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Theorem seqhomo 11325
Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqhomo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqhomo.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqhomo.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
seqhomo.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
seqhomo  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, H, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, G   
x,  .+ , y    x, Q, y    x, S, y
Allowed substitution hint:    G( y)

Proof of Theorem seqhomo
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqhomo.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11021 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  M
) )
65fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  M )
) )
7 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  M
) )
86, 7eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  M )
) )
94, 8imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M ) ) ) ) )
11 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
12 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) )
1312fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
14 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) )
1513, 14eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
) )
1611, 15imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
) ) )
1716imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) ) )
18 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
19 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2019fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
21 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
2220, 21eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
2318, 22imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2423imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
25 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
26 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  N
) )
2726fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  N )
) )
28 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  N
) )
2927, 28eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  N )
) )
3025, 29imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  N )
) ) )
3130imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  x )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) ) )
32 eluzfz1 11020 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
34 seqhomo.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
3534ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x ) )
36 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
3736fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  M )
) )
38 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
3937, 38eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  M
) )  =  ( G `  M ) ) )
4039rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  ( H `  ( F `  M ) )  =  ( G `  M
) ) )
4133, 35, 40sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  ( F `  M )
)  =  ( G `
 M ) )
42 eluzel2 10449 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
43 seq1 11291 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
441, 42, 433syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4544fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  ( H `  ( F `
 M ) ) )
46 seq1 11291 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
471, 42, 463syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( Q ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
4841, 45, 473eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M ) )
4948a1d 23 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  M ) ) )
5049a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
51 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
52 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
53 peano2fzr 11025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5451, 52, 53syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5554expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
5655imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) )
57 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H `  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
58 seqp1 11293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5958ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6059fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
61 seqhomo.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
6261ralrimivva 2758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) ) )
6362adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( H `  x
) Q ( H `
 y ) ) )
64 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
65 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6654, 64, 653syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6766sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
68 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6968adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
7067, 69syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
71 seqhomo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7271adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7351, 70, 72seqcl 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )  e.  S )
7468ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
7574adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
76 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
7776eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
7877rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )
7952, 75, 78sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
)
80 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)
8180fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
) )
82 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
8382oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) )
8481, 83eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) ) )
85 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  .+  y
)  =  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8685fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
87 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8887oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq 
M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8986, 88eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (
(  seq  M (  .+  ,  F ) `  n )  .+  y
) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9084, 89rspc2v 3018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  e.  S  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) )  ->  ( H `  ( (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
9173, 79, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  ->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9263, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
9335adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( H `  ( F `  x ) )  =  ( G `
 x ) )
9476fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
95 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
9694, 95eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
9796rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x )  ->  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
9852, 93, 97sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
9998oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
10060, 92, 993eqtrd 2440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
101 seqp1 11293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M ( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
102101ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq  M ( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
103100, 102eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  <->  ( ( H `
 (  seq  M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
10457, 103syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  n )
)  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  n
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
105104expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
106105a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
10756, 106syld 42 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
108107expcom 425 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq 
M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
109108a2d 24 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  n )
) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq  M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq  M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
11010, 17, 24, 31, 50, 109uzind4 10490 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) )
1111, 110mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) ) )
1123, 111mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq  M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  M ( Q ,  G ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947    + caddc 8949   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278
This theorem is referenced by:  seqfeq4  11327  seqdistr  11329  seqof  11335  fsumrelem  12541  efcj  12649  gsumwmhm  14745  gsumzmhm  15488  elqaalem2  20190  logfac  20448  prmorcht  20914  pclogsum  20952  gamcvg2lem  24796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279
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