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Theorem seqf1o 12292
Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on  ( M ... N
). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
seqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  x )  e.  C
)
seqf1o.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
Assertion
Ref Expression
seqf1o  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, F    k, G, x, y, z    k, M, x, y, z    .+ , k, x, y, z    k, N, x, y, z    ph, k, x, y, z    S, k, x, y, z    C, k, x, y, z    k, H
Allowed substitution hints:    H( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1o
Dummy variables  f 
g  s  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf1o.6 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2 seqf1o.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  x )  e.  C
)
3 eqid 2462 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )
42, 3fmptd 6074 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) : ( M ... N ) --> C )
5 seqf1o.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 oveq2 6328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... x )  =  ( M ... M
) )
7 f1oeq23 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... M )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... M ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
86, 6, 7syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... M
)
-1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
96feq2d 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... M ) --> C ) )
108, 9anbi12d 722 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C ) ) )
11 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
) )
12 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  M
) )
1311, 12eqeq12d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  M
) ) )
1410, 13imbi12d 326 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  M )
) ) )
15142albidv 1780 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  M ) ) ) )
1615imbi2d 322 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  M ) ) ) ) )
17 oveq2 6328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( M ... x )  =  ( M ... k
) )
18 f1oeq23 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... k )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... k ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
1917, 17, 18syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
2017feq2d 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... k ) --> C ) )
2119, 20anbi12d 722 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C ) ) )
22 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
) )
23 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) )
2422, 23eqeq12d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )
2521, 24imbi12d 326 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  k )
) ) )
26252albidv 1780 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  k ) ) ) )
2726imbi2d 322 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  k ) ) ) ) )
28 oveq2 6328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... x )  =  ( M ... (
k  +  1 ) ) )
29 f1oeq23 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... ( k  +  1 ) ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) ) ) )
3028, 28, 29syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... (
k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) ) ) )
3128feq2d 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )
3230, 31anbi12d 722 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C ) ) )
33 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  (
k  +  1 ) ) )
34 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  (
k  +  1 ) ) )
3533, 34eqeq12d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
3632, 35imbi12d 326 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
37362albidv 1780 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
3837imbi2d 322 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
39 oveq2 6328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... x )  =  ( M ... N
) )
40 f1oeq23 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... N )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... N ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
4139, 39, 40syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
4239feq2d 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... N ) --> C ) )
4341, 42anbi12d 722 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C ) ) )
44 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
) )
45 fveq2 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) )
4644, 45eqeq12d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) ) )
4743, 46imbi12d 326 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  N )
) ) )
48472albidv 1780 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  N ) ) ) )
4948imbi2d 322 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  N ) ) ) ) )
50 f1of 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  ->  f :
( M ... M
) --> ( M ... M ) )
5150adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  f : ( M ... M ) --> ( M ... M
) )
52 elfz3 11844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
53 fvco3 5970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M )  /\  M  e.  ( M ... M ) )  ->  ( (
g  o.  f ) `
 M )  =  ( g `  (
f `  M )
) )
5451, 52, 53syl2anr 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( ( g  o.  f ) `  M
)  =  ( g `
 ( f `  M ) ) )
55 ffvelrn 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M )  /\  M  e.  ( M ... M ) )  ->  ( f `  M )  e.  ( M ... M ) )
5650, 52, 55syl2anr 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
) )  ->  (
f `  M )  e.  ( M ... M
) )
57 fzsn 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
5857eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f `  M
)  e.  ( M ... M )  <->  ( f `  M )  e.  { M } ) )
59 elsni 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  M )  e.  { M }  ->  ( f `  M
)  =  M )
6058, 59syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f `  M
)  e.  ( M ... M )  -> 
( f `  M
)  =  M ) )
6160imp 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f `  M
)  e.  ( M ... M ) )  ->  ( f `  M )  =  M )
6256, 61syldan 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
) )  ->  (
f `  M )  =  M )
6362adantrr 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( f `  M
)  =  M )
6463fveq2d 5896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( g `  (
f `  M )
)  =  ( g `
 M ) )
6554, 64eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( ( g  o.  f ) `  M
)  =  ( g `
 M ) )
66 seq1 12264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  ( ( g  o.  f ) `
 M ) )
6766adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  ( ( g  o.  f
) `  M )
)
68 seq1 12264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  M
)  =  ( g `
 M ) )
6968adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  g ) `  M )  =  ( g `  M ) )
7065, 67, 693eqtr4d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  M ) )
7170ex 440 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  M
) ) )
7271alrimivv 1785 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  M ) ) )
7372a1d 26 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... M
)
-1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  M
) ) ) )
74 f1oeq1 5832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  t  ->  (
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  <->  t :
( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
75 feq1 5736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  s  ->  (
g : ( M ... k ) --> C  <-> 
s : ( M ... k ) --> C ) )
7674, 75bi2anan9r 890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( ( f : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  <->  ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  s :
( M ... k
) --> C ) ) )
77 coeq1 5014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  s  ->  (
g  o.  f )  =  ( s  o.  f ) )
78 coeq2 5015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  t  ->  (
s  o.  f )  =  ( s  o.  t ) )
7977, 78sylan9eq 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( g  o.  f
)  =  ( s  o.  t ) )
8079seqeq3d 12259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) )  =  seq M (  .+  ,  ( s  o.  t ) ) )
8180fveq1d 5894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( g  o.  f ) ) `
 k )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( s  o.  t ) ) `
 k ) )
82 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  g  =  s )
8382seqeq3d 12259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  seq M (  .+  ,  g )  =  seq M (  .+  ,  s ) )
