Theorem seqf1o 11847

Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on ( M ... N ). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
seqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqf1o.5	|- ( ph -> C C_ S )
seqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
seqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. C )
seqf1o.8	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqf1o	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, F   k, G, x, y, z   k, M, x, y, z   .+ , k, x, y, z   k, N, x, y, z   ph, k, x, y, z   S, k, x, y, z   C, k, x, y, z   k, H

Allowed substitution hints:   H( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1o

Dummy variables f g s t w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf1o.6	. . 3 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2		seqf1o.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. C )
3		eqid 2443	. . . 4 |- ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) )
4	2, 3	fmptd 5867	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C )
5		seqf1o.4	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		oveq2 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( M ... x ) = ( M ... M ) )
7		f1oeq23 5635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... M ) /\ ( M ... x ) = ( M ... M ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
8	6, 6, 7	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
9	6	feq2d 5547	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... M ) --> C ) )
10	8, 9	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) )
11		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) )
12		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) )
13	11, 12	eqeq12d 2457	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
14	10, 13	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
15	14	2albidv 1681	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
16	15	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) ) )
17		oveq2 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( M ... x ) = ( M ... k ) )
18		f1oeq23 5635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... k ) /\ ( M ... x ) = ( M ... k ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
19	17, 17, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
20	17	feq2d 5547	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... k ) --> C ) )
21	19, 20	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) ) )
22		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) )
23		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) )
24	22, 23	eqeq12d 2457	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) )
25	21, 24	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) )
26	25	2albidv 1681	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) )
27	26	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) ) )
28		oveq2 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
29		f1oeq23 5635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) /\ ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) ) )
30	28, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) ) )
31	28	feq2d 5547	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) )
32	30, 31	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) )
33		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) )
34		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) )
35	33, 34	eqeq12d 2457	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) )
36	32, 35	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
37	36	2albidv 1681	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
38	37	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
39		oveq2 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( M ... x ) = ( M ... N ) )
40		f1oeq23 5635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... N ) /\ ( M ... x ) = ( M ... N ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
41	39, 39, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
42	39	feq2d 5547	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... N ) --> C ) )
43	41, 42	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) ) )
44		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) )
45		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) )
46	44, 45	eqeq12d 2457	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )
47	43, 46	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
48	47	2albidv 1681	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
49	48	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) ) )
50		f1of 5641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) -> f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) )
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) )
52		elfz3 11461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
53		fvco3 5768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) /\ M e. ( M ... M ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` ( f ` M ) ) )
54	51, 52, 53	syl2anr 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` ( f ` M ) ) )
55		ffvelrn 5841	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) /\ M e. ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) e. ( M ... M ) )
56	50, 52, 55	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) e. ( M ... M ) )
57		fzsn 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
58	57	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( ( f ` M ) e. ( M ... M ) <-> ( f ` M ) e. { M } ) )
59		elsni 3902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` M ) e. { M } -> ( f ` M ) = M )
60	58, 59	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( ( f ` M ) e. ( M ... M ) -> ( f ` M ) = M ) )
61	60	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f ` M ) e. ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) = M )
62	56, 61	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) = M )
63	62	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( f ` M ) = M )
64	63	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( g ` ( f ` M ) ) = ( g ` M ) )
65	54, 64	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` M ) )
66		seq1 11819	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( ( g o. f ) ` M ) )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( ( g o. f ) ` M ) )
68		seq1 11819	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , g ) ` M ) = ( g ` M ) )
69	68	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` M ) = ( g ` M ) )
70	65, 67, 69	3eqtr4d 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) )
71	70	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
72	71	alrimivv 1686	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
73	72	a1d 25	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
74		f1oeq1 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = t -> ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) <-> t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
75		feq1 5542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = s -> ( g : ( M ... k ) --> C <-> s : ( M ... k ) --> C ) )
76	74, 75	bi2anan9r 869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) <-> ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) ) )
77		coeq1 4997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = s -> ( g o. f ) = ( s o. f ) )
78		coeq2 4998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = t -> ( s o. f ) = ( s o. t ) )
79	77, 78	sylan9eq 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( g o. f ) = ( s o. t ) )
