Theorem seqf1olem2 11318

Description: Lemma for seqf1o 11319. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
seqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqf1o.5	|- ( ph -> C C_ S )
seqf1olem.5	|- ( ph -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
seqf1olem.6	|- ( ph -> G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
seqf1olem.7	|- J = ( k e. ( M ... N ) |-> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) )
seqf1olem.8	|- K = ( `' F ` ( N + 1 ) )
seqf1olem.9	|- ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqf1olem2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , G ) ` ( N + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, k, x, y, z, F   f, G, g, k, x, y, z   f, M, g, k, x, y, z   .+ , f, g, k, x, y, z   f, J, g, x, y, z   f, N, g, k, x, y, z   k, K, x, y, z   ph, f, g, k, x, y, z   S, k, x, y, z   C, f, g, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   S( f, g)   J( k)   K( f, g)

Proof of Theorem seqf1olem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf1olem.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
2		ffn 5550	. . . . . . . . . 10 |- ( G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C -> G Fn ( M ... ( N + 1 ) ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G Fn ( M ... ( N + 1 ) ) )
4		fzssp1 11051	. . . . . . . . 9 |- ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) )
5		fnssres 5517	. . . . . . . . 9 |- ( ( G Fn ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G |` ( M ... N ) ) Fn ( M ... N ) )
6	3, 4, 5	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` ( M ... N ) ) Fn ( M ... N ) )
7		fzfid 11267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
8		fnfi 7343	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G |` ( M ... N ) ) Fn ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> ( G |` ( M ... N ) ) e. Fin )
9	6, 7, 8	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G |` ( M ... N ) ) e. Fin )
10		elex 2924	. . . . . . 7 |- ( ( G |` ( M ... N ) ) e. Fin -> ( G |` ( M ... N ) ) e. _V )
11	9, 10	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G |` ( M ... N ) ) e. _V )
12		seqf1o.1	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
13		seqf1o.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
14		seqf1o.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
15		seqf1o.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
16		seqf1o.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C C_ S )
17		seqf1olem.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
18		seqf1olem.7	. . . . . . . . 9 |- J = ( k e. ( M ... N ) |-> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) )
19		seqf1olem.8	. . . . . . . . 9 |- K = ( `' F ` ( N + 1 ) )
20	12, 13, 14, 15, 16, 17, 1, 18, 19	seqf1olem1 11317	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
21		f1of 5633	. . . . . . . 8 |- ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
23		fex2 5562	. . . . . . 7 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> J e. _V )
24	22, 7, 7, 23	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. _V )
25	11, 24	jca 519	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G |` ( M ... N ) ) e. _V /\ J e. _V ) )
26		seqf1olem.9	. . . . 5 |- ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )
27		fssres 5569	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C /\ ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C )
28	1, 4, 27	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C )
29	20, 28	jca 519	. . . . 5 |- ( ph -> ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) )
30		f1oeq1 5624	. . . . . . . 8 |- ( f = J -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
31		feq1 5535	. . . . . . . 8 |- ( g = ( G |` ( M ... N ) ) -> ( g : ( M ... N ) --> C <-> ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) )
32	30, 31	bi2anan9r 845	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) <-> ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) ) )
33		coeq1 4989	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( G |` ( M ... N ) ) -> ( g o. f ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) o. f ) )
34		coeq2 4990	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = J -> ( ( G |` ( M ... N ) ) o. f ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) )
35	33, 34	sylan9eq 2456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( g o. f ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) )
36	35	seqeq3d 11286	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> seq M ( .+ , ( g o. f ) ) = seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) )
37	36	fveq1d 5689	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) )
38		simpl 444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> g = ( G |` ( M ... N ) ) )
39	38	seqeq3d 11286	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> seq M ( .+ , g ) = seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) )
40	39	fveq1d 5689	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) )
41	37, 40	eqeq12d 2418	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) ) )
42	32, 41	imbi12d 312	. . . . . 6 |- ( ( g = ( G |` ( M ... N ) ) /\ f = J ) -> ( ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) <-> ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) ) ) )
43	42	spc2gv 2999	. . . . 5 |- ( ( ( G |` ( M ... N ) ) e. _V /\ J e. _V ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) -> ( ( J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) ) ) )
44	25, 26, 29, 43	syl3c 59	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) )
45		fvres 5704	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` x ) = ( G ` x ) )
46	45	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` x ) = ( G ` x ) )
47	15, 46	seqfveq 11302	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( G |` ( M ... N ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
48	44, 47	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
49	48	oveq1d 6055	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
50	12	adantlr 696	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
51	14	adantlr 696	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
52		elfzuz3 11012	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
53	52	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
54		eluzp1p1 10467	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
56		elfzuz 11011	. . . . . 6 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
57	56	adantl 453	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
58		f1of 5633	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
59	17, 58	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
60		fco 5559	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C /\ F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
61	1, 59, 60	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
62		fss 5558	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C /\ C C_ S ) -> ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> S )
63	61, 16, 62	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> S )
64	63	ffvelrnda 5829	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) e. S )
65	64	adantlr 696	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) e. S )
66	50, 51, 55, 57, 65	seqsplit 11311	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) )
67		elfzp12 11081	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) )
68	67	biimpa 471	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
69	15, 68	sylan 458	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
70		seqeq1 11281	. . . . . . . . . . 11 |- ( K = M -> seq K ( .+ , ( G o. F ) ) = seq M ( .+ , ( G o. F ) ) )
71	70	eqcomd 2409	. . . . . . . . . 10 |- ( K = M -> seq M ( .+ , ( G o. F ) ) = seq K ( .+ , ( G o. F ) ) )
72	71	fveq1d 5689	. . . . . . . . 9 |- ( K = M -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( seq K ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) )
73		f1ocnv 5646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
74		f1of 5633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
75	17, 73, 74	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> `' F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
76		peano2uz 10486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
77		eluzfz2 11021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
