Theorem seqcl 12083

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcl.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqcl.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seqcl	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, F, y   x, M, y   ph, x, y   x, S, y   x, N

Allowed substitution hint:   N( y)

Proof of Theorem seqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcl.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz1 11682	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
4		seqcl.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
5	4	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
6		fveq2 5857	. . . . 5 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
7	6	eleq1d 2529	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
8	7	rspcv 3203	. . 3 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` M ) e. S ) )
9	3, 5, 8	sylc 60	. 2 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
10		seqcl.3	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
11		eluzel2 11076	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
12	1, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		fzp1ss 11720	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
14	12, 13	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
15	14	sselda 3497	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
16	15, 4	syldan 470	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
17	9, 10, 1, 16	seqcl2 12081	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   C_ wss 3469   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482   + caddc 9484   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   ...cfz 11661   seqcseq 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064

This theorem is referenced by:  sermono  12095  seqsplit  12096  seqcaopr2  12099  seqf1olem2a  12101  seqf1olem2  12103  seqid3  12107  seqhomo  12110  seqz  12111  seqdistr  12114  serge0  12117  serle  12118  seqof  12120  seqcoll  12465  seqcoll2  12466  fsumcl2lem  13502  eulerthlem2  14160  gsumwsubmcl  15822  mulgnnsubcl  15947  gsumzcl2  16699  gsumzclOLD  16703  gsumzaddlem  16718  gsumzaddlemOLD  16720  gsummptfzcl  16780  lgscllem  23299  lgsval4a  23314  lgsneg  23315  lgsdir  23326  lgsdilem2  23327  lgsdi  23328  lgsne0  23329  gsumncl  27982  prodfn0  28455  prodfrec  28456  prodfdiv  28457  fprodcl2lem  28509  faclim  28598  mblfinlem2  29480  fmul01  30949  fmulcl  30950  fmuldfeq  30952  fmul01lt1lem1  30953  fmul01lt1lem2  30954  stoweidlem3  31122  stoweidlem42  31161  stoweidlem48  31167  wallispilem4  31187  wallispi  31189  wallispi2lem1  31190  wallispi2  31192  stirlinglem5  31197  stirlinglem7  31199  stirlinglem10  31202