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Theorem seqcoll 11667
 Description: The function contains a sparse set of non-zero values to be summed. The function is an order isomorphism from the set of non-zero values of to a 1-based finite sequence, and collects these non-zero values together. Under these conditions, the sum over the values in yields the same result as the sum over the original set . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcoll.1
seqcoll.1b
seqcoll.c
seqcoll.a
seqcoll.2
seqcoll.3
seqcoll.4
seqcoll.5
seqcoll.6
seqcoll.7
Assertion
Ref Expression
seqcoll
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem seqcoll
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcoll.3 . 2
2 elfznn 11036 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 eleq1 2464 . . . . . 6
5 fveq2 5687 . . . . . . . 8
65fveq2d 5691 . . . . . . 7
7 fveq2 5687 . . . . . . 7
86, 7eqeq12d 2418 . . . . . 6
94, 8imbi12d 312 . . . . 5
109imbi2d 308 . . . 4
11 eleq1 2464 . . . . . 6
12 fveq2 5687 . . . . . . . 8
1312fveq2d 5691 . . . . . . 7
14 fveq2 5687 . . . . . . 7
1513, 14eqeq12d 2418 . . . . . 6
1611, 15imbi12d 312 . . . . 5
1716imbi2d 308 . . . 4
18 eleq1 2464 . . . . . 6
19 fveq2 5687 . . . . . . . 8
2019fveq2d 5691 . . . . . . 7
21 fveq2 5687 . . . . . . 7
2220, 21eqeq12d 2418 . . . . . 6
2318, 22imbi12d 312 . . . . 5
2423imbi2d 308 . . . 4
25 eleq1 2464 . . . . . 6
26 fveq2 5687 . . . . . . . 8
2726fveq2d 5691 . . . . . . 7
28 fveq2 5687 . . . . . . 7
2927, 28eqeq12d 2418 . . . . . 6
3025, 29imbi12d 312 . . . . 5
3130imbi2d 308 . . . 4
32 seqcoll.1 . . . . . . . . 9
33 seqcoll.a . . . . . . . . 9
34 seqcoll.4 . . . . . . . . . 10
35 seqcoll.2 . . . . . . . . . . . . 13
36 isof1o 6004 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12
38 f1of 5633 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11
40 elfzuz2 11018 . . . . . . . . . . . . 13
411, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12
42 eluzfz1 11020 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11
4439, 43ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10
4534, 44sseldd 3309 . . . . . . . . 9
46 eluzle 10454 . . . . . . . . . . . . 13
4741, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12
48 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948ssriv 3312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 zssre 10245 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5149, 50sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
53 ressxr 9085 . . . . . . . . . . . . . 14
5452, 53syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . 13
55 eluzelre 10453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655ssriv 3312 . . . . . . . . . . . . . . 15
5734, 56syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . 14
5857, 53syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . 13
59 eluzfz2 11021 . . . . . . . . . . . . . 14
6041, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
61 leisorel 11664 . . . . . . . . . . . . 13
6235, 54, 58, 43, 60, 61syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . 12
6347, 62mpbid 202 . . . . . . . . . . 11
6439, 60ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14
6534, 64sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13
66 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . 12
68 elfz5 11007 . . . . . . . . . . . 12
6945, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
7063, 69mpbird 224 . . . . . . . . . 10
71 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13
7271eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12
7372imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11
74 seqcoll.5 . . . . . . . . . . . 12
7574expcom 425 . . . . . . . . . . 11
7673, 75vtoclga 2977 . . . . . . . . . 10
7770, 76mpcom 34 . . . . . . . . 9
78 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7945, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15
8379zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15
8467zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15
8583lem1d 9900 . . . . . . . . . . . . . . 15
8682, 83, 84, 85, 63letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . 14
87 eluz 10455 . . . . . . . . . . . . . . 15
8881, 67, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
8986, 88mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13
90 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . . 13
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . 12
9291sselda 3308 . . . . . . . . . . 11
93 eluzel2 10449 . . . . . . . . . . . . . . 15
9445, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
95 elfzm11 11071 . . . . . . . . . . . . . 14
9694, 79, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
97 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . 14
98 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9937, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
100 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102101ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105104nnge1d 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10635adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10754adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10858adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10943adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110 leisorel 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
111106, 107, 108, 109, 102, 110syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112105, 111mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11437, 113sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115112, 114breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11683adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11757sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118116, 117lenltd 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119115, 118mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120119ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15
121120con2d 109 . . . . . . . . . . . . . 14
12297, 121syl5 30 . . . . . . . . . . . . 13
12396, 122sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12
124123imp 419 . . . . . . . . . . 11
12592, 124eldifd 3291 . . . . . . . . . 10
126 seqcoll.6 . . . . . . . . . 10
127125, 126syldan 457 . . . . . . . . 9
12832, 33, 45, 77, 127seqid 11323 . . . . . . . 8