78	15, 76, 77	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
79	75, 78	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
80	19, 79	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
81		elfzelz 11015	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> K e. ZZ )
82		seq1 11291	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( seq K ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( ( G o. F ) ` K ) )
83	80, 81, 82	3syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( ( G o. F ) ` K ) )
84	72, 83	sylan9eqr 2458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( ( G o. F ) ` K ) )
85	84	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) )
86		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K = M ) -> K = M )
87		eluzfz1 11020	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
88	15, 87	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
89	88	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K = M ) -> M e. ( M ... N ) )
90	86, 89	eqeltrd 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = M ) -> K e. ( M ... N ) )
91	13	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
92	16	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> C C_ S )
93	61	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( G o. F ) : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C )
94	80	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> K e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
95		peano2uz 10486	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96		fzss1 11047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( K + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) )
97	57, 95, 96	3syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( K + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) )
98	50, 91, 51, 55, 92, 93, 94, 97	seqf1olem2a 11316	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) )
99		1z 10267	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
101		elfzuz 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
102		fzss1 11047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... N ) C_ ( M ... N ) )
103	80, 101, 102	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K ... N ) C_ ( M ... N ) )
104	103	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
105	22	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( J ` x ) e. ( M ... N ) )
106	104, 105	syldan 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( J ` x ) e. ( M ... N ) )
107		fvres 5704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J ` x ) e. ( M ... N ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
108	106, 107	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
109		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = x -> ( k < K <-> x < K ) )
110		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = x -> k = x )
111		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = x -> ( k + 1 ) = ( x + 1 ) )
112	109, 110, 111	ifbieq12d 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = x -> if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) = if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) )
113	112	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = x -> ( F ` if ( k < K , k , ( k + 1 ) ) ) = ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) )
114		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) e. _V
115	113, 18, 114	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( M ... N ) -> ( J ` x ) = ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) )
116	104, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) )
117		elfzle1 11016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( K ... N ) -> K <_ x )
118	117	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> K <_ x )
119	80, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> K e. ZZ )
120	119	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> K e. RR )
121	120	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> K e. RR )
122		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( K ... N ) -> x e. ZZ )
123	122	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ZZ )
124	123	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. RR )
125	121, 124	lenltd 9175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( K <_ x <-> -. x < K ) )
126	118, 125	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> -. x < K )
127		iffalse 3706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. x < K -> if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) = ( x + 1 ) )
128	127	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x < K -> ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
129	126, 128	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
130	116, 129	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
131	130	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( G ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
132	108, 131	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
133		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
134	22, 133	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
135	104, 134	syldan 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
136		fzp1elp1 11056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M ... N ) -> ( x + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
137	104, 136	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( x + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
138		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( x + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( x + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
139	59, 138	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( x + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
140	137, 139	syldan 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( x + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
141	132, 135, 140	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G o. F ) ` ( x + 1 ) ) )
142	141	adantlr 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G o. F ) ` ( x + 1 ) ) )
143	53, 100, 142	seqshft2 11304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) )
144		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ K e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` K ) = ( G ` ( F ` K ) ) )
145	59, 80, 144	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ` K ) = ( G ` ( F ` K ) ) )
146	19	fveq2i 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` K ) = ( F ` ( `' F ` ( N + 1 ) ) )
147		f1ocnvfv2 5974	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( N + 1 ) ) ) = ( N + 1 ) )
148	17, 78, 147	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` ( `' F ` ( N + 1 ) ) ) = ( N + 1 ) )
149	146, 148	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` K ) = ( N + 1 ) )
150	149	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G ` ( F ` K ) ) = ( G ` ( N + 1 ) ) )
151	145, 150	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ` ( N + 1 ) ) = ( ( G o. F ) ` K ) )
152	151	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( N + 1 ) ) = ( ( G o. F ) ` K ) )
153	143, 152	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) )
154	98, 153	eqtr4d 2439	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
155	90, 154	syldan 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
156	86	seqeq1d 11284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K = M ) -> seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) = seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) )
157	156	fveq1d 5689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) )
158	157	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
159	85, 155, 158	3eqtrd 2440	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = M ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
160		eluzel2 10449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
161	15, 160	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
162		elfzuz 11011	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
163		eluzp1m1 10465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
164	161, 162, 163	syl2an 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
165		eluzelz 10452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
166	15, 165	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> N e. ZZ )
167	166	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. CC )
