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Theorem seqf1o 11319
Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on  ( M ... N
). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqf1o.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
seqf1o.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqf1o.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqf1o.5  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
seqf1o.6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
seqf1o.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  x )  e.  C
)
seqf1o.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
Assertion
Ref Expression
seqf1o  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, F    k, G, x, y, z    k, M, x, y, z    .+ , k, x, y, z    k, N, x, y, z    ph, k, x, y, z    S, k, x, y, z    C, k, x, y, z    k, H
Allowed substitution hints:    H( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1o
Dummy variables  f 
g  s  t  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf1o.6 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2 seqf1o.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( G `  x )  e.  C
)
3 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )
42, 3fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) : ( M ... N ) --> C )
5 seqf1o.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... x )  =  ( M ... M
) )
7 f1oeq23 5627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... M )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... M ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
86, 6, 7syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... M
)
-1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
96feq2d 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... M ) --> C ) )
108, 9anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C ) ) )
11 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
) )
12 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  M
) )
1311, 12eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  M )
) )
1410, 13imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  M )
) ) )
15142albidv 1634 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  M ) ) ) )
1615imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  M ) ) ) ) )
17 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( M ... x )  =  ( M ... k
) )
18 f1oeq23 5627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... k )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... k ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
1917, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
2017feq2d 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... k ) --> C ) )
2119, 20anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C ) ) )
22 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
) )
23 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) )
2422, 23eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )
) )
2521, 24imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )
) ) )
26252albidv 1634 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  k ) ) ) )
2726imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  k ) ) ) ) )
28 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... x )  =  ( M ... (
k  +  1 ) ) )
29 f1oeq23 5627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... ( k  +  1 ) ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) ) ) )
3028, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... (
k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) ) ) )
3128feq2d 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )
3230, 31anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C ) ) )
33 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  (
k  +  1 ) ) )
34 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  (
k  +  1 ) ) )
3533, 34eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
3632, 35imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
37362albidv 1634 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
3837imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
39 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  ( M ... x )  =  ( M ... N
) )
40 f1oeq23 5627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M ... x
)  =  ( M ... N )  /\  ( M ... x )  =  ( M ... N ) )  -> 
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <-> 
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
4139, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  <->  f :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
4239feq2d 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
g : ( M ... x ) --> C  <-> 
g : ( M ... N ) --> C ) )
4341, 42anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  <->  ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C ) ) )
44 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
) )
45 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) )
4644, 45eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  N )
) )
4743, 46imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( f : ( M ... x
)
-1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  ( (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  N )
) ) )
48472albidv 1634 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x )  /\  g : ( M ... x ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  x
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  x
) )  <->  A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N ) ) ) )
4948imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x
)  /\  g :
( M ... x
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  x )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N ) ) ) ) )
50 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  ->  f :
( M ... M
) --> ( M ... M ) )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  f : ( M ... M ) --> ( M ... M
) )
52 elfz3 11023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( M ... M
) )
53 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M )  /\  M  e.  ( M ... M ) )  ->  ( (
g  o.  f ) `
 M )  =  ( g `  (
f `  M )
) )
5451, 52, 53syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( ( g  o.  f ) `  M
)  =  ( g `
 ( f `  M ) ) )
55 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M )  /\  M  e.  ( M ... M ) )  ->  ( f `  M )  e.  ( M ... M ) )
5650, 52, 55syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
) )  ->  (
f `  M )  e.  ( M ... M
) )
57 fzsn 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
5857eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f `  M
)  e.  ( M ... M )  <->  ( f `  M )  e.  { M } ) )
59 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  M )  e.  { M }  ->  ( f `  M
)  =  M )
6058, 59syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f `  M
)  e.  ( M ... M )  -> 
( f `  M
)  =  M ) )
6160imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f `  M
)  e.  ( M ... M ) )  ->  ( f `  M )  =  M )
6256, 61syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
) )  ->  (
f `  M )  =  M )
6362adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( f `  M
)  =  M )
6463fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( g `  (
f `  M )
)  =  ( g `
 M ) )
6554, 64eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
( ( g  o.  f ) `  M
)  =  ( g `
 M ) )