129128fveq1d 5689 . . . . . . 7
130 uzid 10456 . . . . . . . . 9
13179, 130syl 16 . . . . . . . 8
132 fvres 5704 . . . . . . . 8
133131, 132syl 16 . . . . . . 7
134 seq1 11291 . . . . . . . . 9
13579, 134syl 16 . . . . . . . 8
136 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
137 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13
138137fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12
139136, 138eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11
140139imbi2d 308 . . . . . . . . . 10
141 seqcoll.7 . . . . . . . . . . 11
142141expcom 425 . . . . . . . . . 10
143140, 142vtoclga 2977 . . . . . . . . 9
14443, 143mpcom 34 . . . . . . . 8
145135, 144eqtr4d 2439 . . . . . . 7
146129, 133, 1453eqtr3d 2444 . . . . . 6
147 1z 10267 . . . . . . 7
148 seq1 11291 . . . . . . 7
149147, 148ax-mp 8 . . . . . 6
150146, 149syl6eqr 2454 . . . . 5
151150a1d 23 . . . 4
152 simplr 732 . . . . . . . . . . 11
153 nnuz 10477 . . . . . . . . . . 11
154152, 153syl6eleq 2494 . . . . . . . . . 10
155 nnz 10259 . . . . . . . . . . . 12
156155ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11
157 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . 12
158157adantl 453 . . . . . . . . . . 11
159 peano2uzr 10488 . . . . . . . . . . 11
160156, 158, 159syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
161 elfzuzb 11009 . . . . . . . . . 10
162154, 160, 161sylanbrc 646 . . . . . . . . 9
163162ex 424 . . . . . . . 8
164163imim1d 71 . . . . . . 7
165 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10
166 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15
167 seqcoll.1b . . . . . . . . . . . . . . 15
168166, 167sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14
16934ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
17039ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171170, 162ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . 15
172169, 171sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . 14
173 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
174173ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
175174ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17635ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
177 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
178 isorel 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
179176, 162, 177, 178syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
180175, 179mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16
181 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182172, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
183170, 177ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
184169, 183sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
185 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
186184, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
187 zltlem1 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
188182, 186, 187syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
189180, 188mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15
190 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
191186, 190syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
192 eluz 10455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
193182, 191, 192syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
194189, 193mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14
195191zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
196186zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
19784ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
198196lem1d 9900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
199 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
200199adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20154ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
20258ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
20360ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
204 leisorel 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
205176, 201, 202, 177, 203, 204syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
206200, 205mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
207195, 196, 197, 198, 206letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20867ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
209 eluz 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
210191, 208, 209syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
211207, 210mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
212 uztrn 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
213211, 194, 212syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
214 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
215213, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
216215sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16
217166, 74sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
218216, 217syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
219 seqcoll.c . . . . . . . . . . . . . . . 16
220166, 219sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15
221172, 218, 220seqcl 11298 . . . . . . . . . . . . . 14
222 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15
223 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
224 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
225172, 224syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
226 uztrn 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
227223, 225, 226syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
228 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
229 uztrn 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
230211, 228, 229syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
231 elfzuzb 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
232227, 230, 231sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16
233 elfzle1 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
234 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
235233, 234jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
236155ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
237101ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
238 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
239237, 238ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
240 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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