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Theorem seqf1olem2 12285
Description: Lemma for seqf1o 12286. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1olem.5  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
seqf1olem.6  |-  ( ph  ->  G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C )
seqf1olem.7  |-  J  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
seqf1olem.8  |-  K  =  ( `' F `  ( N  +  1
) )
seqf1olem.9  |-  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) ) )
Assertion
Ref Expression
seqf1olem2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
k, x, y, z, F    f, G, g, k, x, y, z   
f, M, g, k, x, y, z    .+ , f,
g, k, x, y, z    f, J, g, x, y, z    f, N, g, k, x, y, z    k, K, x, y, z    ph, f,
g, k, x, y, z    S, k, x, y, z    C, f, g, k, x, y, z
Allowed substitution hints:    S( f, g)    J( k)    K( f, g)

Proof of Theorem seqf1olem2
StepHypRef Expression
1 seqf1olem.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C )
2 ffn 5751 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( M ... ( N  +  1
) ) --> C  ->  G  Fn  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
4 fzssp1 11870 . . . . . . . . 9  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )
5 fnssres 5711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  ( M ... N ) 
C_  ( M ... ( N  +  1
) ) )  -> 
( G  |`  ( M ... N ) )  Fn  ( M ... N ) )
63, 4, 5sylancl 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M ... N ) )  Fn  ( M ... N ) )
7 fzfid 12218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
8 fnfi 7875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) )  Fn  ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e. 
Fin )  ->  ( G  |`  ( M ... N ) )  e. 
Fin )
96, 7, 8syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M ... N ) )  e.  Fin )
10 elex 3066 . . . . . . 7  |-  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  e. 
Fin  ->  ( G  |`  ( M ... N ) )  e.  _V )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M ... N ) )  e.  _V )
12 seqf1o.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
13 seqf1o.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
14 seqf1o.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
15 seqf1o.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
16 seqf1o.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
17 seqf1olem.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
18 seqf1olem.7 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
19 seqf1olem.8 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( `' F `  ( N  +  1
) )
2012, 13, 14, 15, 16, 17, 1, 18, 19seqf1olem1 12284 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
21 f1of 5837 . . . . . . . 8  |-  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  J :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
23 fex2 6775 . . . . . . 7  |-  ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  e.  Fin )  ->  J  e.  _V )
2422, 7, 7, 23syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
2511, 24jca 539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  e.  _V  /\  J  e.  _V )
)
26 seqf1olem.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) ) )
27 fssres 5772 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C  /\  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C )
281, 4, 27sylancl 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C )
2920, 28jca 539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) )
30 f1oeq1 5828 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  J  ->  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  J :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
31 feq1 5732 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( G  |`  ( M ... N ) )  ->  ( g : ( M ... N ) --> C  <->  ( G  |`  ( M ... N
) ) : ( M ... N ) --> C ) )
3230, 31bi2anan9r 890 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  <->  ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  ( G  |`  ( M ... N
) ) : ( M ... N ) --> C ) ) )
33 coeq1 5011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( G  |`  ( M ... N ) )  ->  ( g  o.  f )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  f ) )
34 coeq2 5012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  J  ->  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  f )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) )
3533, 34sylan9eq 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (
g  o.  f )  =  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) )
3635seqeq3d 12253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) )  =  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) )
3736fveq1d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) )
38 simpl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  g  =  ( G  |`  ( M ... N ) ) )
3938seqeq3d 12253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  seq M (  .+  , 
g )  =  seq M (  .+  , 
( G  |`  ( M ... N ) ) ) )
4039fveq1d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
( G  |`  ( M ... N ) ) ) `  N ) )
4137, 40eqeq12d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  N )  <->  (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  ( G  |`  ( M ... N ) ) ) `
 N ) ) )
4232, 41imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  ( G  |`  ( M ... N
) )  /\  f  =  J )  ->  (
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) )  <->  ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  ( G  |`  ( M ... N
) ) : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  ( G  |`  ( M ... N ) ) ) `
 N ) ) ) )
4342spc2gv 3149 . . . . 5  |-  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) )  e.  _V  /\  J  e.  _V )  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) )  ->  (
( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  ( G  |`  ( M ... N ) ) ) `
 N ) ) ) )
4425, 26, 29, 43syl3c 63 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  ( G  |`  ( M ... N ) ) ) `  N
) )
45 fvres 5902 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
( G  |`  ( M ... N ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
4645adantl 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  x )  =  ( G `  x ) )
4715, 46seqfveq 12269 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( G  |`  ( M ... N
) ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
4844, 47eqtrd 2496 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
4948oveq1d 6330 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
5012adantlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  S
)
5114adantlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
52 elfzuz3 11826 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
5352adantl 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
54 eluzp1p1 11213 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
5553, 54syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
56 elfzuz 11825 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5756adantl 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
58 f1of 5837 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) )  ->  F :
( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1
) ) )
5917, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
60 fco 5762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C  /\  F : ( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G  o.  F ) : ( M ... ( N  +  1
) ) --> C )
611, 59, 60syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C )
6261, 16fssd 5761 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> S )
6362ffvelrnda 6045 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  e.  S
)
6463adantlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  x )  e.  S )
6550, 51, 55, 57, 64seqsplit 12278 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  .+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
