Theorem seq1ublem 8163

Description: Lemma for seq1ubi 8164.

Hypothesis

Ref	Expression
seq1ub.1	|- F:NN-->RR

Assertion

Ref	Expression
seq1ublem	|- (B e. NN -> (ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) C_ RR /\ ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B})z <_ y))

Distinct variable groups:   x,y,z,B   y,F,z

Proof of Theorem seq1ublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq1ub.1	. . . . 5 |- F:NN-->RR
2		ssrab2 2692	. . . . 5 |- {x e. NN | x <_ B} C_ NN
3		fssres 4582	. . . . 5 |- ((F:NN-->RR /\ {x e. NN | x <_ B} C_ NN) -> (F |` {x e. NN | x <_ B}):{x e. NN | x <_ B}-->RR)
4	1, 2, 3	mp2an 761	. . . 4 |- (F |` {x e. NN | x <_ B}):{x e. NN | x <_ B}-->RR
5		frn 4569	. . . 4 |- ((F |` {x e. NN | x <_ B}):{x e. NN | x <_ B}-->RR -> ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) C_ RR)
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 |- ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) C_ RR
7	6	a1i 8	. 2 |- (B e. NN -> ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) C_ RR)
8		fnfvelrn 4786	. . . 4 |- (((F |` {x e. NN | x <_ B}) Fn {x e. NN | x <_ B} /\ 1 e. {x e. NN | x <_ B}) -> ((F |` {x e. NN | x <_ B})` 1) e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}))
9		ffn 4562	. . . . . 6 |- (F:NN-->RR -> F Fn NN)
10	1, 9	ax-mp 7	. . . . 5 |- F Fn NN
11		fnssres 4526	. . . . 5 |- ((F Fn NN /\ {x e. NN | x <_ B} C_ NN) -> (F |` {x e. NN | x <_ B}) Fn {x e. NN | x <_ B})
12	10, 2, 11	mp2an 761	. . . 4 |- (F |` {x e. NN | x <_ B}) Fn {x e. NN | x <_ B}
13		nnge1 7126	. . . . . 6 |- (B e. NN -> 1 <_ B)
14		1nn 7117	. . . . . 6 |- 1 e. NN
15	13, 14	jctil 316	. . . . 5 |- (B e. NN -> (1 e. NN /\ 1 <_ B))
16		breq1 3341	. . . . . 6 |- (x = 1 -> (x <_ B <-> 1 <_ B))
17	16	elrab 2414	. . . . 5 |- (1 e. {x e. NN | x <_ B} <-> (1 e. NN /\ 1 <_ B))
18	15, 17	sylibr 217	. . . 4 |- (B e. NN -> 1 e. {x e. NN | x <_ B})
19	8, 12, 18	sylancr 526	. . 3 |- (B e. NN -> ((F |` {x e. NN | x <_ B})` 1) e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}))
20		ne0i 2881	. . 3 |- (((F |` {x e. NN | x <_ B})` 1) e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) -> ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) =/= (/))
21	19, 20	syl 12	. 2 |- (B e. NN -> ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) =/= (/))
22		axresscn 6420	. . . . 5 |- RR C_ CC
23		fss 4571	. . . . 5 |- ((F:NN-->RR /\ RR C_ CC) -> F:NN-->CC)
24	1, 22, 23	mp2an 761	. . . 4 |- F:NN-->CC
25	24	seq1bndi 8162	. . 3 |- (B e. NN -> E.y e. RR A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y))
26		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = v -> (w <_ B <-> v <_ B))
27		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w = v -> (F` w) = (F` v))
28	27	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = v -> (abs` (F` w)) = (abs` (F` v)))
29	28	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = v -> ((abs` (F` w)) < y <-> (abs` (F` v)) < y))
30	26, 29	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = v -> ((w <_ B -> (abs` (F` w)) < y) <-> (v <_ B -> (abs` (F` v)) < y)))
31	30	rcla4cv 2377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y) -> (v e. NN -> (v <_ B -> (abs` (F` v)) < y)))
32	31	imp32 390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y) /\ (v e. NN /\ v <_ B)) -> (abs` (F` v)) < y)
33	32	adantll 428	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. RR /\ A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y)) /\ (v e. NN /\ v <_ B)) -> (abs` (F` v)) < y)
34	33	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. RR /\ A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y)) /\ (v e. NN /\ v <_ B)) /\ ((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z) -> (abs` (F` v)) < y)
35		leabs 8115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F` v) e. RR -> (F` v) <_ (abs` (F` v)))
36	35	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((F` v) e. RR /\ y e. RR) -> (F` v) <_ (abs` (F` v)))
37		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((F` v) e. RR /\ (abs` (F` v)) e. RR /\ y e. RR) -> (((F` v) <_ (abs` (F` v)) /\ (abs` (F` v)) < y) -> (F` v) < y))
38	37	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((F` v) e. RR /\ (abs` (F` v)) e. RR) /\ y e. RR) -> (((F` v) <_ (abs` (F` v)) /\ (abs` (F` v)) < y) -> (F` v) < y))
39		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F` v) e. RR -> (F` v) e. CC)
40		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F` v) e. CC -> (abs` (F` v)) e. RR)
41	39, 40	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F` v) e. RR -> (abs` (F` v)) e. RR)
42	41	ancli 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F` v) e. RR -> ((F` v) e. RR /\ (abs` (F` v)) e. RR))
43	38, 42	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((F` v) e. RR /\ y e. RR) -> (((F` v) <_ (abs` (F` v)) /\ (abs` (F` v)) < y) -> (F` v) < y))
44	36, 43	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F` v) e. RR /\ y e. RR) -> ((abs` (F` v)) < y -> (F` v) < y))
