Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcaopr Structured version   Unicode version

Theorem seqcaopr 12107
 Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr.1
seqcaopr.2
seqcaopr.3
seqcaopr.4
seqcaopr.5
seqcaopr.6
seqcaopr.7
Assertion
Ref Expression
seqcaopr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem seqcaopr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr.1 . . 3
21caovclg 6449 . 2
3 simpl 457 . . . . . . 7
4 simprrl 763 . . . . . . 7
5 simprlr 762 . . . . . . 7
6 seqcaopr.2 . . . . . . . 8
76caovcomg 6452 . . . . . . 7
83, 4, 5, 7syl12anc 1226 . . . . . 6
98oveq1d 6297 . . . . 5
10 simprrr 764 . . . . . 6
11 seqcaopr.3 . . . . . . 7
1211caovassg 6455 . . . . . 6
133, 4, 5, 10, 12syl13anc 1230 . . . . 5
1411caovassg 6455 . . . . . 6
153, 5, 4, 10, 14syl13anc 1230 . . . . 5
169, 13, 153eqtr3d 2516 . . . 4
1716oveq2d 6298 . . 3
18 simprll 761 . . . 4
191caovclg 6449 . . . . 5
203, 5, 10, 19syl12anc 1226 . . . 4
2111caovassg 6455 . . . 4
223, 18, 4, 20, 21syl13anc 1230 . . 3
231caovclg 6449 . . . . 5
2423adantrl 715 . . . 4
2511caovassg 6455 . . . 4
263, 18, 5, 24, 25syl13anc 1230 . . 3
2717, 22, 263eqtr4d 2518 . 2
28 seqcaopr.4 . 2
29 seqcaopr.5 . 2
30 seqcaopr.6 . 2
31 seqcaopr.7 . 2
322, 2, 27, 28, 29, 30, 31seqcaopr2 12106 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cfv 5586  (class class class)co 6282  cuz 11078  cfz 11668   cseq 12070 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071 This theorem is referenced by:  seradd  12112  mulgnn0di  16627  lgsdir  23330  lgsdi  23332  prodfmul  28598
 Copyright terms: Public domain W3C validator