66 elfzp12 11902 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) ) )
6766biimpa 491 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )
6815, 67sylan 478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
69 seqeq1 12248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  M  ->  seq K (  .+  , 
( G  o.  F
) )  =  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) )
7069eqcomd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  M  ->  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) )  =  seq K (  .+  , 
( G  o.  F
) ) )
7170fveq1d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  M  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  =  (  seq K (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
) )
72 f1ocnv 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
73 f1of 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
7417, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
75 peano2uz 11241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
76 eluzfz2 11836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
7715, 75, 763syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
7874, 77ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( N  +  1
) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
7919, 78syl5eqel 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
80 elfzelz 11829 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  K  e.  ZZ )
81 seq1 12258 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (  seq K (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  =  ( ( G  o.  F ) `
 K ) )
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 K )  =  ( ( G  o.  F ) `  K
) )
8371, 82sylan9eqr 2518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  =  ( ( G  o.  F ) `
 K ) )
8483oveq1d 6330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  .+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( G  o.  F ) `  K
)  .+  (  seq ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
85 simpr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  K  =  M )
86 eluzfz1 11835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
8715, 86syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
8887adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  M  e.  ( M ... N
) )
8985, 88eqeltrd 2540 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
9013adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
9116adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  C  C_  S
)
9261adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G  o.  F ) : ( M ... ( N  +  1 ) ) --> C )
9379adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
94 peano2uz 11241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
95 fzss1 11866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
9657, 94, 953syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( K  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
9750, 90, 51, 55, 91, 92, 93, 96seqf1olem2a 12283 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( G  o.  F
) `  K )  .+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) )  .+  (
( G  o.  F
) `  K )
) )
98 1zzd 10997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  1  e.  ZZ )
99 elfzuz 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
100 fzss1 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K ... N )  C_  ( M ... N ) )
10179, 99, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( K ... N
)  C_  ( M ... N ) )
102101sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
10322ffvelrnda 6045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( J `  x )  e.  ( M ... N ) )
104102, 103syldan 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( J `  x )  e.  ( M ... N ) )
105 fvres 5902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J `  x )  e.  ( M ... N )  ->  (
( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) )  =  ( G `  ( J `  x )
) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( J `  x ) )  =  ( G `
 ( J `  x ) ) )
107 breq1 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
k  <  K  <->  x  <  K ) )
108 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  k  =  x )
109 oveq1 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  x  ->  (
k  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
110107, 108, 109ifbieq12d 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  x  ->  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) )  =  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )
111110fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  if (
k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `
 if ( x  <  K ,  x ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
112 fvex 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 if ( x  <  K ,  x ,  ( x  + 
1 ) ) )  e.  _V
113111, 18, 112fvmpt 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( J `  x )  =  ( F `  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) ) )
114102, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( J `  x )  =  ( F `  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) ) )
115 elfzle1 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  K  <_  x )
116115adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  K  <_  x )
11779, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
118117zred 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
119118adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  K  e.  RR )
120 elfzelz 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( K ... N )  ->  x  e.  ZZ )
121120adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  ZZ )
122121zred 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  x  e.  RR )
123119, 122lenltd 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( K  <_  x  <->  -.  x  <  K ) )
124116, 123mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  -.  x  <  K )
125 iffalse 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  x  <  K  ->  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) )  =  ( x  + 
1 ) )
126125fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  <  K  -> 
( F `  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )  =  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
127124, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( F `  if ( x  < 
K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )  =  ( F `  (
x  +  1 ) ) )
128114, 127eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( J `  x )  =  ( F `  ( x  +  1 ) ) )
129128fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( G `  ( J `  x
) )  =  ( G `  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
130106, 129eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( J `  x ) )  =  ( G `
 ( F `  ( x  +  1
) ) ) )
131 fvco3 5965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) ) )
13222, 131sylan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) ) )
133102, 132syldan 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) ) )
134 fzp1elp1 11878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  (
x  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1
) ) )
135102, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
136 fvco3 5965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  ( x  + 
1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  ( x  +  1 ) )  =  ( G `  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
13759, 136sylan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( x  +  1 ) )  =  ( G `  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
138135, 137syldan 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  ( x  +  1 ) )  =  ( G `  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) ) )
139130, 133, 1383eqtr4d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  =  ( ( G  o.  F
