MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq4 Structured version   Unicode version

Theorem seqfeq4 12110
Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfeq4.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqfeq4.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqfeq4.cl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqfeq4.id  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x Q y ) )
Assertion
Ref Expression
seqfeq4  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq M ( Q ,  F ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, F, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, Q, y    x, S, y

Proof of Theorem seqfeq4
StepHypRef Expression
1 fvex 5815 . . 3  |-  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V
2 fvi 5862 . . 3  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V  ->  (  _I  `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  (  _I 
`  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)
4 seqfeq4.cl . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
5 seqfeq4.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6 seqfeq4.m . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
7 seqfeq4.id . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x Q y ) )
8 ovex 6262 . . . . 5  |-  ( x 
.+  y )  e. 
_V
9 fvi 5862 . . . . 5  |-  ( ( x  .+  y )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( x  .+  y ) )  =  ( x  .+  y
) )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I 
`  ( x  .+  y ) )  =  ( x  .+  y
)
11 vex 3061 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
12 fvi 5862 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (  _I  `  x )  =  x )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I 
`  x )  =  x
14 vex 3061 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
15 fvi 5862 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (  _I  `  y )  =  y )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I 
`  y )  =  y
1713, 16oveq12i 6246 . . . 4  |-  ( (  _I  `  x ) Q (  _I  `  y ) )  =  ( x Q y )
187, 10, 173eqtr4g 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
(  _I  `  (
x  .+  y )
)  =  ( (  _I  `  x ) Q (  _I  `  y ) ) )
19 fvex 5815 . . . 4  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
20 fvi 5862 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
2119, 20mp1i 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  (  _I  `  ( F `  x
) )  =  ( F `  x ) )
224, 5, 6, 18, 21seqhomo 12108 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  F ) `  N ) )
233, 22syl5eqr 2457 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq M ( Q ,  F ) `
 N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    _I cid 4732   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   ZZ>=cuz 11045   ...cfz 11643    seqcseq 12061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-seq 12062
This theorem is referenced by:  seqfeq3  12111  gsumpropd2lem  16116  gsumzoppg  17182  gsumzoppgOLD  17183
  Copyright terms: Public domain W3C validator