MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfveq Structured version   Unicode version

Theorem seqfveq 11950
Description: Equality of sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfveq.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqfveq.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
Assertion
Ref Expression
seqfveq  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    .+ ( k)

Proof of Theorem seqfveq
StepHypRef Expression
1 seqfveq.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzel2 10980 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 uzid 10989 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 seq1 11939 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
73, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
8 eluzfz1 11578 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
10 seqfveq.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
1110ralrimiva 2830 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  =  ( G `
 k ) )
12 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
13 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  k )  =  ( G `  M ) )
1412, 13eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  =  ( G `
 k )  <->  ( F `  M )  =  ( G `  M ) ) )
1514rspcv 3175 . . . 4  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  =  ( G `  k )  ->  ( F `  M )  =  ( G `  M ) ) )
169, 11, 15sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( G `
 M ) )
177, 16eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
18 fzp1ss 11626 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
193, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
2019sselda 3467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
2120, 10syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( F `  k )  =  ( G `  k ) )
225, 17, 1, 21seqfveq2 11948 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    C_ wss 3439   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9397    + caddc 9399   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   ...cfz 11557    seqcseq 11926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-seq 11927
This theorem is referenced by:  seqfeq  11951  seqf1olem2  11966  seqf1o  11967  sumeq2ii  13291  fsum  13318  fsumser  13328  gsumccat  15641  gsumzaddlem  16532  gsumzaddlemOLD  16534  gsumconst  16552  wilthlem3  22544  gsumnunsn  27101  prodeq2ii  27590  fprod  27618  fprodntriv  27619  mblfinlem2  28597
  Copyright terms: Public domain W3C validator