) `  ( x  +  1 ) ) )
140139adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  x  e.  ( K ... N
) )  ->  (
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `
 x )  =  ( ( G  o.  F ) `  (
x  +  1 ) ) )
14153, 98, 140seqshft2 12271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  (  seq K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
142 fvco3 5965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  K )  =  ( G `  ( F `
 K ) ) )
14359, 79, 142syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  K
)  =  ( G `
 ( F `  K ) ) )
14419fveq2i 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 K )  =  ( F `  ( `' F `  ( N  +  1 ) ) )
145 f1ocnvfv2 6201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  ( N  +  1
)  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( N  +  1 ) )
14617, 77, 145syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  ( `' F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( N  +  1 ) )
147144, 146syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  =  ( N  +  1 ) )
148147fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  ( F `  K )
)  =  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )
149143, 148eqtr2d 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( G  o.  F ) `
 K ) )
150149adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( G  o.  F
) `  K )
)
151141, 150oveq12d 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (  seq K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) )  =  ( (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1 ) ) 
.+  ( ( G  o.  F ) `  K ) ) )
15297, 151eqtr4d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( G  o.  F
) `  K )  .+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
15389, 152syldan 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (
( ( G  o.  F ) `  K
)  .+  (  seq ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
15485seqeq1d 12251 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  seq K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) )  =  seq M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) )
155154fveq1d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (  seq K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) )
156155oveq1d 6330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
15784, 153, 1563eqtrd 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  =  M )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  .+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
158 eluzel2 11193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
15915, 158syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
160 elfzuz 11825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
161 eluzp1m1 11211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
162159, 160, 161syl2an 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( K  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
163 eluzelz 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
16415, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
165164zcnd 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
166 ax-1cn 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
167 pncan 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
168165, 166, 167sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
169 peano2zm 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
17079, 80, 1693syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( K  -  1 )  e.  ZZ )
171 elfzuz3 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
17279, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
173117zcnd 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
174 npcan 9910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
175173, 166, 174sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( K  - 
1 )  +  1 )  =  K )
176175fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  K
) )
177172, 176eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) ) )
178 eluzp1m1 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1
) ) )
179170, 177, 178syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1
) ) )
180168, 179eqeltrrd 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1
) ) )
181 fzss2 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) )  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
183182sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
184183, 103syldan 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( J `  x )  e.  ( M ... N ) )
185184, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( J `  x ) )  =  ( G `
 ( J `  x ) ) )
186183, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( J `  x )  =  ( F `  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) ) )
187 elfzm11 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x  /\  x  <  K ) ) )
188159, 117, 187syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) )  <-> 
( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x  /\  x  <  K ) ) )
189188biimpa 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x  /\  x  <  K
) )
190189simp3d 1028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  <  K )
191 iftrue 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  <  K  ->  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) )  =  x )
192191fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  <  K  ->  ( F `  if (
x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )  =  ( F `
 x ) )
193190, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  if ( x  < 
K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )  =  ( F `  x
) )
194186, 193eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( J `  x )  =  ( F `  x ) )
195194fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( J `  x
) )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
196185, 195eqtr2d 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( F `  x
) )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) ) )
197 peano2uz 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) ) )
198 fzss2 11867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  -  1 ) )  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
199180, 197, 1983syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M ... ( K  -  1 ) )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
200199sselda 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
201 fvco3 5965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
20259, 201sylan 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
203200, 202syldan 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
204183, 132syldan 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( J `  x ) ) )
205196, 203, 2043eqtr4d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `
 x ) )
206205adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  x )  =  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x
) )
207162, 206seqfveq 12269 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( K  -  1 ) )  =  (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) )
208 fzp1ss 11876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
20915, 158, 2083syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
210209sselda 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  K  e.  ( M ... N
) )
211210, 152syldan 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( ( G  o.  F ) `  K
)  .+  (  seq ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
212207, 211oveq12d 6333 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( K  -  1
) )  .+  (
( ( G  o.  F ) `  K
)  .+  (  seq ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 ( K  - 
1 ) )  .+  ( (  seq K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
213200, 63syldan 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  e.  S