168		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
169		pncan 9267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
170	167, 168, 169	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
171		peano2zm 10276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
172	80, 81, 171	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. ZZ )
173		elfzuz3 11012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
174	80, 173	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
175	119	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> K e. CC )
176		npcan 9270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
177	175, 168, 176	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
178	177	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` K ) )
179	174, 178	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
180		eluzp1m1 10465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K - 1 ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
181	172, 179, 180	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
182	170, 181	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
183		fzss2 11048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
184	182, 183	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
185	184	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
186	185, 105	syldan 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( J ` x ) e. ( M ... N ) )
187	186, 107	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( J ` x ) ) )
188	185, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) )
189		elfzm11 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> ( x e. ZZ /\ M <_ x /\ x < K ) ) )
190	161, 119, 189	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> ( x e. ZZ /\ M <_ x /\ x < K ) ) )
191	190	biimpa 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( x e. ZZ /\ M <_ x /\ x < K ) )
192	191	simp3d 971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x < K )
193		iftrue 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x < K -> if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) = x )
194	193	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x < K -> ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) = ( F ` x ) )
195	192, 194	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) = ( F ` x ) )
196	188, 195	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` x ) )
197	196	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( J ` x ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
198	187, 197	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( G ` ( F ` x ) ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
199		peano2uz 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) )
200		fzss2 11048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K - 1 ) ) -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) )
201	182, 199, 200	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M ... ( K - 1 ) ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) )
202	201	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
203		fvco3 5759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
204	59, 203	sylan 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
205	202, 204	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
206	185, 134	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
207	198, 205, 206	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) )
208	207	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) )
209	164, 208	seqfveq 11302	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) = ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) )
210		fzp1ss 11054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
211	15, 160, 210	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
212	211	sselda 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> K e. ( M ... N ) )
213	212, 154	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
214	209, 213	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) ) )
215	202, 64	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) e. S )
216	215	adantlr 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) e. S )
217	12	adantlr 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
218	164, 216, 217	seqcl 11298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S )
219	61, 80	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ` K ) e. C )
220	16, 219	sseldd 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ` K ) e. S )
221	220	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( G o. F ) ` K ) e. S )
222	97	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
223	222, 65	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) /\ x e. ( ( K + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) e. S )
224	55, 223, 50	seqcl 11298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) e. S )
225	212, 224	syldan 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) e. S )
226	218, 221, 225	3jca 1134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S /\ ( ( G o. F ) ` K ) e. S /\ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) e. S ) )
227	14	caovassg 6204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S /\ ( ( G o. F ) ` K ) e. S /\ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) e. S ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) ) )
228	226, 227	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( ( G o. F ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) ) )
229		fss 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> C /\ C C_ S ) -> G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> S )
230	1, 16, 229	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> S )
231		fssres 5569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : ( M ... ( N + 1 ) ) --> S /\ ( M ... N ) C_ ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S )
232	230, 4, 231	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S )
233		fco 5559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G |` ( M ... N ) ) : ( M ... N ) --> S /\ J : ( M ... N ) --> ( M ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) : ( M ... N ) --> S )
234	232, 22, 233	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) : ( M ... N ) --> S )
235	234	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
236	185, 235	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
237	236	adantlr 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
238	164, 237, 217	seqcl 11298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S )
239		elfzuz3 11012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
240	239	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
241	104, 235	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
242	241	adantlr 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
243	240, 242, 217	seqcl 11298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) e. S )
244	230, 78	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ` ( N + 1 ) ) e. S )
245	244	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` ( N + 1 ) ) e. S )
246	238, 243, 245	3jca 1134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S /\ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) e. S /\ ( G ` ( N + 1 ) ) e. S ) )
247	14	caovassg 6204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) e. S /\ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) e. S /\ ( G ` ( N + 1 ) ) e. S ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) ) )
248	246, 247	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) ) )
249	214, 228, 248	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
250		seqm1 11295	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) )
251	161, 162, 250	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) )
252	251	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( ( G o. F ) ` K ) ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) )
253	14	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
254		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> K e. ZZ )
255	254	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> K e. ZZ )
256	255	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> K e. CC )
257	256, 168, 176	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
258	257	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` K ) )
259	240, 258	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
