Theorem seqf1olem2 11845

Description: Lemma for seqf1o 11846. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
seqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqf1o.5	|- ( ph -> C C_ S )
seqf1olem.5	|- ( ph -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
seqf1olem.6	|- ( ph -> G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
seqf1olem.7	|- J = ( k e. ( M ... N ) |-> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) )
seqf1olem.8	|- K = ( `' F ` ( N + 1 ) )
seqf1olem.9	|- ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqf1olem2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , G ) ` ( N + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, k, x, y, z, F   f, G, g, k, x, y, z   f, M, g, k, x, y, z   .+ , f, g, k, x, y, z   f, J, g, x, y, z   f, N, g, k, x, y, z   k, K, x, y, z   ph, f, g, k, x, y, z   S, k, x, y, z   C, f, g, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( f, g)   J( k)   K( f, g)

Proof of Theorem seqf1olem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf1olem.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
2		ffn 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C -> G Fn ( M ... ( N + 1 ) ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G Fn ( M ... ( N + 1 ) ) )
4		fzssp1 11500	. . . . . . . . 9 |- ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) )
5		fnssres 5523	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G |` ( M ... N ) ) Fn ( M ... N ) )
6	3, 4, 5	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` ( M ... N ) ) Fn ( M ... N ) )
7		fzfid 11794	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
8		fnfi 7588	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G |` ( M ... N ) ) Fn ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> ( G |` ( M ... N ) ) e. Fin )
9	6, 7, 8	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G |` ( M ... N ) ) e. Fin )
10		elex 2980	. . . . . . 7 |- ( ( G |` ( M ... N ) ) e. Fin -> ( G |` ( M ... N ) ) e. _V )
11	9, 10	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G |` ( M ... N ) ) e. _V )
12		seqf1o.1	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
13		seqf1o.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
14		seqf1o.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
15		seqf1o.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
16		seqf1o.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C C_ S )
17		seqf1olem.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
18		seqf1olem.7	. . . . . . . . 9 |- J = ( k e. ( M ... N ) |-> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) )
19		seqf1olem.8	. . . . . . . . 9 |- K = ( `' F ` ( N + 1 ) )
20	12, 13, 14, 15, 16, 17, 1, 18, 19	seqf1olem1 11844	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
21		f1of 5640	. . . . . . . 8 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
23		fex2 6531	. . . . . . 7 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
24	22, 7, 7, 23	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. _V )
25	11, 24	jca 532	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G |` ( M ... N ) ) e. _V /\ J e. _V ) )
26		seqf1olem.9	. . . . 5 |- ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )
27		fssres 5577	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C /\ ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C )
28	1, 4, 27	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C )
29	20, 28	jca 532	. . . . 5 |- ( ph -> ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) )
30		f1oeq1 5631	. . . . . . . 8 |- ( f = J -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
31		feq1 5541	. . . . . . . 8 |- ( g = ( G |` ( M ... N ) ) -> ( g : ( M ... N ) --> C <-> ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) )
32	30, 31	bi2anan9r 869	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) <-> ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) ) )
33		coeq1 4996	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( G |` ( M ... N ) ) -> ( g o. f ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) o. f ) )
34		coeq2 4997	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = J -> ( ( G |` ( M ... N ) ) o. f ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) )
35	33, 34	sylan9eq 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( g o. f ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) )
36	35	seqeq3d 11813	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> seq M ( .+ , ( g o. f ) ) = seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) )
37	36	fveq1d 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) )
38		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> g = ( G |` ( M ... N ) ) )
39	38	seqeq3d 11813	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> seq M ( .+ , g ) = seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) )
40	39	fveq1d 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) )
41	37, 40	eqeq12d 2456	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) ) )
42	32, 41	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) <-> ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) ) ) )
43	42	spc2gv 3059	. . . . 5 |- ( ( ( G |` ( M ... N ) ) e. _V /\ J e. _V ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) -> ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) ) ) )
44	25, 26, 29, 43	syl3c 61	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) )
45		fvres 5703	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` x ) = ( G ` x ) )
46	45	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` x ) = ( G ` x ) )
47	15, 46	seqfveq 11829	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
48	44, 47	eqtrd 2474	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
49	48	oveq1d 6105	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
50	12	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
51	14	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
52		elfzuz3 11449	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
53	52	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
54		eluzp1p1 10885	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
56		elfzuz 11448	. . . . . 6 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
57	56	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
58		f1of 5640	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
59	17, 58	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
60		fco 5567	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C /\ F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
61	1, 59, 60	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
62		fss 5566	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C /\ C C_ S ) -> ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> S )
63	61, 16, 62	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> S )
64	63	ffvelrnda 5842	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) e. S )
65	64	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) e. S )
66	50, 51, 55, 57, 65	seqsplit 11838	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) )
67		elfzp12 11538	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )
68	67	biimpa 484	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
69	15, 68	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
70		seqeq1 11808	. . . . . . . . . . 11 |- ( K = M -> seq K ( .+ , ( G o. F ) ) = seq M ( .+ , ( G o. F ) ) )
71	70	eqcomd 2447	. . . . . . . . . 10 |- ( K = M -> seq M ( .+ , ( G o. F ) ) = seq K ( .+ , ( G o. F ) ) )
72	71	fveq1d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( K = M -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( seq K ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) )
73		f1ocnv 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
74		f1of 5640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
75	17, 73, 74	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
76		peano2uz 10907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
77		eluzfz2 11458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