)
214213adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  x )  e.  S )
21512adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .+  y )  e.  S
)
216162, 214, 215seqcl 12265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S )
21761, 79ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  K
)  e.  C )
21816, 217sseldd 3445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  K
)  e.  S )
219218adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( G  o.  F
) `  K )  e.  S )
22096sselda 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
221220, 64syldan 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( M ... N
) )  /\  x  e.  ( ( K  + 
1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  o.  F
) `  x )  e.  S )
22255, 221, 50seqcl 12265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  (  seq ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  e.  S )
223210, 222syldan 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  e.  S )
224216, 219, 2233jca 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( K  -  1
) )  e.  S  /\  ( ( G  o.  F ) `  K
)  e.  S  /\  (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) )  e.  S
) )
22514caovassg 6494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S  /\  ( ( G  o.  F ) `  K
)  e.  S  /\  (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) )  e.  S
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( G  o.  F ) `  K ) )  .+  (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( ( G  o.  F ) `
 K )  .+  (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) ) ) )
226224, 225syldan 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( G  o.  F ) `  K ) )  .+  (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( ( G  o.  F ) `
 K )  .+  (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) ) ) )
2271, 16fssd 5761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> S )
228 fssres 5772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> S  /\  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S )
229227, 4, 228sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S )
230 fco 5762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S  /\  J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )  ->  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) : ( M ... N ) --> S )
231229, 22, 230syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) : ( M ... N ) --> S )
232231ffvelrnda 6045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  e.  S
)
233183, 232syldan 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  e.  S
)
234233adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  x  e.  ( M ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `
 x )  e.  S )
235162, 234, 215seqcl 12265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S )
236 elfzuz3 11826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
237236adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
238102, 232syldan 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( K ... N ) )  ->  ( (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x )  e.  S
)
239238adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  x  e.  ( K ... N
) )  ->  (
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `
 x )  e.  S )
240237, 239, 215seqcl 12265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  e.  S )
241227, 77ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  e.  S )
242241adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  e.  S )
243235, 240, 2423jca 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S  /\  (  seq K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  e.  S  /\  ( G `  ( N  +  1 ) )  e.  S ) )
24414caovassg 6494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) )  e.  S  /\  (  seq K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  e.  S  /\  ( G `  ( N  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  ( K  -  1 ) )  .+  (  seq K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) )  .+  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( (  seq K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) ) ) )
245243, 244syldan 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 ( K  - 
1 ) )  .+  (  seq K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
) )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  ( K  -  1 ) )  .+  ( (  seq K (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
246212, 226, 2453eqtr4d 2506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( G  o.  F ) `  K ) )  .+  (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  (  seq K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
247 seqm1 12262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( K  - 
1 ) )  .+  ( ( G  o.  F ) `  K
) ) )
248159, 160, 247syl2an 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( K  -  1
) )  .+  (
( G  o.  F
) `  K )
) )
249248oveq1d 6330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  .+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  ( ( G  o.  F ) `  K ) )  .+  (  seq ( K  + 
1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1
) ) ) )
25014adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
251 elfzelz 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  K  e.  ZZ )
252251adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  K  e.  ZZ )
253252zcnd 11070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  K  e.  CC )
254253, 166, 174sylancl 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( K  -  1 )  +  1 )  =  K )
255254fveq2d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( ZZ>=
`  ( ( K  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  K )
)
256237, 255eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( K  -  1 )  +  1 ) ) )
257232adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  (
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `
 x )  e.  S )
258215, 250, 256, 162, 257seqsplit 12278 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  ( (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  (  seq (
( K  -  1 )  +  1 ) (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) ) )
259254seqeq1d 12251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  seq ( ( K  - 
1 )  +  1 ) (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) )  =  seq K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) )
260259fveq1d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq ( ( K  - 
1 )  +  1 ) (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  (  seq K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) )
261260oveq2d 6331 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  ( K  -  1 ) )  .+  (  seq ( ( K  - 
1 )  +  1 ) (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  ( K  -  1 ) )  .+  (  seq K (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) ) )
262258, 261eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  =  ( (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  (  seq K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) ) )
263262oveq1d 6330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  ( K  -  1 ) ) 
.+  (  seq K
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N ) ) 
.+  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
264246, 249, 2633eqtr4d 2506 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  K )  .+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
265157, 264jaodan 799 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  =  M  \/  K  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )  -> 
( (  seq M
(  .+  ,  ( G  o.  F )
) `  K )  .+  (  seq ( K  +  1 ) (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
26668, 265syldan 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  K
)  .+  (  seq ( K  +  1
