MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqf2 Structured version   Unicode version

Theorem seqf2 12168
Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl2.1  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  C )
seqcl2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  C )
seqf2.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
seqf2.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
seqf2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  D
)
Assertion
Ref Expression
seqf2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ) : Z --> C )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, D, y    x, F, y    x, M, y   
x,  .+ , y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    Z( x, y)

Proof of Theorem seqf2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf2.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 seqfn 12161 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
4 seqcl2.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  C )
54adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  M )  e.  C
)
6 seqcl2.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  C )
76adantlr 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  C )
8 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9 elfzuz 11736 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... k )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
10 seqf2.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  D
)
119, 10sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... k
) )  ->  ( F `  x )  e.  D )
1211adantlr 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ( M  + 
1 ) ... k
) )  ->  ( F `  x )  e.  D )
135, 7, 8, 12seqcl2 12167 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  C )
1413ralrimiva 2817 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  C )
15 ffnfv 6035 . . 3  |-  (  seq M (  .+  ,  F ) : (
ZZ>= `  M ) --> C  <-> 
(  seq M (  .+  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  M )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) (  seq M (  .+  ,  F ) `  k
)  e.  C ) )
163, 14, 15sylanbrc 662 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ) : (
ZZ>= `  M ) --> C )
17 seqf2.3 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1817feq2i 5706 . 2  |-  (  seq M (  .+  ,  F ) : Z --> C 
<->  seq M (  .+  ,  F ) : (
ZZ>= `  M ) --> C )
1916, 18sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ) : Z --> C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   1c1 9522    + caddc 9524   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   ...cfz 11724    seqcseq 12149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150
This theorem is referenced by:  seqf  12170  ruclem6  14175  sadcf  14310  smupf  14335  sseqfv2  28825
  Copyright terms: Public domain W3C validator