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Theorem seqhomo 12257
Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqhomo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqhomo.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqhomo.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
seqhomo.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
seqhomo  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, H, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, G   
x,  .+ , y    x, Q, y    x, S, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem seqhomo
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqhomo.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11805 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )
65fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) ) )
7 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M
) )
86, 7eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  M )
) )
94, 8imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
109imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) ) ) ) )
11 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
12 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )
1312fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
14 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n
) )
1513, 14eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) )
1611, 15imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) ) )
1716imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) ) )
18 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
19 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2019fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
21 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
2220, 21eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
2318, 22imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
2423imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
25 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
26 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
2726fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
28 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N
) )
2927, 28eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  N )
) )
3025, 29imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  N )
) ) )
3130imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) ) )
32 eluzfz1 11804 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
331, 32syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
34 seqhomo.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
3534ralrimiva 2846 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x ) )
36 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
3736fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  M )
) )
38 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
3937, 38eqeq12d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  M
) )  =  ( G `  M ) ) )
4039rspcv 3184 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  ( H `  ( F `  M ) )  =  ( G `  M
) ) )
4133, 35, 40sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  ( F `  M )
)  =  ( G `
 M ) )
42 eluzel2 11164 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
43 seq1 12223 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
441, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4544fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  ( H `  ( F `
 M ) ) )
46 seq1 12223 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
471, 42, 463syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
4841, 45, 473eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) )
4948a1d 26 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) ) )
5049a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
51 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
52 simprr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
53 peano2fzr 11810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5451, 52, 53syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5554expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
5655imim1d 78 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) )
57 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
58 seqp1 12225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5958ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6059fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
61 seqhomo.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
6261ralrimivva 2853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) ) )
6362adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( H `  x
) Q ( H `
 y ) ) )
64 elfzuz3 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
65 fzss2 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6654, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6766sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
68 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6968adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
7067, 69syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
71 seqhomo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7271adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7351, 70, 72seqcl 12230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
7468ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
7574adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
76 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
7776eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
7877rspcv 3184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
7952, 75, 78sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
)
80 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)
8180fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
) )
82 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
8382oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) )
8481, 83eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) ) )
85 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8685fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
87 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8887oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8986, 88eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9084, 89rspc2v 3197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  e.  S  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
9173, 79, 90syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9263, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
9335adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( H `  ( F `  x ) )  =  ( G `
 x ) )
9476fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
95 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
9694, 95eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
9796rspcv 3184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
9852, 93, 97sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
9998oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
10060, 92, 993eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
101 seqp1 12225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
102101ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
103100, 102eqeq12d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) )  <->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
10457, 103syl5ibr 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) )
105104expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
106105a2d 29 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
10756, 106syld 45 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
108107expcom 436 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
109108a2d 29 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
11010, 17, 24, 31, 50, 109uzind4 11217 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) )
1111, 110mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) )
1123, 111mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782    C_ wss 3442   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1c1 9539    + caddc 9541   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782    seqcseq 12210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211
This theorem is referenced by:  seqfeq4  12259  seqdistr  12261  seqof  12267  fsumrelem  13845  efcj  14124  gsumwmhm  16580  gsumzmhm  17505  elqaalem2  23141  logfac  23415  gamcvg2lem  23849  prmorcht  23968  pclogsum  24006
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