78	15, 76, 77	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
79	75, 78	ffvelrnd 5843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
80	19, 79	syl5eqel 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
81		elfzelz 11452	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> K e. ZZ )
82		seq1 11818	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( seq K ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( ( G o. F ) ` K ) )
83	80, 81, 82	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( ( G o. F ) ` K ) )
84	72, 83	sylan9eqr 2496	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( ( G o. F ) ` K ) )
85	84	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) )
86		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K = M ) -> K = M )
87		eluzfz1 11457	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
88	15, 87	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
89	88	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K = M ) -> M e. ( M ... N ) )
90	86, 89	eqeltrd 2516	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = M ) -> K e. ( M ... N ) )
91	13	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
92	16	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> C C_ S )
93	61	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
94	80	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> K e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
95		peano2uz 10907	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96		fzss1 11496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( K + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) )
97	57, 95, 96	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( K + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) )
98	50, 91, 51, 55, 92, 93, 94, 97	seqf1olem2a 11843	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) )
99		1zzd 10676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
100		elfzuz 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
101		fzss1 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... N ) C_ ( M ... N ) )
102	80, 100, 101	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K ... N ) C_ ( M ... N ) )
103	102	sselda 3355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
104	22	ffvelrnda 5842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( J ` x ) e. ( M ... N ) )
105	103, 104	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( J ` x ) e. ( M ... N ) )
106		fvres 5703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J ` x ) e. ( M ... N ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
107	105, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
108		breq1 4294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = x -> ( k < K <-> x < K ) )
109		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = x -> k = x )
110		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = x -> ( k + 1 ) = ( x + 1 ) )
111	108, 109, 110	ifbieq12d 3815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = x -> if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) = if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) )
112	111	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = x -> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) = ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) )
113		fvex 5700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) e. _V
114	112, 18, 113	fvmpt 5773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( M ... N ) -> ( J ` x ) = ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) )
115	103, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) )
116		elfzle1 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( K ... N ) -> K <_ x )
117	116	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> K <_ x )
118	80, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> K e. ZZ )
119	118	zred 10746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> K e. RR )
120	119	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> K e. RR )
121		elfzelz 11452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( K ... N ) -> x e. ZZ )
122	121	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ZZ )
123	122	zred 10746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. RR )
124	120, 123	lenltd 9519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( K <_ x <-> -. x < K ) )
125	117, 124	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> -. x < K )
126		iffalse 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. x < K -> if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) = ( x + 1 ) )
127	126	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x < K -> ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
128	125, 127	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
129	115, 128	eqtrd 2474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
130	129	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( G ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
131	107, 130	eqtrd 2474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
132		fvco3 5767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
133	22, 132	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
134	103, 133	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
135		fzp1elp1 11508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M ... N ) -> ( x + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
136	103, 135	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( x + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
137		fvco3 5767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( x + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( x + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
138	59, 137	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( x + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
139	136, 138	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( x + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
140	131, 134, 139	3eqtr4d 2484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G o. F ) ` ( x + 1 ) ) )
141	140	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G o. F ) ` ( x + 1 ) ) )
142	53, 99, 141	seqshft2 11831	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) )
143		fvco3 5767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ K e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` K ) = ( G ` ( F ` K ) ) )
144	59, 80, 143	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ` K ) = ( G ` ( F ` K ) ) )
145	19	fveq2i 5693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` K ) = ( F ` ( `' F ` ( N + 1 ) ) )
146		f1ocnvfv2 5983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( N + 1 ) ) ) = ( N + 1 ) )
147	17, 78, 146	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` ( `' F ` ( N + 1 ) ) ) = ( N + 1 ) )
148	145, 147	syl5eq 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` K ) = ( N + 1 ) )
149	148	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G ` ( F ` K ) ) = ( G ` ( N + 1 ) ) )
150	144, 149	eqtr2d 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ` ( N + 1 ) ) = ( ( G o. F ) ` K ) )
151	150	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( N + 1 ) ) = ( ( G o. F ) ` K ) )
152	142, 151	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) )
153	98, 152	eqtr4d 2477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
154	90, 153	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
155	86	seqeq1d 11811	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K = M ) -> seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) = seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) )
156	155	fveq1d 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) )
157	156	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
158	85, 154, 157	3eqtrd 2478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
159		eluzel2 10865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
160	15, 159	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
