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Theorem seqf1olem2a 12099
Description: Lemma for seqf1o 12102. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1olem2a.1  |-  ( ph  ->  G : A --> C )
seqf1olem2a.3  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
seqf1olem2a.4  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
seqf1olem2a  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, M, y, z    x,  .+ , y,
z    x, N, y, z   
x, K, y, z    ph, x, y, z    x, S, y, z    x, C, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1olem2a
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf1o.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11665 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5805 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) )
54oveq2d 6250 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( ( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) ) )
64oveq1d 6249 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )  .+  ( G `  K
) ) )
75, 6eqeq12d 2424 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) ) )
87imbi2d 314 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
9 fveq2 5805 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )
109oveq2d 6250 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( ( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) ) )
119oveq1d 6249 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  .+  ( G `  K
) ) )
1210, 11eqeq12d 2424 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) ) ) )
1312imbi2d 314 . . 3  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
14 fveq2 5805 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1514oveq2d 6250 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( ( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
1614oveq1d 6249 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) )
1715, 16eqeq12d 2424 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) )
1817imbi2d 314 . . 3  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) ) ) )
19 fveq2 5805 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
2019oveq2d 6250 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( ( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) ) )
2119oveq1d 6249 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )  .+  ( G `  K
) ) )
2220, 21eqeq12d 2424 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 m )  .+  ( G `  K ) )  <->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) ) )
2322imbi2d 314 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  m )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  m
)  .+  ( G `  K ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
24 seqf1o.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
25 seqf1olem2a.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : A --> C )
26 seqf1olem2a.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  A )
2725, 26ffvelrnd 5966 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  K
)  e.  C )
28 eluzel2 11050 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
29 seq1 12074 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
)  =  ( G `
 M ) )
301, 28, 293syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
31 seqf1olem2a.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  C_  A )
32 eluzfz1 11664 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
331, 32syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
3431, 33sseldd 3442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
3525, 34ffvelrnd 5966 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  e.  C )
3630, 35eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  e.  C )
3724, 27, 36caovcomd 6408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) )
3837a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  .+  ( G `  K ) ) ) )
39 oveq1 6241 . . . . . 6  |-  ( ( ( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  ->  ( (
( G `  K
)  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
40 elfzouz 11776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4140adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
42 seqp1 12076 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
4443oveq2d 6250 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  K
)  .+  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
45 seqf1o.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
4645adantlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
47 seqf1o.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
4847, 27sseldd 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  K
)  e.  S )
4948adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  K )  e.  S
)
5047adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  C_  S
)
5150adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  C  C_  S )
5225adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  G : A --> C )
5352adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  G : A --> C )
54 elfzouz2 11786 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
5554adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  n ) )
56 fzss2 11695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
5831adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... N )  C_  A
)
5957, 58sstrd 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( M ... n )  C_  A
)
6059sselda 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  x  e.  A )
6153, 60ffvelrnd 5966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  C )
6251, 61sseldd 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( M ... n
) )  ->  ( G `  x )  e.  S )
63 seqf1o.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6463adantlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
6541, 62, 64seqcl 12081 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )  e.  S )
66 fzofzp1 11859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
6766adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N ) )
6858, 67sseldd 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  A
)
6952, 68ffvelrnd 5966 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  C
)
7050, 69sseldd 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
7146, 49, 65, 70caovassd 6411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  K )  .+  (
(  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7244, 71eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7346, 65, 70, 49caovassd 6411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  .+  ( G `  K ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) ) )
7443oveq1d 6249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  .+  ( G `  K ) ) )
7546, 65, 49, 70caovassd 6411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  K )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7624adantlr 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
7727adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  K )  e.  C
)
7876, 69, 77caovcomd 6408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( G `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) )  =  ( ( G `  K ) 
.+  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
7978oveq2d 6250 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  K )  .+  ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
8075, 79eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( ( G `  ( n  +  1 ) ) 
.+  ( G `  K ) ) ) )
8173, 74, 803eqtr4d 2453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
8272, 81eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) )  <-> 
( ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  .+  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8339, 82syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( ( G `  K ) 
.+  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  K ) )  -> 
( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) )
8483expcom 433 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) )  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  .+  ( G `
 K ) ) ) ) )
8584a2d 26 . . 3  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  K ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) )  .+  ( G `  K ) ) ) ) )
868, 13, 18, 23, 38, 85fzind2 11874 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) ) )
873, 86mpcom 34 1  |-  ( ph  ->  ( ( G `  K )  .+  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N )  .+  ( G `  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   1c1 9443    + caddc 9445   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045   ...cfz 11643  ..^cfzo 11767    seqcseq 12061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  12101
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