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Theorem seqf1olem1 12109
Description: Lemma for seqf1o 12111. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1olem.5  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
seqf1olem.6  |-  ( ph  ->  G : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> C )
seqf1olem.7  |-  J  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
seqf1olem.8  |-  K  =  ( `' F `  ( N  +  1
) )
Assertion
Ref Expression
seqf1olem1  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, F    k, G, x, y, z    k, M, x, y, z    .+ , k, x, y, z    x, J, y, z    k, N, x, y, z    k, K, x, y, z    ph, k, x, y, z    S, k, x, y, z    C, k, x, y, z
Allowed substitution hint:    J( k)

Proof of Theorem seqf1olem1
StepHypRef Expression
1 seqf1olem.7 . 2  |-  J  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
2 fvex 5874 . . 3  |-  ( F `
 if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  if ( k  < 
K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  e. 
_V )
4 fvex 5874 . . . 4  |-  ( `' F `  x )  e.  _V
5 ovex 6307 . . . 4  |-  ( ( `' F `  x )  -  1 )  e. 
_V
64, 5ifex 4008 . . 3  |-  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  e.  _V
76a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  if (
( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  e.  _V )
8 iftrue 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( k  <  K  ->  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) )  =  k )
98fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( k  <  K  ->  ( F `  if (
k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `
 k ) )
109eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( k  <  K  ->  (
x  =  ( F `
 if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  <-> 
x  =  ( F `
 k ) ) )
1110adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  k  <  K )  ->  (
x  =  ( F `
 if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  <-> 
x  =  ( F `
 k ) ) )
12 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  x  =  ( F `  k ) )
13 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ZZ )
1413zred 10962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  RR )
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  k  e.  RR )
16 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  k  <  K
)
1715, 16gtned 9715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  K  =/=  k
)
18 seqf1olem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
19 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) )  ->  F :
( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1
) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
22 fzssp1 11722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M ... N )  C_  ( M ... ( N  +  1 ) )
23 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N ) )
2422, 23sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
2521, 24ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
26 seqf1o.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
27 elfzp1 11726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( ( F `
 k )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 k )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  k )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  k )  e.  ( M ... N )  \/  ( F `  k )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( ( F `
 k )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 k )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
3025, 29mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 k )  =  ( N  +  1 ) ) )
3130ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( -.  ( F `  k )  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  k )  =  ( N  +  1 ) ) )
3218ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
33 f1ocnvfv 6170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( F `  k )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  k ) )
3432, 24, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  k ) )
35 seqf1olem.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( `' F `  ( N  +  1
) )
3635eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =  k  <->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  k )
3734, 36syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  =  ( N  +  1 )  ->  K  =  k ) )
3831, 37syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( -.  ( F `  k )  e.  ( M ... N
)  ->  K  =  k ) )
3938necon1ad 2683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( K  =/=  k  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... N ) ) )
4017, 39mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... N ) )
4112, 40eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
4212eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  =  x )
43 f1ocnvfv 6170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( F `  k )  =  x  ->  ( `' F `  x )  =  k ) )
4432, 24, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k )  =  x  ->  ( `' F `  x )  =  k ) )
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( `' F `  x )  =  k )
4645, 16eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( `' F `  x )  <  K
)
47 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F `  x )  <  K  ->  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  =  ( `' F `  x ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  =  ( `' F `  x ) )
4948, 45eqtr2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
5041, 49jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  (
k  <  K  /\  x  =  ( F `  k ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) )
5150expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  k  <  K )  ->  (
x  =  ( F `
 k )  -> 
( x  e.  ( M ... N )  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
5211, 51sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  k  <  K )  ->  (
x  =  ( F `
 if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
53 iffalse 3948 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  <  K  ->  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
5453fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  <  K  -> 
( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
5554eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  <  K  -> 
( x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  <->  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
5655adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  k  <  K )  -> 
( x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  <->  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
57 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
58 f1ocnv 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
5918, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
60 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
62 f1f 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N  +  1 ) )  ->  `' F :
( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1
) ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
64 peano2uz 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6526, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
66 eluzfz2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
6863, 67ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( N  +  1
) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
6935, 68syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
70 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  K  e.  ZZ )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
7271zred 10962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  K  e.  RR )
7414ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  RR )
75 peano2re 9748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
77 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  -.  k  <  K )
7873, 74lenltd 9726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( K  <_ 
k  <->  -.  k  <  K ) )
7977, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  K  <_  k
)
8074ltp1d 10472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  k  <  (
k  +  1 ) )
8173, 74, 76, 79, 80lelttrd 9735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  K  <  (
k  +  1 ) )
8273, 81ltned 9716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  K  =/=  (
k  +  1 ) )
8320ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
84 fzp1elp1 11729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1
) ) )
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
8683, 85ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
87 elfzp1 11726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  <->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N )  \/  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) ) ) )
