MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfn Structured version   Unicode version

Theorem seqfn 11817
Description: The sequence builder function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqfn  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )

Proof of Theorem seqfn
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 11808 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
2 fveq2 5690 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
31, 2fneq12d 5502 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  M )  <->  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 0z 10656 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
54elimel 3851 . . 3  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
6 eqid 2442 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
7 fvex 5700 . . 3  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
8 eqid 2442 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
98seqval 11816 . . 3  |-  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
105, 6, 7, 8, 9uzrdgfni 11780 . 2  |-  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
113, 10dedth 3840 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971   ifcif 3790   <.cop 3882    e. cmpt 4349    |` cres 4841    Fn wfn 5412   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   omcom 6475   reccrdg 6864   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860    seqcseq 11805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-seq 11806
This theorem is referenced by:  seqf2  11824  seqfeq2  11828  seqfeq  11830  seqfeq3  11855  ser0f  11858  facnn  12052  fac0  12053  seqshft  12573  efcvgfsum  13370  seq1st  13745  prmrec  13982  gsumpropd2lem  15504  ovolunlem1  20979  ovoliunlem1  20984  volsup  21036  mtest  21868  mtestbdd  21869  pserulm  21886  pserdvlem2  21892  emcllem5  22392  esumfsup  26518  esumpcvgval  26526  esumcvg  26534  sseqfv1  26771  sseqfn  26772  sseqfv2  26776  lgamgulm2  27021  lgamcvglem  27025  gamcvg2lem  27044  prodf1f  27406  faclimlem1  27548  mblfinlem2  28427  ovoliunnfl  28431  voliunnfl  28433
  Copyright terms: Public domain W3C validator