66 seq1 11291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  ( ( g  o.  f ) `
 M ) )
6766adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  ( ( g  o.  f
) `  M )
)
68 seq1 11291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  .+  , 
g ) `  M
)  =  ( g `
 M ) )
6968adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  g ) `  M )  =  ( g `  M ) )
7065, 67, 693eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  M ) )
7170ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  M
) ) )
7271alrimivv 1639 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M
)  /\  g :
( M ... M
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  M )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  M ) ) )
7372a1d 23 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... M
)
-1-1-onto-> ( M ... M )  /\  g : ( M ... M ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  M
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  M
) ) ) )
74 f1oeq1 5624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  t  ->  (
f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  <->  t :
( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
75 feq1 5535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  s  ->  (
g : ( M ... k ) --> C  <-> 
s : ( M ... k ) --> C ) )
7674, 75bi2anan9r 845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( ( f : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  <->  ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  s :
( M ... k
) --> C ) ) )
77 coeq1 4989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  s  ->  (
g  o.  f )  =  ( s  o.  f ) )
78 coeq2 4990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  t  ->  (
s  o.  f )  =  ( s  o.  t ) )
7977, 78sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( g  o.  f
)  =  ( s  o.  t ) )
8079seqeq3d 11286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) )  =  seq  M (  .+  ,  ( s  o.  t ) ) )
8180fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( g  o.  f ) ) `
 k )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( s  o.  t ) ) `
 k ) )
82 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  g  =  s )
8382seqeq3d 11286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  seq  M (  .+  ,  g )  =  seq  M (  .+  ,  s ) )
8483fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  g ) `
 k )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  s ) `
 k ) )
8581, 84eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )  <->  (  seq  M (  .+  ,  ( s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq  M (  .+  ,  s ) `  k ) ) )
8676, 85imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  s  /\  f  =  t )  ->  ( ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  k ) )  <->  ( (
t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  s
) `  k )
) ) )
8786cbval2v 2056 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  <->  A. s A. t
( ( t : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( s  o.  t
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
s ) `  k
) ) )
88 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  ph )
89 seqf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
9088, 89sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
91 seqf1o.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( y 
.+  x ) )
9288, 91sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( y  .+  x ) )
93 seqf1o.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
9488, 93sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
95 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
96 seqf1o.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  C_  S )
9788, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  C  C_  S )
98 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) ) )
99 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )
100 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( M ... k )  |->  ( f `
 if ( w  <  ( `' f `
 ( k  +  1 ) ) ,  w ,  ( w  +  1 ) ) ) )  =  ( w  e.  ( M ... k )  |->  ( f `  if ( w  <  ( `' f `  ( k  +  1 ) ) ,  w ,  ( w  +  1 ) ) ) )
101 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' f `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' f `
 ( k  +  1 ) )
102 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )
103102, 87sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  ->  A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( s  o.  t
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
s ) `  k
) ) )
10490, 92, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103seqf1olem2 11318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  /\  ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C ) )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) )
105104exp31 588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  ->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
10687, 105syl5bir 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  ( (
f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
107106alrimdv 1640 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  A. f
( ( f : ( M ... (
k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
108107alrimdv 1640 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  s : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
s  o.  t ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  s
) `  k )
)  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
10987, 108syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M
(  .+  ,  (
g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M
(  .+  ,  g
) `  k )
)  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
110109expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k
)  /\  g :
( M ... k
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  k )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  k ) )  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
111110a2d 24 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... k
)
-1-1-onto-> ( M ... k )  /\  g : ( M ... k ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  k
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  k
) ) )  -> 
( ph  ->  A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... (
k  +  1 ) )  /\  g : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
11216, 27, 38, 49, 73, 111uzind4 10490 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) ) ) )
1135, 112mpcom 34 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. g A. f
( ( f : ( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) ) )
114 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
115114, 3fnmpti 5532 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  Fn  ( M ... N )
116 fzfi 11266 . . . . . 6  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
117 fnfi 7343 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  Fn  ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  Fin )  -> 
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  Fin )
118115, 116, 117mp2an 654 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  e.  Fin
119 f1of 5633 . . . . . . 7  |-  ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  ->  F :
( M ... N
) --> ( M ... N ) )
1201, 119syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
121 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( M ... N )  e. 
