MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqf Structured version   Unicode version

Theorem seqf 11819
Description: Range of the recursive sequence builder (special case of seqf2 11817). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
seqf.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
seqf.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( F `  x )  e.  S )
seqf.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seqf  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ) : Z --> S )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, F, y    x, M, y    ph, x, y   
x, S, y    x, Z
Allowed substitution hint:    Z( y)

Proof of Theorem seqf
StepHypRef Expression
1 seqf.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 uzid 10867 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 seqf.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eleqr 2529 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
6 seqf.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( F `  x )  e.  S )
76ralrimiva 2794 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  ( F `  x )  e.  S )
8 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
98eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
109rspcv 3064 . . 3  |-  ( M  e.  Z  ->  ( A. x  e.  Z  ( F `  x )  e.  S  ->  ( F `  M )  e.  S ) )
115, 7, 10sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
12 seqf.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
13 peano2uzr 10902 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
141, 13sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1514, 4syl6eleqr 2529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  Z )
1615, 6syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
1711, 12, 4, 1, 16seqf2 11817 1  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ) : Z --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1c1 9275    + caddc 9277   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853    seqcseq 11798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799
This theorem is referenced by:  serf  11826  serfre  11827  bcval5  12086  algrf  13740  pcmptcl  13945  ovolsf  20931  dvnff  21372  elqaalem2  21761  elqaalem3  21762  opsqrlem4  25498  sseqf  26727  regamcl  26999  prodf  27353  iprodrecl  27453
  Copyright terms: Public domain W3C validator