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Theorem seqf1olem2a 12109
Description: Lemma for seqf1o 12112. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1olem2a.1  |-  ( ph  ->  G : A --> C )
seqf1olem2a.3  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
seqf1olem2a.4  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
seqf1olem2a  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, M, y, z    x,  .+ , y,
z    x, N, y, z   
x, K, y, z    ph, x, y, z    x, S, y, z    x, C, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1olem2a
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11690 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) )
54oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( ( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) ) )
64oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )  .+  ( G `  K
) ) )
75, 6eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) ) )
87imbi2d 316 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
9 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )
109oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( ( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) ) )
119oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( G `  K
) ) )
1210, 11eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) ) ) )
1312imbi2d 316 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
14 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1514oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( ( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
1614oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) )
1715, 16eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . 3  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) ) ) )
19 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
2019oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( ( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) ) )
2119oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )  .+  ( G `  K
) ) )
2220, 21eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) ) )
2322imbi2d 316 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
24 seqf1o.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
25 seqf1olem2a.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : A --> C )
26 seqf1olem2a.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
2725, 26ffvelrnd 6020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  K
)  e.  C )
28 eluzel2 11083 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
29 seq1 12084 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
301, 28, 293syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
31 seqf1olem2a.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  A )
32 eluzfz1 11689 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
3431, 33sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
3525, 34ffvelrnd 6020 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  e.  C )
3630, 35eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  e.  C )
3724, 27, 36caovcomd 6453 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) )
3837a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) ) )
39 oveq1 6289 . . . . . 6  |-  ( ( ( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  ->  ( (
( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
40 elfzouz 11797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4140adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
42 seqp1 12086 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4443oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  K
)  .+  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
45 seqf1o.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
4645adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
47 seqf1o.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
4847, 27sseldd 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  K
)  e.  S )
4948adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  K )  e.  S
)
5047adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  C_  S
)
5150adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  C  C_  S )
5225adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  G : A --> C )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  G : A --> C )
54 elfzouz2 11806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
56 fzss2 11719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
5831adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... N )  C_  A
)
5957, 58sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  A
)
6059sselda 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  x  e.  A )
6153, 60ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  C )
6251, 61sseldd 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
63 seqf1o.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6463adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6541, 62, 64seqcl 12091 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S )
66 fzofzp1 11873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N ) )
6858, 67sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  A
)
6952, 68ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  C
)
7050, 69sseldd 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
7146, 49, 65, 70caovassd 6456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  K )  .+  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7244, 71eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7346, 65, 70, 49caovassd 6456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) ) )
7443oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  .+  ( G `  K ) ) )
7546, 65, 49, 70caovassd 6456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  K )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7624adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
7727adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  K )  e.  C
)
7876, 69, 77caovcomd 6453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) )  =  ( ( G `  K ) 
.+  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
7978oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  K )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
8075, 79eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) ) )
8173, 74, 803eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
8272, 81eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  <-> 
( ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8339, 82syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  -> 
( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) )
8483expcom 435 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) ) ) )
8584a2d 26 . . 3  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
868, 13, 18, 23, 38, 85fzind2 11888 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) ) )
873, 86mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489    + caddc 9491   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788    seqcseq 12071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  12111
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