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Theorem seqhomo 12122
Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqhomo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqhomo.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqhomo.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
seqhomo.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
seqhomo  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, H, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, G   
x,  .+ , y    x, Q, y    x, S, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem seqhomo
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqhomo.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11694 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )
65fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) ) )
7 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M
) )
86, 7eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  M )
) )
94, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) ) ) ) )
11 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
12 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )
1312fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
14 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n
) )
1513, 14eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) )
1611, 15imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) ) )
1716imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) ) )
18 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
19 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2019fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
21 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
2220, 21eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
2318, 22imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
2423imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
25 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
26 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
2726fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
28 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N
) )
2927, 28eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  N )
) )
3025, 29imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  N )
) ) )
3130imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) ) )
32 eluzfz1 11693 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
34 seqhomo.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
3534ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x ) )
36 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
3736fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  M )
) )
38 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
3937, 38eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  M
) )  =  ( G `  M ) ) )
4039rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  ( H `  ( F `  M ) )  =  ( G `  M
) ) )
4133, 35, 40sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  ( F `  M )
)  =  ( G `
 M ) )
42 eluzel2 11087 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
43 seq1 12088 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
441, 42, 433syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4544fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  ( H `  ( F `
 M ) ) )
46 seq1 12088 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
471, 42, 463syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
4841, 45, 473eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) )
4948a1d 25 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) ) )
5049a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
51 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
52 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
53 peano2fzr 11699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5451, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5554expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
5655imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) )
57 oveq1 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
58 seqp1 12090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5958ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6059fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
61 seqhomo.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
6261ralrimivva 2885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) ) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( H `  x
) Q ( H `
 y ) ) )
64 elfzuz3 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
65 fzss2 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6654, 64, 653syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6766sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
68 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6968adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
7067, 69syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
71 seqhomo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7271adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7351, 70, 72seqcl 12095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
7468ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
76 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
7776eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
7877rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
7952, 75, 78sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
)
80 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)
8180fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
) )
82 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
8382oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) )
8481, 83eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) ) )
85 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8685fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
87 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8887oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8986, 88eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9084, 89rspc2v 3223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  e.  S  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
9173, 79, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9263, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
9335adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( H `  ( F `  x ) )  =  ( G `
 x ) )
9476fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
95 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
9694, 95eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
9796rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
9852, 93, 97sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
9998oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
10060, 92, 993eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
101 seqp1 12090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
102101ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
103100, 102eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) )  <->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
10457, 103syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) )
105104expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
106105a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
10756, 106syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
108107expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
109108a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
11010, 17, 24, 31, 50, 109uzind4 11139 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) )
1111, 110mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) )
1123, 111mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1c1 9493    + caddc 9495   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672    seqcseq 12075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076
This theorem is referenced by:  seqfeq4  12124  seqdistr  12126  seqof  12132  fsumrelem  13584  efcj  13689  gsumwmhm  15845  gsumzmhm  16760  gsumzmhmOLD  16761  elqaalem2  22478  logfac  22741  prmorcht  23208  pclogsum  23246  gamcvg2lem  28269
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