260	235	adantlr 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) e. S )
261	217, 253, 259, 164, 260	seqsplit 11311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) )
262	257	seqeq1d 11284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) = seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) )
263	262	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) )
264	263	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq ( ( K - 1 ) + 1 ) ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) )
265	261, 264	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) )
266	265	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` ( K - 1 ) ) .+ ( seq K ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
267	249, 252, 266	3eqtr4d 2446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
268	159, 267	jaodan 761	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K = M \/ K e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
269	69, 268	syldan 457	. . . 4 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` K ) .+ ( seq ( K + 1 ) ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
270	66, 269	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( M ... N ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
271	15	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
272		seqp1 11293	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` N ) .+ ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) ) )
273	271, 272	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` N ) .+ ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) ) )
274	115	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) )
275		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
276	275	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. RR )
277	276	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. RR )
278	166	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. RR )
279	278	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. RR )
280		peano2re 9195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
281	279, 280	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
282		elfzle2 11017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( M ... N ) -> x <_ N )
283	282	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x <_ N )
284	279	ltp1d 9897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> N < ( N + 1 ) )
285	277, 279, 281, 283, 284	lelttrd 9184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> x < ( N + 1 ) )
286	285	adantlr 696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x < ( N + 1 ) )
287		simplr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K = ( N + 1 ) )
288	286, 287	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x < K )
289	288, 194	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` if ( x < K , x , ( x + 1 ) ) ) = ( F ` x ) )
290	274, 289	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( J ` x ) = ( F ` x ) )
291	290	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( F ` x ) ) )
292	276	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. RR )
293	292, 288	gtned 9164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K =/= x )
294	59	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) )
295		fzelp1 11055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
296	295	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
297	294, 296	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) )
298	15	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
299		elfzp1 11053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F ` x ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` x ) = ( N + 1 ) ) ) )
300	298, 299	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` x ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` x ) = ( N + 1 ) ) ) )
301	297, 300	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) \/ ( F ` x ) = ( N + 1 ) ) )
302	301	ord 367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( -. ( F ` x ) e. ( M ... N ) -> ( F ` x ) = ( N + 1 ) ) )
303	17	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) )
304		f1ocnvfv 5975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( N + 1 ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = x ) )
305	303, 296, 304	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` x ) = ( N + 1 ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = x ) )
306	19	eqeq1i 2411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K = x <-> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = x )
307	305, 306	syl6ibr 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` x ) = ( N + 1 ) -> K = x ) )
308	302, 307	syld 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( -. ( F ` x ) e. ( M ... N ) -> K = x ) )
309	308	necon1ad 2634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K =/= x -> ( F ` x ) e. ( M ... N ) ) )
310	293, 309	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. ( M ... N ) )
311		fvres 5704	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ( M ... N ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( F ` x ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
312	310, 311	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( F ` x ) ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
313	291, 312	eqtr2d 2437	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` ( F ` x ) ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
314	59, 295, 203	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
315	314	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
316	134	adantlr 696	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) = ( ( G |` ( M ... N ) ) ` ( J ` x ) ) )
317	313, 315, 316	3eqtr4d 2446	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ` x ) )
318	271, 317	seqfveq 11302	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) )
319		fvco3 5759	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ( M ... ( N + 1 ) ) --> ( M ... ( N + 1 ) ) /\ ( N + 1 ) e. ( M ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
320	59, 78, 319	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
321	320	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) = ( G ` ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
322		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> K = ( N + 1 ) )
323	19, 322	syl5eqr 2450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( `' F ` ( N + 1 ) ) = ( N + 1 ) )
324	323	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( N + 1 ) ) ) = ( F ` ( N + 1 ) ) )
325	148	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( F ` ( `' F ` ( N + 1 ) ) ) = ( N + 1 ) )
326	324, 325	eqtr3d 2438	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) = ( N + 1 ) )
327	326	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( G ` ( F ` ( N + 1 ) ) ) = ( G ` ( N + 1 ) ) )
328	321, 327	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) = ( G ` ( N + 1 ) ) )
329	318, 328	oveq12d 6058	. . . 4 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` N ) .+ ( ( G o. F ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
330	273, 329	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( ph /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
331		elfzp1 11053	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
332	15, 331	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. ( M ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( M ... N ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
333	80, 332	mpbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( K e. ( M ... N ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
334	270, 330, 333	mpjaodan 762	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , ( ( G |` ( M ... N ) ) o. J ) ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
335		seqp1 11293	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
336	15, 335	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) .+ ( G ` ( N + 1 ) ) ) )
337	49, 334, 336	3eqtr4d 2446	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( G o. F ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , G ) ` ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   |` cres 4839   o. ccom 4841   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947   + caddc 8949   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   seq cseq 11278

This theorem is referenced by:  seqf1o  11319

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279