MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqex Unicode version

Theorem seqex 11280
Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqex  |-  seq  M
(  .+  ,  F
)  e.  _V

Proof of Theorem seqex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seq 11279 . 2  |-  seq  M
(  .+  ,  F
)  =  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) " om )
2 rdgfun 6633 . . 3  |-  Fun  rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
3 omex 7554 . . 3  |-  om  e.  _V
4 funimaexg 5489 . . 3  |-  ( ( Fun  rec ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( y 
.+  ( F `  ( x  +  1
) ) ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) " om )  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 654 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) " om )  e.  _V
61, 5eqeltri 2474 1  |-  seq  M
(  .+  ,  F
)  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   <.cop 3777   omcom 4804   "cima 4840   Fun wfun 5407   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   reccrdg 6626   1c1 8947    + caddc 8949    seq cseq 11278
This theorem is referenced by:  seqshft  11855  clim2ser  12403  clim2ser2  12404  isermulc2  12406  isershft  12412  isercoll  12416  isercoll2  12417  iseralt  12433  fsumcvg  12461  sumrb  12462  isumclim3  12498  isumadd  12506  cvgcmp  12550  cvgcmpce  12552  trireciplem  12596  geolim  12602  geolim2  12603  geo2lim  12607  geomulcvg  12608  geoisum1c  12612  cvgrat  12615  mertens  12618  efcj  12649  eftlub  12665  eflegeo  12677  rpnnen2lem5  12773  mulgfval  14846  ovoliunnul  19356  ioombl1lem4  19408  vitalilem5  19457  dvnfval  19761  aaliou3lem3  20214  dvradcnv  20290  pserulm  20291  abelthlem6  20305  abelthlem7  20307  abelthlem9  20309  logtayllem  20503  logtayl  20504  atantayl  20730  leibpilem2  20734  leibpi  20735  log2tlbnd  20738  dchrisumlem3  21138  dchrisum0re  21160  zetacvg  24752  lgamgulm2  24773  lgamcvglem  24777  lgamcvg2  24792  clim2prod  25169  clim2div  25170  ntrivcvg  25178  ntrivcvgfvn0  25180  ntrivcvgmullem  25182  fprodcvg  25209  prodrblem2  25210  fprodntriv  25221  iprodclim3  25266  iprodmul  25269  iprodgam  25272  faclim  25313  geomcau  26355  stirlinglem5  27694  stirlinglem7  27696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seq 11279
  Copyright terms: Public domain W3C validator