Theorem seqcl 11809

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcl.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqcl.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seqcl	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, F, y   x, M, y   ph, x, y   x, S, y   x, N

Allowed substitution hint:   N( y)

Proof of Theorem seqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcl.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz1 11444	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
4		seqcl.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
5	4	ralrimiva 2789	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
6		fveq2 5679	. . . . 5 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
7	6	eleq1d 2499	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
8	7	rspcv 3058	. . 3 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` M ) e. S ) )
9	3, 5, 8	sylc 60	. 2 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
10		seqcl.3	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
11		eluzel2 10853	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
12	1, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		fzp1ss 11490	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
14	12, 13	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
15	14	sselda 3344	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
16	15, 4	syldan 467	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
17	9, 10, 1, 16	seqcl2 11807	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   A.wral 2705   C_ wss 3316   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1c1 9270   + caddc 9272   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423   seqcseq 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424  df-seq 11790

This theorem is referenced by:  sermono  11821  seqsplit  11822  seqcaopr2  11825  seqf1olem2a  11827  seqf1olem2  11829  seqid3  11833  seqhomo  11836  seqz  11837  seqdistr  11840  serge0  11843  serle  11844  seqof  11846  seqcoll  12199  seqcoll2  12200  fsumcl2lem  13191  eulerthlem2  13839  gsumwsubmcl  15495  mulgnnsubcl  15618  gsumzcl2  16368  gsumzclOLD  16372  gsumzaddlem  16387  gsumzaddlemOLD  16389  gsummptfzcl  16433  lgscllem  22526  lgsval4a  22541  lgsneg  22542  lgsdir  22553  lgsdilem2  22554  lgsdi  22555  lgsne0  22556  gsumncl  26783  prodfn0  27255  prodfrec  27256  prodfdiv  27257  fprodcl2lem  27309  faclim  27398  mblfinlem2  28270  fmul01  29603  fmulcl  29604  fmuldfeq  29606  fmul01lt1lem1  29607  fmul01lt1lem2  29608  stoweidlem3  29641  stoweidlem42  29680  stoweidlem48  29686  wallispilem4  29706  wallispi  29708  wallispi2lem1  29709  wallispi2  29711  stirlinglem5  29716  stirlinglem7  29718  stirlinglem10  29721