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Theorem seqf1o 11847
Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on  ( M ... N
). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
seqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  x )  e.  C
)
seqf1o.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
Assertion
Ref Expression
seqf1o  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, F    k, G, x, y, z    k, M, x, y, z    .+ , k, x, y, z    k, N, x, y, z    ph, k, x, y, z    S, k, x, y, z    C, k, x, y, z    k, H
Allowed substitution hints:    H( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1o
Dummy variables  f 
g  s  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf1o.6 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2 seqf1o.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  x )  e.  C
)
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )
42, 3fmptd 5867 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) : ( M ... N ) --> C )
5 seqf1o.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... x )  =  ( M ... M
) )
7 f1oeq23 5635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... M )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... M ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
86, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... M
)
-1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
96feq2d 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... M ) --> C ) )
108, 9anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C ) ) )
11 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
) )
12 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  M
) )
1311, 12eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  M
) ) )
1410, 13imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  M )
) ) )
15142albidv 1681 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  M ) ) ) )
1615imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  M ) ) ) ) )
17 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( M ... x )  =  ( M ... k
) )
18 f1oeq23 5635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... k )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... k ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
1917, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
2017feq2d 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... k ) --> C ) )
2119, 20anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C ) ) )
22 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
) )
23 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) )
2422, 23eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )
2521, 24imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  k )
) ) )
26252albidv 1681 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  k ) ) ) )
2726imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  k ) ) ) ) )
28 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... x )  =  ( M ... (
k  +  1 ) ) )
29 f1oeq23 5635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... ( k  +  1 ) ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) ) ) )
3028, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... (
k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) ) ) )
3128feq2d 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )
3230, 31anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C ) ) )
33 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  (
k  +  1 ) ) )
34 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  (
k  +  1 ) ) )
3533, 34eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
3632, 35imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
37362albidv 1681 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
3837imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
39 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... x )  =  ( M ... N
) )
40 f1oeq23 5635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... N )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... N ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
4139, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
4239feq2d 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... N ) --> C ) )
4341, 42anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C ) ) )
44 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
) )
45 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) )
4644, 45eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) ) )
4743, 46imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  N )
) ) )
48472albidv 1681 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  N ) ) ) )
4948imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  N ) ) ) ) )
50 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  ->  f :
( M ... M
) --> ( M ... M ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  f : ( M ... M ) --> ( M ... M
) )
52 elfz3 11461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
53 fvco3 5768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M )  /\  M  e.  ( M ... M ) )  ->  ( (
g  o.  f ) `
 M )  =  ( g `  (
f `  M )
) )
5451, 52, 53syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( ( g  o.  f ) `  M
)  =  ( g `
 ( f `  M ) ) )
55 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M )  /\  M  e.  ( M ... M ) )  ->  ( f `  M )  e.  ( M ... M ) )
5650, 52, 55syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
) )  ->  (
f `  M )  e.  ( M ... M
) )
57 fzsn 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
5857eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f `  M
)  e.  ( M ... M )  <->  ( f `  M )  e.  { M } ) )
59 elsni 3902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  M )  e.  { M }  ->  ( f `  M
)  =  M )
6058, 59syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f `  M
)  e.  ( M ... M )  -> 
( f `  M
)  =  M ) )
6160imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f `  M
)  e.  ( M ... M ) )  ->  ( f `  M )  =  M )
6256, 61syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
) )  ->  (
f `  M )  =  M )
6362adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( f `  M
)  =  M )
6463fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( g `  (
f `  M )
)  =  ( g `
 M ) )
6554, 64eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( ( g  o.  f ) `  M
)  =  ( g `
 M ) )
66 seq1 11819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  ( ( g  o.  f ) `
 M ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  ( ( g  o.  f
) `  M )
)
68 seq1 11819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  M
)  =  ( g `
 M ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  g ) `  M )  =  ( g `  M ) )
7065, 67, 693eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  M ) )
7170ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  M
) ) )
7271alrimivv 1686 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  M ) ) )
7372a1d 25 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... M
)
-1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  M
) ) ) )
74 f1oeq1 5632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  t  ->  (
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  <->  t :
( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
75 feq1 5542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  s  ->  (
g : ( M ... k ) --> C  <-> 
s : ( M ... k ) --> C ) )
7674, 75bi2anan9r 869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( ( f : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  <->  ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  s :
( M ... k
) --> C ) ) )
77 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  s  ->  (
g  o.  f )  =  ( s  o.  f ) )
78 coeq2 4998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  t  ->  (
s  o.  f )  =  ( s  o.  t ) )
7977, 78sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( g  o.  f
)  =  ( s  o.  t ) )
8079seqeq3d 11814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) )  =  seq M (  .+  ,  ( s  o.  t ) ) )
8180fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( g  o.  f ) ) `
 k )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( s  o.  t ) ) `
 k ) )
82 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  g  =  s )
8382seqeq3d 11814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  seq M (  .+  ,  g )  =  seq M (  .+  ,  s ) )
