Theorem seqcl 11818

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqcl.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqcl.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seqcl	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, F, y   x, M, y   ph, x, y   x, S, y   x, N

Allowed substitution hint:   N( y)

Proof of Theorem seqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcl.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz1 11450	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
4		seqcl.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
5	4	ralrimiva 2794	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
6		fveq2 5686	. . . . 5 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
7	6	eleq1d 2504	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
8	7	rspcv 3064	. . 3 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` M ) e. S ) )
9	3, 5, 8	sylc 60	. 2 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
10		seqcl.3	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
11		eluzel2 10858	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
12	1, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		fzp1ss 11498	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
14	12, 13	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
15	14	sselda 3351	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
16	15, 4	syldan 470	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
17	9, 10, 1, 16	seqcl2 11816	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   C_ wss 3323   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1c1 9275   + caddc 9277   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429   seqcseq 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799

This theorem is referenced by:  sermono  11830  seqsplit  11831  seqcaopr2  11834  seqf1olem2a  11836  seqf1olem2  11838  seqid3  11842  seqhomo  11845  seqz  11846  seqdistr  11849  serge0  11852  serle  11853  seqof  11855  seqcoll  12208  seqcoll2  12209  fsumcl2lem  13200  eulerthlem2  13849  gsumwsubmcl  15507  mulgnnsubcl  15630  gsumzcl2  16380  gsumzclOLD  16384  gsumzaddlem  16399  gsumzaddlemOLD  16401  gsummptfzcl  16450  lgscllem  22622  lgsval4a  22637  lgsneg  22638  lgsdir  22649  lgsdilem2  22650  lgsdi  22651  lgsne0  22652  gsumncl  26905  prodfn0  27378  prodfrec  27379  prodfdiv  27380  fprodcl2lem  27432  faclim  27521  mblfinlem2  28400  fmul01  29732  fmulcl  29733  fmuldfeq  29735  fmul01lt1lem1  29736  fmul01lt1lem2  29737  stoweidlem3  29769  stoweidlem42  29808  stoweidlem48  29814  wallispilem4  29834  wallispi  29836  wallispi2lem1  29837  wallispi2  29839  stirlinglem5  29844  stirlinglem7  29846  stirlinglem10  29849