8483fveq1d 5894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  (  seq M ( 
.+  ,  g ) `
 k )  =  (  seq M ( 
.+  ,  s ) `
 k ) )
8581, 84eqeq12d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  k )  <->  (  seq M (  .+  ,  ( s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq M (  .+  ,  s ) `  k ) ) )
8676, 85imbi12d 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  k ) )  <->  ( (
t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  s
) `  k )
) ) )
8786cbval2v 2133 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  <->  A. s A. t
( ( t : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( s  o.  t
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
s ) `  k
) ) )
88 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  ph )
89 seqf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
9088, 89sylan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
91 seqf1o.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
9288, 91sylan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
93 seqf1o.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9488, 93sylan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
95 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
96 seqf1o.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
9788, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  C  C_  S )
98 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) ) )
99 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )
100 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( M ... k )  |->  ( f `
 if ( w  <  ( `' f `
 ( k  +  1 ) ) ,  w ,  ( w  +  1 ) ) ) )  =  ( w  e.  ( M ... k )  |->  ( f `  if ( w  <  ( `' f `  ( k  +  1 ) ) ,  w ,  ( w  +  1 ) ) ) )
101 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' f `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' f `
 ( k  +  1 ) )
102 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )
103102, 87sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( s  o.  t
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
s ) `  k
) ) )
10490, 92, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103seqf1olem2 12291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) )
105104exp31 613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  ->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
10687, 105syl5bir 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
107106alrimdv 1786 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  A. f
( ( f : ( M ... (
k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
108107alrimdv 1786 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
10987, 108syl5bi 225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
110109expcom 441 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  k ) )  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
111110a2d 29 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  -> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
11216, 27, 38, 49, 73, 111uzind4 11251 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) ) ) )
1135, 112mpcom 37 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) ) )
114 fvex 5902 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
115114, 3fnmpti 5732 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  Fn  ( M ... N )
116 fzfi 12223 . . . . . 6  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
117 fnfi 7880 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  Fn  ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin )  -> 
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  Fin )
118115, 116, 117mp2an 683 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  e.  Fin
119 f1of 5841 . . . . . . 7  |-  ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  F :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
1201, 119syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
121 ovex 6348 . . . . . . 7  |-  ( M ... N )  e. 
_V
122121a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  _V )
123 fex2 6780 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  _V  /\  ( M ... N
)  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
124120, 122, 122, 123syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
125 f1oeq1 5832 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
126 feq1 5736 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )  -> 
( g : ( M ... N ) --> C  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C ) )
127125, 126bi2anan9r 890 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  <-> 
( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C ) ) )
128 coeq1 5014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )  -> 
( g  o.  f
)  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  f ) )
129 coeq2 5015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  f
)  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) )
130128, 129sylan9eq 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( g  o.  f )  =  ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) )
131130seqeq3d 12259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  seq M ( 
.+  ,  ( g  o.  f ) )  =  seq M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) )
132131fveq1d 5894 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
( ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) `  N ) )
133 simpl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) )
134133seqeq3d 12259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  seq M ( 
.+  ,  g )  =  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) )
135134fveq1d 5894 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) ) `  N ) )
136132, 135eqeq12d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) ) `  N ) ) )
137127, 136imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq M (  .+  , 
g ) `  N
) )  <->  ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
138137spc2gv 3149 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  Fin  /\  F  e.  _V )  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  N ) )  -> 
( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
139118, 124, 138sylancr 674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq M (  .+  ,  g ) `  N ) )  -> 
( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
140113, 139mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) )
1411, 4, 140mp2and 690 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) ) `  N
) )
142120ffvelrnda 6050 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... N ) )
143 fveq2 5892 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
144 fvex 5902 . . . . . 6  |-  ( G `
 ( F `  k ) )  e. 
_V
145143, 3, 144fvmpt 5976 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  ( M ... N )  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) `  ( F `  k )
)  =  ( G `
 ( F `  k ) ) )
146142, 145syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) `  ( F `
 k ) )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
147 fvco3 5970 . . . . 5  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) `
 ( F `  k ) ) )
148120, 147sylan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) `
 ( F `  k ) ) )
149 seqf1o.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
150146, 148, 1493eqtr4d 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( H `  k ) )
1515, 150seqfveq 12275 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  H
) `  N )
)
152 fveq2 5892 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( G `  x )  =  ( G `  k ) )
153 fvex 5902 . . . . 5  |-  ( G `
 k )  e. 
_V
154152, 3, 153fvmpt 5976 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) `  k
)  =  ( G `
 k ) )
155154adantl 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) `  k )  =  ( G `  k ) )
1565, 155seqfveq 12275 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N )  =  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
)
157141, 151, 1563eqtr3d 2504 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991   A.wal 1453    = wceq 1455    e. wcel 1898   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   ifcif 3893   {csn 3980   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477   `'ccnv 4855    o. ccom 4860    Fn wfn 5600   -->wf 5601   -1-1-onto->wf1o 5604   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   Fincfn 7600   1c1 9571    + caddc 9573    < clt 9706   ZZcz 10971   ZZ>=cuz 11193   ...cfz 11819    seqcseq 12251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252
This theorem is referenced by:  summolem3  13835  prodmolem3  14042  eulerthlem2  14785  gsumval3eu  17593  gsumval3  17596
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