Theorem seqcl 11927

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcl.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqcl.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seqcl	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, F, y   x, M, y   ph, x, y   x, S, y   x, N

Allowed substitution hint:   N( y)

Proof of Theorem seqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcl.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz1 11559	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
4		seqcl.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
5	4	ralrimiva 2822	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
6		fveq2 5789	. . . . 5 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
7	6	eleq1d 2520	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
8	7	rspcv 3165	. . 3 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` M ) e. S ) )
9	3, 5, 8	sylc 60	. 2 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
10		seqcl.3	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
11		eluzel2 10967	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
12	1, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		fzp1ss 11607	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
14	12, 13	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
15	14	sselda 3454	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
16	15, 4	syldan 470	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
17	9, 10, 1, 16	seqcl2 11925	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   C_ wss 3426   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   1c1 9384   + caddc 9386   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962   ...cfz 11538   seqcseq 11907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-seq 11908

This theorem is referenced by:  sermono  11939  seqsplit  11940  seqcaopr2  11943  seqf1olem2a  11945  seqf1olem2  11947  seqid3  11951  seqhomo  11954  seqz  11955  seqdistr  11958  serge0  11961  serle  11962  seqof  11964  seqcoll  12318  seqcoll2  12319  fsumcl2lem  13310  eulerthlem2  13959  gsumwsubmcl  15618  mulgnnsubcl  15741  gsumzcl2  16493  gsumzclOLD  16497  gsumzaddlem  16512  gsumzaddlemOLD  16514  gsummptfzcl  16565  lgscllem  22758  lgsval4a  22773  lgsneg  22774  lgsdir  22785  lgsdilem2  22786  lgsdi  22787  lgsne0  22788  gsumncl  27070  prodfn0  27543  prodfrec  27544  prodfdiv  27545  fprodcl2lem  27597  faclim  27686  mblfinlem2  28567  fmul01  29899  fmulcl  29900  fmuldfeq  29902  fmul01lt1lem1  29903  fmul01lt1lem2  29904  stoweidlem3  29936  stoweidlem42  29975  stoweidlem48  29981  wallispilem4  30001  wallispi  30003  wallispi2lem1  30004  wallispi2  30006  stirlinglem5  30011  stirlinglem7  30013  stirlinglem10  30016