80	79	seqeq3d 11814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> seq M ( .+ , ( g o. f ) ) = seq M ( .+ , ( s o. t ) ) )
81	80	fveq1d 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) )
82		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> g = s )
83	82	seqeq3d 11814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> seq M ( .+ , g ) = seq M ( .+ , s ) )
84	83	fveq1d 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) )
85	81, 84	eqeq12d 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) <-> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
86	76, 85	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) <-> ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) ) )
87	86	cbval2v 1978	. . . . . . . . 9 |- ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) <-> A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
88		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> ph )
89		seqf1o.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
90	88, 89	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
91		seqf1o.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
92	88, 91	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
93		seqf1o.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
94	88, 93	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
95		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
96		seqf1o.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C C_ S )
97	88, 96	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> C C_ S )
98		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) )
99		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C )
100		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( M ... k ) |-> ( f ` if ( w < ( `' f ` ( k + 1 ) ) , w , ( w + 1 ) ) ) ) = ( w e. ( M ... k ) |-> ( f ` if ( w < ( `' f ` ( k + 1 ) ) , w , ( w + 1 ) ) ) )
101		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' f ` ( k + 1 ) ) = ( `' f ` ( k + 1 ) )
102		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) )
103	102, 87	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
104	90, 92, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103	seqf1olem2 11846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) )
105	104	exp31 604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
106	87, 105	syl5bir 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
107	106	alrimdv 1687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
108	107	alrimdv 1687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
109	87, 108	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
110	109	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
111	110	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
112	16, 27, 38, 49, 73, 111	uzind4 10912	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
113	5, 112	mpcom 36	. . . 4 |- ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )
114		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( G ` x ) e. _V
115	114, 3	fnmpti 5539	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) Fn ( M ... N )
116		fzfi 11794	. . . . . 6 |- ( M ... N ) e. Fin
117		fnfi 7589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) Fn ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin )
118	115, 116, 117	mp2an 672	. . . . 5 |- ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin
119		f1of 5641	. . . . . . 7 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
120	1, 119	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
121		ovex 6116	. . . . . . 7 |- ( M ... N ) e. _V
122	121	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. _V )
123		fex2 6532	. . . . . 6 |- ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. _V /\ ( M ... N ) e. _V ) -> F e. _V )
124	120, 122, 122, 123	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ph -> F e. _V )
125		f1oeq1 5632	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
126		feq1 5542	. . . . . . . 8 |- ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) -> ( g : ( M ... N ) --> C <-> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) )
127	125, 126	bi2anan9r 869	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) <-> ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) ) )
128		coeq1 4997	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) -> ( g o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. f ) )
129		coeq2 4998	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) )
130	128, 129	sylan9eq 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( g o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) )
131	130	seqeq3d 11814	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> seq M ( .+ , ( g o. f ) ) = seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) )
132	131	fveq1d 5693	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) )
133		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) )
134	133	seqeq3d 11814	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> seq M ( .+ , g ) = seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) )
135	134	fveq1d 5693	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) )
136	132, 135	eqeq12d 2457	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) )
137	127, 136	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) <-> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
138	137	spc2gv 3060	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin /\ F e. _V ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
139	118, 124, 138	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
140	113, 139	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) )
141	1, 4, 140	mp2and 679	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) )
142	120	ffvelrnda 5843	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
143		fveq2 5691	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` k ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
144		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( G ` ( F ` k ) ) e. _V
145	143, 3, 144	fvmpt 5774	. . . . 5 |- ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
146	142, 145	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
147		fvco3 5768	. . . . 5 |- ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) )
148	120, 147	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) )
149		seqf1o.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
150	146, 148, 149	3eqtr4d 2485	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( H ` k ) )
151	5, 150	seqfveq 11830	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , H ) ` N ) )
152		fveq2 5691	. . . . 5 |- ( x = k -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
153		fvex 5701	. . . . 5 |- ( G ` k ) e. _V
154	152, 3, 153	fvmpt 5774	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
155	154	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
156	5, 155	seqfveq 11830	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
157	141, 151, 156	3eqtr3d 2483	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2972   C_ wss 3328   ifcif 3791   {csn 3877   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   o. ccom 4844   Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   1c1 9283   + caddc 9285   < clt 9418   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   seqcseq 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807

This theorem is referenced by:  summolem3  13191  eulerthlem2  13857  gsumval3eu  16381  gsumval3OLD  16382  gsumval3  16385  prodmolem3  27446