MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfn Structured version   Unicode version

Theorem seqfn 12232
Description: The sequence builder function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqfn  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )

Proof of Theorem seqfn
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 12223 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
2 fveq2 5882 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
31, 2fneq12d 5686 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  M )  <->  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 0z 10956 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
54elimel 3973 . . 3  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
6 eqid 2422 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
7 fvex 5892 . . 3  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
8 eqid 2422 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
98seqval 12231 . . 3  |-  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
105, 6, 7, 8, 9uzrdgfni 12179 . 2  |-  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
113, 10dedth 3962 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080   ifcif 3911   <.cop 4004    |-> cmpt 4482    |` cres 4855    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    |-> cmpt2 6308   omcom 6707   reccrdg 7139   0cc0 9547   1c1 9548    + caddc 9550   ZZcz 10945   ZZ>=cuz 11167    seqcseq 12220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-seq 12221
This theorem is referenced by:  seqf2  12239  seqfeq2  12243  seqfeq  12245  seqfeq3  12270  ser0f  12273  facnn  12468  fac0  12469  seqshft  13149  prodf1f  13948  efcvgfsum  14140  seq1st  14530  prmrec  14866  gsumpropd2lem  16516  ovolunlem1  22449  ovoliunlem1  22454  volsup  22508  mtest  23358  mtestbdd  23359  pserulm  23376  pserdvlem2  23382  emcllem5  23924  lgamgulm2  23960  lgamcvglem  23964  gamcvg2lem  23983  esumfsup  28900  esumpcvgval  28908  esumcvg  28916  esumcvgsum  28918  esumsup  28919  sseqfv1  29231  sseqfn  29232  sseqfv2  29236  faclimlem1  30387  mblfinlem2  31943  ovoliunnfl  31947  voliunnfl  31949
  Copyright terms: Public domain W3C validator