Theorem seqf1o 12260

Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on ( M ... N ). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
seqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqf1o.5	|- ( ph -> C C_ S )
seqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
seqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. C )
seqf1o.8	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqf1o	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, F   k, G, x, y, z   k, M, x, y, z   .+ , k, x, y, z   k, N, x, y, z   ph, k, x, y, z   S, k, x, y, z   C, k, x, y, z   k, H

Allowed substitution hints:   H( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1o

Dummy variables f g s t w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf1o.6	. . 3 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2		seqf1o.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. C )
3		eqid 2422	. . . 4 |- ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) )
4	2, 3	fmptd 6061	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C )
5		seqf1o.4	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		oveq2 6313	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( M ... x ) = ( M ... M ) )
7		f1oeq23 5825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... M ) /\ ( M ... x ) = ( M ... M ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
8	6, 6, 7	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
9	6	feq2d 5733	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... M ) --> C ) )
10	8, 9	anbi12d 715	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) )
11		fveq2 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) )
12		fveq2 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) )
13	11, 12	eqeq12d 2444	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
14	10, 13	imbi12d 321	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
15	14	2albidv 1763	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
16	15	imbi2d 317	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) ) )
17		oveq2 6313	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( M ... x ) = ( M ... k ) )
18		f1oeq23 5825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... k ) /\ ( M ... x ) = ( M ... k ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
19	17, 17, 18	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
20	17	feq2d 5733	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... k ) --> C ) )
21	19, 20	anbi12d 715	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) ) )
22		fveq2 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) )
23		fveq2 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) )
24	22, 23	eqeq12d 2444	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) )
25	21, 24	imbi12d 321	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) )
26	25	2albidv 1763	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) )
27	26	imbi2d 317	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) ) )
28		oveq2 6313	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
29		f1oeq23 5825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) /\ ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) ) )
30	28, 28, 29	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) ) )
31	28	feq2d 5733	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) )
32	30, 31	anbi12d 715	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) )
33		fveq2 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) )
34		fveq2 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) )
35	33, 34	eqeq12d 2444	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) )
36	32, 35	imbi12d 321	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
37	36	2albidv 1763	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
38	37	imbi2d 317	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
39		oveq2 6313	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( M ... x ) = ( M ... N ) )
40		f1oeq23 5825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... N ) /\ ( M ... x ) = ( M ... N ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
41	39, 39, 40	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
42	39	feq2d 5733	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... N ) --> C ) )
43	41, 42	anbi12d 715	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) ) )
44		fveq2 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) )
45		fveq2 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) )
46	44, 45	eqeq12d 2444	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )
47	43, 46	imbi12d 321	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
48	47	2albidv 1763	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
49	48	imbi2d 317	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) ) )
50		f1of 5831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) -> f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) )
51	50	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) )
52		elfz3 11816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
53		fvco3 5958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) /\ M e. ( M ... M ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` ( f ` M ) ) )
54	51, 52, 53	syl2anr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` ( f ` M ) ) )
55		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) /\ M e. ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) e. ( M ... M ) )
56	50, 52, 55	syl2anr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) e. ( M ... M ) )
57		fzsn 11847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
58	57	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( ( f ` M ) e. ( M ... M ) <-> ( f ` M ) e. { M } ) )
59		elsni 4023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` M ) e. { M } -> ( f ` M ) = M )
60	58, 59	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( ( f ` M ) e. ( M ... M ) -> ( f ` M ) = M ) )
61	60	imp 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f ` M ) e. ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) = M )
62	56, 61	syldan 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) = M )
63	62	adantrr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( f ` M ) = M )
64	63	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( g ` ( f ` M ) ) = ( g ` M ) )
65	54, 64	eqtrd 2463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` M ) )
66		seq1 12232	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( ( g o. f ) ` M ) )
67	66	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( ( g o. f ) ` M ) )
68		seq1 12232	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , g ) ` M ) = ( g ` M ) )
69	68	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` M ) = ( g ` M ) )
70	65, 67, 69	3eqtr4d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) )
71	70	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
72	71	alrimivv 1768	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
73	72	a1d 26	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
74		f1oeq1 5822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = t -> ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) <-> t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
75		feq1 5728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = s -> ( g : ( M ... k ) --> C <-> s : ( M ... k ) --> C ) )
76	74, 75	bi2anan9r 882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) <-> ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) ) )
77		coeq1 5011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = s -> ( g o. f ) = ( s o. f ) )
78		coeq2 5012	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = t -> ( s o. f ) = ( s o. t ) )
