Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcoll2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem seqcoll2 12628
 Description: The function contains a sparse set of non-zero values to be summed. The function is an order isomorphism from the set of non-zero values of to a 1-based finite sequence, and collects these non-zero values together. Under these conditions, the sum over the values in yields the same result as the sum over the original set . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcoll2.1
seqcoll2.1b
seqcoll2.c
seqcoll2.a
seqcoll2.2
seqcoll2.3
seqcoll2.5
seqcoll2.6
seqcoll2.7
seqcoll2.8
Assertion
Ref Expression
seqcoll2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem seqcoll2
StepHypRef Expression
1 seqcoll2.1b . . 3
2 fzssuz 11839 . . . 4
3 seqcoll2.5 . . . . 5
4 seqcoll2.2 . . . . . . . 8
5 isof1o 6216 . . . . . . . 8
64, 5syl 17 . . . . . . 7
7 f1of 5814 . . . . . . 7
86, 7syl 17 . . . . . 6
9 seqcoll2.3 . . . . . . . . . 10
10 fzfi 12185 . . . . . . . . . . . . 13
11 ssfi 7792 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 3, 11sylancr 669 . . . . . . . . . . . 12
13 hasheq0 12544 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11
1514necon3bbid 2661 . . . . . . . . . 10
169, 15mpbird 236 . . . . . . . . 9
17 hashcl 12538 . . . . . . . . . . . 12
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11
19 elnn0 10871 . . . . . . . . . . 11
2018, 19sylib 200 . . . . . . . . . 10
2120ord 379 . . . . . . . . 9
2216, 21mt3d 129 . . . . . . . 8
23 nnuz 11194 . . . . . . . 8
2422, 23syl6eleq 2539 . . . . . . 7
25 eluzfz2 11807 . . . . . . 7
2624, 25syl 17 . . . . . 6
278, 26ffvelrnd 6023 . . . . 5
283, 27sseldd 3433 . . . 4
292, 28sseldi 3430 . . 3
30 elfzuz3 11797 . . . 4
3128, 30syl 17 . . 3
32 fzss2 11838 . . . . . . 7
3331, 32syl 17 . . . . . 6
3433sselda 3432 . . . . 5
35 seqcoll2.6 . . . . 5
3634, 35syldan 473 . . . 4
37 seqcoll2.c . . . 4
3829, 36, 37seqcl 12233 . . 3
39 peano2uz 11212 . . . . . . . 8
4029, 39syl 17 . . . . . . 7
41 fzss1 11837 . . . . . . 7
4240, 41syl 17 . . . . . 6
4342sselda 3432 . . . . 5
44 eluzelre 11169 . . . . . . . . 9
4529, 44syl 17 . . . . . . . 8
4645adantr 467 . . . . . . 7
47 peano2re 9806 . . . . . . . 8
4846, 47syl 17 . . . . . . 7
49 elfzelz 11800 . . . . . . . . 9
5049zred 11040 . . . . . . . 8
5150adantl 468 . . . . . . 7
5246ltp1d 10537 . . . . . . 7
53 elfzle1 11802 . . . . . . . 8
5453adantl 468 . . . . . . 7
5546, 48, 51, 52, 54ltletrd 9795 . . . . . 6
566adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
57 f1ocnv 5826 . . . . . . . . . . . . 13
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12
59 f1of 5814 . . . . . . . . . . . 12
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11
61 simprr 766 . . . . . . . . . . 11
6260, 61ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10
63 elfzle2 11803 . . . . . . . . . 10
6462, 63syl 17 . . . . . . . . 9
65 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . 12
6662, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11
6766zred 11040 . . . . . . . . . 10
6818adantr 467 . . . . . . . . . . 11
6968nn0red 10926 . . . . . . . . . 10
7067, 69lenltd 9781 . . . . . . . . 9
7164, 70mpbid 214 . . . . . . . 8
724adantr 467 . . . . . . . . . 10
7326adantr 467 . . . . . . . . . 10
74 isorel 6217 . . . . . . . . . 10
7572, 73, 62, 74syl12anc 1266 . . . . . . . . 9
76 f1ocnvfv2 6176 . . . . . . . . . . 11
7756, 61, 76syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
7877breq2d 4414 . . . . . . . . 9
7975, 78bitrd 257 . . . . . . . 8
8071, 79mtbid 302 . . . . . . 7
8180expr 620 . . . . . 6
8255, 81mt2d 121 . . . . 5
8343, 82eldifd 3415 . . . 4
84 seqcoll2.7 . . . 4
8583, 84syldan 473 . . 3
861, 29, 31, 38, 85seqid2 12259 . 2
87 seqcoll2.1 . . 3
88 seqcoll2.a . . 3
893, 2syl6ss 3444 . . 3
9033ssdifd 3569 . . . . 5
9190sselda 3432 . . . 4
9291, 84syldan 473 . . 3
93 seqcoll2.8 . . 3
9487, 1, 37, 88, 4, 26, 89, 36, 92, 93seqcoll 12627 . 2
9586, 94eqtr3d 2487 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622   cdif 3401   wss 3404  c0 3731   class class class wbr 4402  ccnv 4833  wf 5578  wf1o 5581  cfv 5582   wiso 5583  (class class class)co 6290  cfn 7569  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   clt 9675   cle 9676  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cfz 11784   cseq 12213  chash 12515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-seq 12214  df-hash 12516 This theorem is referenced by:  isercolllem3  13730  gsumval3  17541
 Copyright terms: Public domain W3C validator