45		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F` v) e. RR /\ y e. RR) -> ((F` v) < y -> (F` v) <_ y))
46	44, 45	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` v) e. RR /\ y e. RR) -> ((abs` (F` v)) < y -> (F` v) <_ y))
47	1	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v e. NN -> (F` v) e. RR)
48	46, 47	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((v e. NN /\ y e. RR) -> ((abs` (F` v)) < y -> (F` v) <_ y))
49	48	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. RR /\ v e. NN) -> ((abs` (F` v)) < y -> (F` v) <_ y))
50	49	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. RR /\ (v e. NN /\ v <_ B)) -> ((abs` (F` v)) < y -> (F` v) <_ y))
51		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = v -> (x <_ B <-> v <_ B))
52	51	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v e. {x e. NN | x <_ B} <-> (v e. NN /\ v <_ B))
53		fvres 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v e. {x e. NN | x <_ B} -> ((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = (F` v))
54	52, 53	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((v e. NN /\ v <_ B) -> ((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = (F` v))
55	54	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. NN /\ v <_ B) -> (((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) <_ y <-> (F` v) <_ y))
56	55	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. RR /\ (v e. NN /\ v <_ B)) -> (((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) <_ y <-> (F` v) <_ y))
57	50, 56	sylibrd 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. RR /\ (v e. NN /\ v <_ B)) -> ((abs` (F` v)) < y -> ((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) <_ y))
58		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z -> (((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) <_ y <-> z <_ y))
59	58	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z -> (((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) <_ y -> z <_ y))
60	57, 59	sylan9 517	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. RR /\ (v e. NN /\ v <_ B)) /\ ((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z) -> ((abs` (F` v)) < y -> z <_ y))
61	60	adantllr 433	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. RR /\ A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y)) /\ (v e. NN /\ v <_ B)) /\ ((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z) -> ((abs` (F` v)) < y -> z <_ y))
62	34, 61	mpd 29	. . . . . . . . . 10 |- ((((y e. RR /\ A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y)) /\ (v e. NN /\ v <_ B)) /\ ((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z) -> z <_ y)
63	62	exp31 407	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y)) -> ((v e. NN /\ v <_ B) -> (((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z -> z <_ y)))
64	63, 52	syl5ib 223	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y)) -> (v e. {x e. NN | x <_ B} -> (((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z -> z <_ y)))
65	64	r19.23adv 2215	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y)) -> (E.v e. {x e. NN | x <_ B} ((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z -> z <_ y))
66		fvelrnb 4719	. . . . . . . 8 |- ((F |` {x e. NN | x <_ B}) Fn {x e. NN | x <_ B} -> (z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) <-> E.v e. {x e. NN | x <_ B} ((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z))
67	12, 66	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) <-> E.v e. {x e. NN | x <_ B} ((F |` {x e. NN | x <_ B})` v) = z)
68	65, 67	syl5ib 223	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y)) -> (z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) -> z <_ y))
69	68	ex 402	. . . . 5 |- (y e. RR -> (A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y) -> (z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) -> z <_ y)))
70	69	r19.21adv 2181	. . . 4 |- (y e. RR -> (A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y) -> A.z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B})z <_ y))
71	70	reximia 2196	. . 3 |- (E.y e. RR A.w e. NN (w <_ B -> (abs` (F` w)) < y) -> E.y e. RR A.z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B})z <_ y)
72	25, 71	syl 12	. 2 |- (B e. NN -> E.y e. RR A.z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B})z <_ y)
73	7, 21, 72	3jca 1050	1 |- (B e. NN -> (ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) C_ RR /\ ran ( F |` {x e. NN | x <_ B}) =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. ran ( F |` {x e. NN | x <_ B})z <_ y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  ran crn 3987   |` cres 3988   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  CCcc 6384  RRcr 6385  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  abscabs 8000

This theorem is referenced by:  seq1ubi 8164  ser1cmp2lem 8436  ser1cmp2i 8437  cvgcmp2lem 8440

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004

Copyright terms: Public domain