79	77, 78	sylan9eq 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( g o. f ) = ( s o. t ) )
80	79	seqeq3d 12227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> seq M ( .+ , ( g o. f ) ) = seq M ( .+ , ( s o. t ) ) )
81	80	fveq1d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) )
82		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> g = s )
83	82	seqeq3d 12227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> seq M ( .+ , g ) = seq M ( .+ , s ) )
84	83	fveq1d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) )
85	81, 84	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) <-> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
86	76, 85	imbi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) <-> ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) ) )
87	86	cbval2v 2087	. . . . . . . . 9 |- ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) <-> A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
88		simplll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> ph )
89		seqf1o.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
90	88, 89	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
91		seqf1o.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
92	88, 91	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
93		seqf1o.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
94	88, 93	sylan 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
95		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
96		seqf1o.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C C_ S )
97	88, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> C C_ S )
98		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) )
99		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C )
100		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( M ... k ) |-> ( f ` if ( w < ( `' f ` ( k + 1 ) ) , w , ( w + 1 ) ) ) ) = ( w e. ( M ... k ) |-> ( f ` if ( w < ( `' f ` ( k + 1 ) ) , w , ( w + 1 ) ) ) )
101		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' f ` ( k + 1 ) ) = ( `' f ` ( k + 1 ) )
102		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) )
103	102, 87	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
104	90, 92, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103	seqf1olem2 12259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) )
105	104	exp31 607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
106	87, 105	syl5bir 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
107	106	alrimdv 1769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
108	107	alrimdv 1769	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
109	87, 108	syl5bi 220	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
110	109	expcom 436	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
111	110	a2d 29	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
112	16, 27, 38, 49, 73, 111	uzind4 11224	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
113	5, 112	mpcom 37	. . . 4 |- ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )
114		fvex 5891	. . . . . . 7 |- ( G ` x ) e. _V
115	114, 3	fnmpti 5724	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) Fn ( M ... N )
116		fzfi 12191	. . . . . 6 |- ( M ... N ) e. Fin
117		fnfi 7858	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) Fn ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin )
118	115, 116, 117	mp2an 676	. . . . 5 |- ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin
119		f1of 5831	. . . . . . 7 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
120	1, 119	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
121		ovex 6333	. . . . . . 7 |- ( M ... N ) e. _V
122	121	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. _V )
123		fex2 6762	. . . . . 6 |- ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. _V /\ ( M ... N ) e. _V ) -> F e. _V )
124	120, 122, 122, 123	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ph -> F e. _V )
125		f1oeq1 5822	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
126		feq1 5728	. . . . . . . 8 |- ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) -> ( g : ( M ... N ) --> C <-> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) )
127	125, 126	bi2anan9r 882	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) <-> ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) ) )
128		coeq1 5011	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) -> ( g o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. f ) )
129		coeq2 5012	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) )
130	128, 129	sylan9eq 2483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( g o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) )
131	130	seqeq3d 12227	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> seq M ( .+ , ( g o. f ) ) = seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) )
132	131	fveq1d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) )
133		simpl 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) )
134	133	seqeq3d 12227	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> seq M ( .+ , g ) = seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) )
135	134	fveq1d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) )
136	132, 135	eqeq12d 2444	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) )
137	127, 136	imbi12d 321	. . . . . 6 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) <-> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
138	137	spc2gv 3169	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin /\ F e. _V ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
139	118, 124, 138	sylancr 667	. . . 4 |- ( ph -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
140	113, 139	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) )
141	1, 4, 140	mp2and 683	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) )
142	120	ffvelrnda 6037	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
143		fveq2 5881	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` k ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
144		fvex 5891	. . . . . 6 |- ( G ` ( F ` k ) ) e. _V
145	143, 3, 144	fvmpt 5964	. . . . 5 |- ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
146	142, 145	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
147		fvco3 5958	. . . . 5 |- ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) )
148	120, 147	sylan 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) )
149		seqf1o.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
150	146, 148, 149	3eqtr4d 2473	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( H ` k ) )
151	5, 150	seqfveq 12243	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , H ) ` N ) )
152		fveq2 5881	. . . . 5 |- ( x = k -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
153		fvex 5891	. . . . 5 |- ( G ` k ) e. _V
154	152, 3, 153	fvmpt 5964	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
155	154	adantl 467	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
156	5, 155	seqfveq 12243	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
157	141, 151, 156	3eqtr3d 2471	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   A.wal 1435   = wceq 1437   e. wcel 1872   _Vcvv 3080   C_ wss 3436   ifcif 3911   {csn 3998   class class class wbr 4423   |-> cmpt 4482   `'ccnv 4852   o. ccom 4857   Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7580   1c1 9547   + caddc 9549   < clt 9682   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791   seqcseq 12219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220

This theorem is referenced by:  summolem3  13779  prodmolem3  13986  eulerthlem2  14729  gsumval3eu  17537  gsumval3  17540