MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq4 Structured version   Unicode version

Theorem seqfeq4 11976
Description: Equality of series under different addition operations which agree on an additively closed subset. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfeq4.m  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqfeq4.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqfeq4.cl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqfeq4.id  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x Q y ) )
Assertion
Ref Expression
seqfeq4  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq M ( Q ,  F ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, F, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, Q, y    x, S, y

Proof of Theorem seqfeq4
StepHypRef Expression
1 fvex 5812 . . 3  |-  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V
2 fvi 5860 . . 3  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)  e.  _V  ->  (  _I  `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  (  _I 
`  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N )
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
)
4 seqfeq4.cl . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
5 seqfeq4.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6 seqfeq4.m . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
7 seqfeq4.id . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x Q y ) )
8 ovex 6228 . . . . 5  |-  ( x 
.+  y )  e. 
_V
9 fvi 5860 . . . . 5  |-  ( ( x  .+  y )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( x  .+  y ) )  =  ( x  .+  y
) )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I 
`  ( x  .+  y ) )  =  ( x  .+  y
)
11 vex 3081 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
12 fvi 5860 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (  _I  `  x )  =  x )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I 
`  x )  =  x
14 vex 3081 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
15 fvi 5860 . . . . . 6  |-  ( y  e.  _V  ->  (  _I  `  y )  =  y )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I 
`  y )  =  y
1713, 16oveq12i 6215 . . . 4  |-  ( (  _I  `  x ) Q (  _I  `  y ) )  =  ( x Q y )
187, 10, 173eqtr4g 2520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
(  _I  `  (
x  .+  y )
)  =  ( (  _I  `  x ) Q (  _I  `  y ) ) )
19 fvex 5812 . . . 4  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
20 fvi 5860 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
2119, 20mp1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  (  _I  `  ( F `  x
) )  =  ( F `  x ) )
224, 5, 6, 18, 21seqhomo 11974 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  F ) `  N ) )
233, 22syl5eqr 2509 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  (  seq M ( Q ,  F ) `
 N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    _I cid 4742   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ZZ>=cuz 10976   ...cfz 11558    seqcseq 11927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-seq 11928
This theorem is referenced by:  seqfeq3  11977  gsumpropd2lem  15628  gsumzoppg  16566  gsumzoppgOLD  16567
  Copyright terms: Public domain W3C validator