) (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
26765, 266eqtrd 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( M ... N ) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
26815adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
269 seqp1 12260 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  N )  .+  (
( G  o.  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
270268, 269syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  N )  .+  (
( G  o.  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
271113adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( J `  x
)  =  ( F `
 if ( x  <  K ,  x ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
272 elfzelz 11829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
273272zred 11069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
274273adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
275164zred 11069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
276275adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  RR )
277 peano2re 9832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
278276, 277syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
279 elfzle2 11832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  <_  N )
280279adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <_  N )
281276ltp1d 10565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
282274, 276, 278, 280, 281lelttrd 9819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <  ( N  +  1 ) )
283282adantlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <  ( N  + 
1 ) )
284 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  =  ( N  +  1 ) )
285283, 284breqtrrd 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <  K )
286285, 192syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  if ( x  <  K ,  x ,  ( x  +  1 ) ) )  =  ( F `
 x ) )
287271, 286eqtrd 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( J `  x
)  =  ( F `
 x ) )
288287fveq2d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( J `
 x ) )  =  ( ( G  |`  ( M ... N
) ) `  ( F `  x )
) )
289273adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
290289, 285gtned 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  =/=  x )
29159ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1
) ) --> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
292 fzelp1 11877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
293292adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
294291, 293ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
29515ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
296 elfzp1 11875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 x )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
297295, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  x )  e.  ( M ... N )  \/  ( F `  x )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
298294, 297mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  ( M ... N )  \/  ( F `  x )  =  ( N  +  1 ) ) )
299298ord 383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( -.  ( F `
 x )  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  x )  =  ( N  +  1 ) ) )
30017ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
301 f1ocnvfv 6202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  x ) )
302300, 293, 301syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  x ) )
30319eqeq1i 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =  x  <->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  x )
304302, 303syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( N  +  1 )  ->  K  =  x ) )
305299, 304syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( -.  ( F `
 x )  e.  ( M ... N
)  ->  K  =  x ) )
306305necon1ad 2653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  =/=  x  ->  ( F `  x
)  e.  ( M ... N ) ) )
307290, 306mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( M ... N ) )
308 fvres 5902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( M ... N )  ->  (
( G  |`  ( M ... N ) ) `
 ( F `  x ) )  =  ( G `  ( F `  x )
) )
309307, 308syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  ( F `  x ) ) )
310288, 309eqtr2d 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( G `  ( F `  x )
)  =  ( ( G  |`  ( M ... N ) ) `  ( J `  x ) ) )
31159, 292, 201syl2an 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
312311adantlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
313132adantlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) `  x )  =  ( ( G  |`  ( M ... N
) ) `  ( J `  x )
) )
314310, 312, 3133eqtr4d 2506 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  =  ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( ( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) `  x ) )
315268, 314seqfveq 12269 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
( ( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `  N ) )
316 fvco3 5965 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( G `  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
31759, 77, 316syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( G `
 ( F `  ( N  +  1
) ) ) )
318317adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( G `  ( F `  ( N  +  1 ) ) ) )
319 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  K  =  ( N  + 
1 ) )
32019, 319syl5eqr 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
321320fveq2d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) )
322146adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( N  +  1 ) )
323321, 322eqtr3d 2498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
324323fveq2d 5892 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  ( G `  ( F `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
325318, 324eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( G `  ( N  +  1
) ) )
326315, 325oveq12d 6333 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( G  o.  F ) ) `  N )  .+  (
( G  o.  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
327270, 326eqtrd 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  =  ( N  +  1
) )  ->  (  seq M (  .+  , 
( G  o.  F
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  ( ( G  |`  ( M ... N
) )  o.  J
) ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
328 elfzp1 11875 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( K  e.  ( M ... N
)  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
32915, 328syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( K  e.  ( M ... N )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) ) )
33079, 329mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( M ... N )  \/  K  =  ( N  +  1 ) ) )
331267, 327, 330mpjaodan 800 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  (
( G  |`  ( M ... N ) )  o.  J ) ) `
 N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
332 seqp1 12260 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
)  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
33315, 332syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )  .+  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
33449, 331, 3333eqtr4d 2506 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( G  o.  F ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991   A.wal 1453    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   ifcif 3893   class class class wbr 4416    |-> cmpt 4475   `'ccnv 4852    |` cres 4855    o. ccom 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   CCcc 9563   RRcr 9564   1c1 9566    + caddc 9568    < clt 9701    <_ cle 9702    - cmin 9886   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188   ...cfz 11813    seqcseq 12245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246
This theorem is referenced by:  seqf1o  12286
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