )
17 elsni 4027 . 2  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  { Z }  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  Z )
1816, 17syl 17 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782    seqcseq 12210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211
This theorem is referenced by:  seqid  12255  ser0  12262  prodf1  13925  gsumval2  16474  mulgnn0z  16729  gsumval3  17476  lgsval2lem  24097
  Copyright terms: Public domain W3C validator