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Theorem seqfveq2 11824
Description: Equality of sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfveq2.1  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqfveq2.2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  ( G `  K
) )
seqfveq2.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seqfveq2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
Assertion
Ref Expression
seqfveq2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, K    k, N    ph, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    M( k)

Proof of Theorem seqfveq2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfveq2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
2 eluzfz2 11455 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ( K ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( K ... N ) )
4 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
x  e.  ( K ... N )  <->  K  e.  ( K ... N ) ) )
5 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  K
) )
6 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  K
) )
75, 6eqeq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  K )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) ) )
84, 7imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 x ) )  <-> 
( K  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  K )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) ) ) )
98imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( K  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  K )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) ) ) ) )
10 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( K ... N )  <->  n  e.  ( K ... N ) ) )
11 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )
12 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
) )
1311, 12eqeq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) )
1410, 13imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 x ) )  <-> 
( n  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) ) )
1514imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) ) ) )
16 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( K ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N
) ) )
17 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
18 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1917, 18eqeq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq K
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
2016, 19imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 x ) )  <-> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq K
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
2120imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  (  seq K
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
22 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( K ... N )  <->  N  e.  ( K ... N ) ) )
23 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
24 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  N
) )
2523, 24eqeq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) )
2622, 25imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  x )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 x ) )  <-> 
( N  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) ) )
2726imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) ) ) )
28 seqfveq2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  ( G `  K
) )
29 seqfveq2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
30 eluzelz 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
32 seq1 11815 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (  seq K (  .+  ,  G ) `  K
)  =  ( G `
 K ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 K )  =  ( G `  K
) )
3428, 33eqtr4d 2476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 K )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) )
3534a1d 25 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  K )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 K ) ) )
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( K  e.  ( K ... N
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  K
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  K
) ) ) )
37 peano2fzr 11459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )  ->  n  e.  ( K ... N ) )
3837adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  n  e.  ( K ... N ) )
3938expr 612 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  n  e.  ( K ... N
) ) )
4039imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
n  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
) ) ) )
41 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
)  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
42 simpl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( K ... N ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K ) )
43 uztrn 10873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4442, 29, 43syl2anr 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
45 seqp1 11817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
47 seqp1 11817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4847ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
49 eluzp1p1 10882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
5049ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
51 elfzuz3 11446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
5251ad2antll 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
53 elfzuzb 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ) )
5450, 52, 53sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )
55 seqfveq2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
5655ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
5756adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  A. k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
58 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
59 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
6058, 59eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 k )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
6160rspcv 3066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  ( A. k  e.  (
( K  +  1 ) ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 k )  -> 
( F `  (
n  +  1 ) )  =  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
6254, 57, 61sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
6362oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
6448, 63eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6546, 64eqeq12d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  <->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
6641, 65syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( K ... N ) ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
6766expr 612 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
6867a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
6940, 68syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
n  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7069expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( K ... N
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (
( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
7170a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( K ... N
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  n
) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  (  seq K (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
729, 15, 21, 27, 36, 71uzind4 10908 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) ) )
731, 72mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( K ... N )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) )
743, 73mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq K ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1c1 9279    + caddc 9281   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433    seqcseq 11802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803
This theorem is referenced by:  seqfeq2  11825  seqfveq  11826  seqz  11850
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