8483fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  (  seq M ( 
.+  ,  g ) `
 k )  =  (  seq M ( 
.+  ,  s ) `
 k ) )
8581, 84eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  k )  <->  (  seq M (  .+  ,  ( s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq M (  .+  ,  s ) `  k ) ) )
8676, 85imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  k ) )  <->  ( (
t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  s
) `  k )
) ) )
8786cbval2v 1978 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  <->  A. s A. t
( ( t : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( s  o.  t
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
s ) `  k
) ) )
88 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  ph )
89 seqf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
9088, 89sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
91 seqf1o.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
9288, 91sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
93 seqf1o.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9488, 93sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
95 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
96 seqf1o.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
9788, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  C  C_  S )
98 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) ) )
99 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )
100 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( M ... k )  |->  ( f `
 if ( w  <  ( `' f `
 ( k  +  1 ) ) ,  w ,  ( w  +  1 ) ) ) )  =  ( w  e.  ( M ... k )  |->  ( f `  if ( w  <  ( `' f `  ( k  +  1 ) ) ,  w ,  ( w  +  1 ) ) ) )
101 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' f `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' f `
 ( k  +  1 ) )
102 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )
103102, 87sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( s  o.  t
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
s ) `  k
) ) )
10490, 92, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103seqf1olem2 11846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) )
105104exp31 604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  ->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
10687, 105syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
107106alrimdv 1687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  A. f
( ( f : ( M ... (
k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
108107alrimdv 1687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
10987, 108syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
110109expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  k ) )  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
111110a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  -> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
11216, 27, 38, 49, 73, 111uzind4 10912 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) ) ) )
1135, 112mpcom 36 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) ) )
114 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
115114, 3fnmpti 5539 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  Fn  ( M ... N )
116 fzfi 11794 . . . . . 6  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
117 fnfi 7589 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  Fn  ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin )  -> 
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  Fin )
118115, 116, 117mp2an 672 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  e.  Fin
119 f1of 5641 . . . . . . 7  |-  ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  F :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
1201, 119syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
121 ovex 6116 . . . . . . 7  |-  ( M ... N )  e. 
_V
122121a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  _V )
123 fex2 6532 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  _V  /\  ( M ... N
)  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
124120, 122, 122, 123syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
125 f1oeq1 5632 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
126 feq1 5542 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )  -> 
( g : ( M ... N ) --> C  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C ) )
127125, 126bi2anan9r 869 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  <-> 
( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C ) ) )
128 coeq1 4997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )  -> 
( g  o.  f
)  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  f ) )
129 coeq2 4998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  f
)  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) )
130128, 129sylan9eq 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( g  o.  f )  =  ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) )
131130seqeq3d 11814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  seq M ( 
.+  ,  ( g  o.  f ) )  =  seq M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) )
132131fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
( ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) `  N ) )
133 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) )
134133seqeq3d 11814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  seq M ( 
.+  ,  g )  =  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) )
135134fveq1d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) ) `  N ) )
136132, 135eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) ) `  N ) ) )
137127, 136imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) )  <->  ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
138137spc2gv 3060 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  Fin  /\  F  e.  _V )  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  N ) )  -> 
( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
139118, 124, 138sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  N ) )  -> 
( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
140113, 139mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) )
1411, 4, 140mp2and 679 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) ) `  N
) )
142120ffvelrnda 5843 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... N ) )
143 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
144 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( G `
 ( F `  k ) )  e. 
_V
145143, 3, 144fvmpt 5774 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  ( M ... N )  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) `  ( F `  k )
)  =  ( G `
 ( F `  k ) ) )
146142, 145syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) `  ( F `
 k ) )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
147 fvco3 5768 . . . . 5  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) `
 ( F `  k ) ) )
148120, 147sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) `
 ( F `  k ) ) )
149 seqf1o.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
150146, 148, 1493eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( H `  k ) )
1515, 150seqfveq 11830 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  H
) `  N )
)
152 fveq2 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( G `  x )  =  ( G `  k ) )
153 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( G `
 k )  e. 
_V
154152, 3, 153fvmpt 5774 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) `  k
)  =  ( G `
 k ) )
155154adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) `  k )  =  ( G `  k ) )
1565, 155seqfveq 11830 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
)
157141, 151, 1563eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ifcif 3791   {csn 3877   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   1c1 9283    + caddc 9285    < clt 9418   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437    seqcseq 11806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807
This theorem is referenced by:  summolem3  13191  eulerthlem2  13857  gsumval3eu  16381  gsumval3OLD  16382  gsumval3  16385  prodmolem3  27446
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