161		elfzuz 11448	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
162		eluzp1m1 10883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
163	160, 161, 162	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
164		eluzelz 10869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
165	15, 164	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> N e. ZZ )
166	165	zcnd 10747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. CC )
167		ax-1cn 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
168		pncan 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
169	166, 167, 168	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
170		peano2zm 10687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
171	80, 81, 170	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. ZZ )
172		elfzuz3 11449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
173	80, 172	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
174	118	zcnd 10747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> K e. CC )
175		npcan 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
176	174, 167, 175	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
177	176	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` K ) )
178	173, 177	eleqtrrd 2519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
179		eluzp1m1 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K - 1 ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
180	171, 178, 179	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
181	169, 180	eqeltrrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
182		fzss2 11497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
183	181, 182	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
184	183	sselda 3355	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
185	184, 104	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( J ` x ) e. ( M ... N ) )
186	185, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
187	184, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) )
188		elfzm11 11527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> ( x e. ZZ /\ M <_ x /\ x < K ) ) )
189	160, 118, 188	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> ( x e. ZZ /\ M <_ x /\ x < K ) ) )
190	189	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( x e. ZZ /\ M <_ x /\ x < K ) )
191	190	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x < K )
192		iftrue 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x < K -> if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) = x )
193	192	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x < K -> ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) = ( F ` x ) )
194	191, 193	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) = ( F ` x ) )
195	187, 194	eqtrd 2474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` x ) )
196	195	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
197	186, 196	eqtr2d 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( F ` x ) ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
198		peano2uz 10907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
199		fzss2 11497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) )
200	181, 198, 199	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) )
201	200	sselda 3355	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
202		fvco3 5767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
203	59, 202	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
204	201, 203	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
205	184, 133	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
206	197, 204, 205	3eqtr4d 2484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) )
207	206	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) )
208	163, 207	seqfveq 11829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) = ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) )
209		fzp1ss 11505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
210	15, 159, 209	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
211	210	sselda 3355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> K e. ( M ... N ) )
212	211, 153	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
213	208, 212	oveq12d 6108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) ) )
214	201, 64	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) e. S )
215	214	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) e. S )
216	12	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
217	163, 215, 216	seqcl 11825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S )
218	61, 80	ffvelrnd 5843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ` K ) e. C )
219	16, 218	sseldd 3356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ` K ) e. S )
220	219	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( G o. F ) ` K ) e. S )
221	97	sselda 3355	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
222	221, 65	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) e. S )
223	55, 222, 50	seqcl 11825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) e. S )
224	211, 223	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) e. S )
225	217, 220, 224	3jca 1168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S /\ ( ( G o. F ) ` K ) e. S /\ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) e. S ) )
226	14	caovassg 6260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S /\ ( ( G o. F ) ` K ) e. S /\ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) e. S ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) ) )
227	225, 226	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) ) )
228		fss 5566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C /\ C C_ S ) -> G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> S )
229	1, 16, 228	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> S )
230		fssres 5577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> S /\ ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S )
231	229, 4, 230	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S )
232		fco 5567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S /\ J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) : ( M ... N ) --> S )
233	231, 22, 232	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) : ( M ... N ) --> S )
234	233	ffvelrnda 5842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
235	184, 234	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
236	235	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
237	163, 236, 216	seqcl 11825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S )
238		elfzuz3 11449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
239	238	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
240	103, 234	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
241	240	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
242	239, 241, 216	seqcl 11825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) e. S )
243	229, 78	ffvelrnd 5843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ` ( N + 1 ) ) e. S )
244	243	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` ( N + 1 ) ) e. S )
245	237, 242, 244	3jca 1168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S /\ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) e. S /\ ( G ` ( N + 1 ) ) e. S ) )
246	14	caovassg 6260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S /\ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) e. S /\ ( G ` ( N + 1 ) ) e. S ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) ) )
247	245, 246	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) ) )
248	213, 227, 247	3eqtr4d 2484	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
249		seqm1 11822	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) )
250	160, 161, 249	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) )
251	250	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) )
252	14	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