8826, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N )  \/  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  <->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 ) ) ) )
9086, 89mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N
)  \/  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 ) ) )
9190ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) ) )
9218ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
93 f1ocnvfv 6170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) ) )
9492, 85, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 )  ->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) ) )
9535eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =  ( k  +  1 )  <->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
9694, 95syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( N  +  1 )  ->  K  =  ( k  +  1 ) ) )
9791, 96syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( -.  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N )  ->  K  =  ( k  +  1 ) ) )
9897necon1ad 2683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( K  =/=  ( k  +  1 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N ) ) )
9982, 98mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
10057, 99eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
10157eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  x )
102 f1ocnvfv 6170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  x  ->  ( `' F `  x )  =  ( k  +  1 ) ) )
10392, 85, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  x  ->  ( `' F `  x )  =  ( k  +  1 ) ) )
104101, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( `' F `  x )  =  ( k  +  1 ) )
105104breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( `' F `  x )  <  K  <->  ( k  +  1 )  < 
K ) )
106 lttr 9657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( ( k  < 
( k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  < 
K )  ->  k  <  K ) )
10774, 76, 73, 106syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( k  <  ( k  +  1 )  /\  (
k  +  1 )  <  K )  -> 
k  <  K )
)
10880, 107mpand 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  < 
K  ->  k  <  K ) )
109105, 108sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( `' F `  x )  <  K  ->  k  <  K ) )
11077, 109mtod 177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  -.  ( `' F `  x )  <  K )
111 iffalse 3948 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  ->  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  =  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  =  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )
113104oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( `' F `  x )  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
11474recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  CC )
115 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
116 pncan 9822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
117114, 115, 116sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
118112, 113, 1173eqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
119100, 118jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  k  <  K  /\  x  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) )
120119expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  k  <  K )  -> 
( x  =  ( F `  ( k  +  1 ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
12156, 120sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  k  <  K )  -> 
( x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
12252, 121pm2.61dan 789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( x  =  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  /\  k  =  if (
( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
123122expimpd 603 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  /\  k  =  if (
( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
12447eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F `  x )  <  K  ->  (
k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  <->  k  =  ( `' F `  x ) ) )
125124adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  <->  k  =  ( `' F `  x ) ) )
126 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  =  ( `' F `  x ) )
12763ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  +  1
) ) --> ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
128 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N
) )
12922, 128sseldi 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
130127, 129ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( `' F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1
) ) )
131126, 130eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
132 elfzle1 11685 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  M  <_  k )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  M  <_  k )
134 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  k  e.  ZZ )
135131, 134syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
136135zred 10962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  e.  RR )
13772ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  K  e.  RR )
138 eluzelz 11087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
13926, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
140139peano2zd 10965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
141140zred 10962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
142141ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
143 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( `' F `  x )  <  K )
144126, 143eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  <  K )
145 elfzle2 11686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  K  <_  ( N  +  1 ) )
14669, 145syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  <_  ( N  +  1 ) )
147146ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  K  <_  ( N  +  1 ) )
148136, 137, 142, 144, 147ltletrd 9737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  <  ( N  +  1 ) )
149139ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
150 zleltp1 10909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  <_  N  <->  k  <  ( N  + 
1 ) ) )
151135, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  (
k  <_  N  <->  k  <  ( N  +  1 ) ) )
152148, 151mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  <_  N )
153 eluzel2 11083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
15426, 153syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
155154ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
156 elfz 11674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
157135, 155, 149, 156syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
158133, 152, 157mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
159144, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( F `  if (
k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `
 k ) )
160126fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( `' F `  x ) ) )
16118ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
162 f1ocnvfv2 6169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  + 
1 ) )  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
163161, 129, 162syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  x )
)  =  x )
164159, 160, 1633eqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  x  =  ( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
165158, 164jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  (
( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  ( `' F `  x ) ) )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  /\  x  =  ( F `  if ( k  < 
K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) )
166165expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  ( `' F `  x )  ->  ( k  e.  ( M ... N
)  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
167125, 166sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  /\  x  =  ( F `  if ( k  < 
K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
168111eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  ->  ( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  <->  k  =  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
169168adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  <->  k  =  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
170154zred 10962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
171170ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
17272ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