_V
122121a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  _V )
123 fex2 5562 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  ( M ... N )  e.  _V  /\  ( M ... N
)  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
124120, 122, 122, 123syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
125 f1oeq1 5624 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
126 feq1 5535 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )  -> 
( g : ( M ... N ) --> C  <->  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C ) )
127125, 126bi2anan9r 845 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (
f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  <-> 
( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C ) ) )
128 coeq1 4989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) )  -> 
( g  o.  f
)  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  f ) )
129 coeq2 4990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  f
)  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) )
130128, 129sylan9eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( g  o.  f )  =  ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) )
131130seqeq3d 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  seq  M ( 
.+  ,  ( g  o.  f ) )  =  seq  M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) )
132131fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  (  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) ) `  N
) )
133 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) )
134133seqeq3d 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  seq  M ( 
.+  ,  g )  =  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) )
135134fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) ) `  N
) )
136132, 135eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
)  <->  (  seq  M
(  .+  ,  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) ) `  N ) ) )
137127, 136imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  /\  f  =  F )  ->  ( (
( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N )  /\  g : ( M ... N ) --> C )  ->  (  seq  M (  .+  , 
( g  o.  f
) ) `  N
)  =  (  seq 
M (  .+  , 
g ) `  N
) )  <->  ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
138137spc2gv 2999 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  Fin  /\  F  e.  _V )  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N ) )  -> 
( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
139118, 124, 138sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N
)  /\  g :
( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( g  o.  f ) ) `  N )  =  (  seq  M (  .+  ,  g ) `  N ) )  -> 
( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) ) )
140113, 139mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F :
( M ... N
)
-1-1-onto-> ( M ... N )  /\  ( x  e.  ( M ... N
)  |->  ( G `  x ) ) : ( M ... N
) --> C )  -> 
(  seq  M (  .+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) )  o.  F ) ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N ) ) )
1411, 4, 140mp2and 661 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) ) `  N
) )
142120ffvelrnda 5829 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( M ... N ) )
143 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
144 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( G `
 ( F `  k ) )  e. 
_V
145143, 3, 144fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  ( M ... N )  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) `  ( F `  k )
)  =  ( G `
 ( F `  k ) ) )
146142, 145syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) `  ( F `
 k ) )  =  ( G `  ( F `  k ) ) )
147 fvco3 5759 . . . . 5  |-  ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) `
 ( F `  k ) ) )
148120, 147sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) `
 ( F `  k ) ) )
149 seqf1o.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
150146, 148, 1493eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) )  o.  F
) `  k )  =  ( H `  k ) )
1515, 150seqfveq 11302 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) )  o.  F ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  H
) `  N )
)
152 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( G `  x )  =  ( G `  k ) )
153 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( G `
 k )  e. 
_V
154152, 3, 153fvmpt 5765 . . . 4  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  (
( x  e.  ( M ... N ) 
|->  ( G `  x
) ) `  k
)  =  ( G `
 k ) )
155154adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `  x ) ) `  k )  =  ( G `  k ) )
1565, 155seqfveq 11302 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  ( x  e.  ( M ... N )  |->  ( G `
 x ) ) ) `  N )  =  (  seq  M
(  .+  ,  G
) `  N )
)
157141, 151, 1563eqtr3d 2444 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  (  seq  M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278
This theorem is referenced by:  summolem3  12463  eulerthlem2  13126  gsumval3eu  15468  gsumval3  15469  prodmolem3  25212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279
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