253		elfzelz 11452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> K e. ZZ )
254	253	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> K e. ZZ )
255	254	zcnd 10747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> K e. CC )
256	255, 167, 175	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
257	256	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` K ) )
258	239, 257	eleqtrrd 2519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
259	234	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
260	216, 252, 258, 163, 259	seqsplit 11838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) )
261	256	seqeq1d 11811	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) = seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) )
262	261	fveq1d 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) )
263	262	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) )
264	260, 263	eqtrd 2474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) )
265	264	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
266	248, 251, 265	3eqtr4d 2484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
267	158, 266	jaodan 783	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
268	69, 267	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
269	66, 268	eqtrd 2474	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
270	15	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
271		seqp1 11820	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` N ) .+ ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) ) )
272	270, 271	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` N ) .+ ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) ) )
273	114	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) )
274		elfzelz 11452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
275	274	zred 10746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. RR )
276	275	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. RR )
277	165	zred 10746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. RR )
278	277	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. RR )
279		peano2re 9541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
280	278, 279	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
281		elfzle2 11454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M ... N ) -> x <_ N )
282	281	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x <_ N )
283	278	ltp1d 10262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> N < ( N + 1 ) )
284	276, 278, 280, 282, 283	lelttrd 9528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x < ( N + 1 ) )
285	284	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x < ( N + 1 ) )
286		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K = ( N + 1 ) )
287	285, 286	breqtrrd 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x < K )
288	287, 193	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) = ( F ` x ) )
289	273, 288	eqtrd 2474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` x ) )
290	289	fveq2d 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( F ` x ) ) )
291	275	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. RR )
292	291, 287	gtned 9508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K =/= x )
293	59	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
294		fzelp1 11506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
295	294	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
296	293, 295	ffvelrnd 5843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
297	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
298		elfzp1 11504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F ` x ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` x ) = ( N + 1 ) ) ) )
299	297, 298	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` x ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` x ) = ( N + 1 ) ) ) )
300	296, 299	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` x ) = ( N + 1 ) ) )
301	300	ord 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( -. ( F ` x ) e. ( M ... N ) -> ( F ` x ) = ( N + 1 ) ) )
302	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
303		f1ocnvfv 5984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( N + 1 ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = x ) )
304	302, 295, 303	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` x ) = ( N + 1 ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = x ) )
305	19	eqeq1i 2449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K = x <-> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = x )
306	304, 305	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` x ) = ( N + 1 ) -> K = x ) )
307	301, 306	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( -. ( F ` x ) e. ( M ... N ) -> K = x ) )
308	307	necon1ad 2677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K =/= x -> ( F ` x ) e. ( M ... N ) ) )
309	292, 308	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. ( M ... N ) )
310		fvres 5703	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( F ` x ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
311	309, 310	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( F ` x ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
312	290, 311	eqtr2d 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( F ` x ) ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
313	59, 294, 202	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
314	313	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
315	133	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
316	312, 314, 315	3eqtr4d 2484	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) )
317	270, 316	seqfveq 11829	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) )
318		fvco3 5767	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
319	59, 78, 318	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
320	319	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
321		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> K = ( N + 1 ) )
322	19, 321	syl5eqr 2488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = ( N + 1 ) )
323	322	fveq2d 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( N + 1 ) ) ) = ( F ` ( N + 1 ) ) )
324	147	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( N + 1 ) ) ) = ( N + 1 ) )
325	323, 324	eqtr3d 2476	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( N + 1 ) )
326	325	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( G ` ( F ` ( N + 1 ) ) ) = ( G ` ( N + 1 ) ) )
327	320, 326	eqtrd 2474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) = ( G ` ( N + 1 ) ) )
328	317, 327	oveq12d 6108	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` N ) .+ ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
329	272, 328	eqtrd 2474	. . 3 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
330		elfzp1 11504	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
331	15, 330	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
332	80, 331	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( K e. ( M ... N ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
333	269, 329, 332	mpjaodan 784	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
334		seqp1 11820	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
335	15, 334	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
336	49, 333, 335	3eqtr4d 2484	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , G ) ` ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2605   _Vcvv 2971   C_ wss 3327   ifcif 3790   class class class wbr 4291   e. cmpt 4349   `'ccnv 4838   |` cres 4841   o. ccom 4843   Fn wfn 5412   -->wf 5413   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Fincfn 7309   CCcc 9279   RRcr 9280   1c1 9282   + caddc 9284   < clt 9417   <_ cle 9418   - cmin 9594   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   ...cfz 11436   seqcseq 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806

This theorem is referenced by:  seqf1o  11846