173 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
k  =  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )
17463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) --> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
175 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
17622, 175sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
177174, 176ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) )
178 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  ( `' F `  x )  e.  ZZ )
179177, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  e.  ZZ )
180 peano2zm 10902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  x )  e.  ZZ  ->  (
( `' F `  x )  -  1 )  e.  ZZ )
181179, 180syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( `' F `  x )  -  1 )  e.  ZZ )
182173, 181eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
k  e.  ZZ )
183182zred 10962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
k  e.  RR )
184 elfzle1 11685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  M  <_  K )
18569, 184syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
186185ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  M  <_  K )
187 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  -.  ( `' F `  x )  <  K
)
188179zred 10962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  e.  RR )
189172, 188lenltd 9726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( K  <_  ( `' F `  x )  <->  -.  ( `' F `  x )  <  K
) )
190187, 189mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  <_  ( `' F `  x ) )
191 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
192191adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  ZZ )
193192zred 10962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
194139zred 10962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
195194adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  RR )
196141adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
197 elfzle2 11686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  <_  N )
198197adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <_  N )
199195ltp1d 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
200193, 195, 196, 198, 199lelttrd 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <  ( N  +  1 ) )
201193, 200gtned 9715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( N  +  1 )  =/=  x )
202201adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( N  +  1 )  =/=  x )
20361ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
20467ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  + 
1 ) ) )
205 f1fveq 6156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' F : ( M ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  ( ( N  +  1 )  e.  ( M ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  ( M ... ( N  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( `' F `  x )  <-> 
( N  +  1 )  =  x ) )
206203, 204, 176, 205syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =  ( `' F `  x )  <-> 
( N  +  1 )  =  x ) )
207206necon3bid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =/=  ( `' F `  x )  <-> 
( N  +  1 )  =/=  x ) )
208202, 207mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  ( N  +  1
) )  =/=  ( `' F `  x ) )
20935neeq1i 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  =/=  ( `' F `  x )  <->  ( `' F `  ( N  +  1 ) )  =/=  ( `' F `  x ) )
210208, 209sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  =/=  ( `' F `  x ) )
211210necomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  =/=  K
)
212172, 188ltlend 9725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( K  <  ( `' F `  x )  <-> 
( K  <_  ( `' F `  x )  /\  ( `' F `  x )  =/=  K
) ) )
213190, 211, 212mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  <  ( `' F `  x ) )
21471ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
215 zltlem1 10911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( `' F `  x )  e.  ZZ )  -> 
( K  <  ( `' F `  x )  <-> 
K  <_  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
216214, 179, 215syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( K  <  ( `' F `  x )  <-> 
K  <_  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )
217213, 216mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  <_  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )
218217, 173breqtrrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  K  <_  k )
219171, 172, 183, 186, 218letrd 9734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  M  <_  k )
220 elfzle2 11686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  x )  e.  ( M ... ( N  +  1
) )  ->  ( `' F `  x )  <_  ( N  + 
1 ) )
221177, 220syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  <_  ( N  +  1 ) )
222194ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
223 1re 9591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
224 lesubadd 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( `' F `  x )  -  1 )  <_  N 
<->  ( `' F `  x )  <_  ( N  +  1 ) ) )
225223, 224mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( `' F `  x )  -  1 )  <_  N 
<->  ( `' F `  x )  <_  ( N  +  1 ) ) )
226188, 222, 225syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( `' F `  x )  -  1 )  <_  N 
<->  ( `' F `  x )  <_  ( N  +  1 ) ) )
227221, 226mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( `' F `  x )  -  1 )  <_  N )
228173, 227eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
k  <_  N )
229154ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
230139ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
231182, 229, 230, 156syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( k  e.  ( M ... N )  <-> 
( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
232219, 228, 231mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
k  e.  ( M ... N ) )
233172, 183lenltd 9726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( K  <_  k  <->  -.  k  <  K ) )
234218, 233mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  -.  k  <  K )
235234, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  if ( k  <  K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
236173oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( k  +  1 )  =  ( ( ( `' F `  x )  -  1 )  +  1 ) )
237179zcnd 10963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( `' F `  x )  e.  CC )
238 npcan 9825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F `  x )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( `' F `  x )  -  1 )  +  1 )  =  ( `' F `  x ) )
239237, 115, 238sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( `' F `  x )  -  1 )  +  1 )  =  ( `' F `  x ) )
240236, 239eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( k  +  1 )  =  ( `' F `  x ) )
241240fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  ( F `
 ( `' F `  x ) ) )
24218ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  F : ( M ... ( N  +  1
) ) -1-1-onto-> ( M ... ( N  +  1 ) ) )
243242, 176, 162syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
244235, 241, 2433eqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  ->  x  =  ( F `  if ( k  < 
K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) )
245232, 244jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  ( -.  ( `' F `  x )  <  K  /\  k  =  (
( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( k  e.  ( M ... N )  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) )
246245expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  ( ( `' F `  x )  -  1 )  ->  ( k  e.  ( M ... N
)  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
247169, 246sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( M ... N
) )  /\  -.  ( `' F `  x )  <  K )  -> 
( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  /\  x  =  ( F `  if ( k  < 
K ,  k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
248167, 247pm2.61dan 789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) )  ->  ( k  e.  ( M ... N
)  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
249248expimpd 603 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) )  -> 
( k  e.  ( M ... N )  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
250123, 249impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  /\  x  =  ( F `  if ( k  <  K , 
k ,  ( k  +  1 ) ) ) )  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  /\  k  =  if ( ( `' F `  x )  <  K ,  ( `' F `  x ) ,  ( ( `' F `  x )  -  1 ) ) ) ) )
2511, 3, 7, 250f1od 6507 1  |-  ( ph  ->  J : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  12110
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