Theorem seq1rn2 7734

Description: Range of the recursive sequence builder.

Hypotheses

Ref	Expression
seq111.1	|- S e. _V
seq111.2	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
seq1rn2	|- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ran ( S seq1 F) C_ C)

Proof of Theorem seq1rn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfvrnss 4803	. 2 |- (((S seq1 F) Fn NN /\ A.x e. NN ((S seq1 F)` x) e. C) -> ran ( S seq1 F) C_ C)
2		seq111.1	. . 3 |- S e. _V
3		seq111.2	. . 3 |- F e. _V
4	2, 3	seq1fn 7733	. 2 |- (S seq1 F) Fn NN
5		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` 1))
6	5	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (y = 1 -> (((S seq1 F)` y) e. C <-> ((S seq1 F)` 1) e. C))
7	6	imbi2d 674	. . . . 5 |- (y = 1 -> ((((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` y) e. C) <-> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` 1) e. C)))
8		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (y = z -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` z))
9	8	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (y = z -> (((S seq1 F)` y) e. C <-> ((S seq1 F)` z) e. C))
10	9	imbi2d 674	. . . . 5 |- (y = z -> ((((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` y) e. C) <-> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` z) e. C)))
11		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (y = (z + 1) -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` (z + 1)))
12	11	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (y = (z + 1) -> (((S seq1 F)` y) e. C <-> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))
13	12	imbi2d 674	. . . . 5 |- (y = (z + 1) -> ((((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` y) e. C) <-> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
14		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (y = x -> ((S seq1 F)` y) = ((S seq1 F)` x))
15	14	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (y = x -> (((S seq1 F)` y) e. C <-> ((S seq1 F)` x) e. C))
16	15	imbi2d 674	. . . . 5 |- (y = x -> ((((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` y) e. C) <-> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` x) e. C)))
17		simpl 346	. . . . . . 7 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D) -> (F` 1) e. C)
18	2, 3	seq11 7730	. . . . . . 7 |- ((S seq1 F)` 1) = (F` 1)
19	17, 18	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D) -> ((S seq1 F)` 1) e. C)
20	19	3adant3 896	. . . . 5 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` 1) e. C)
21		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ (z + 1) e. (NN \ {1})) -> ((F |` (NN \ {1}))` (z + 1)) e. D)
22		fvres 4691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z + 1) e. (NN \ {1}) -> ((F |` (NN \ {1}))` (z + 1)) = (F` (z + 1)))
23	22	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z + 1) e. (NN \ {1}) -> (((F |` (NN \ {1}))` (z + 1)) e. D <-> (F` (z + 1)) e. D))
24	23	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ (z + 1) e. (NN \ {1})) -> (((F |` (NN \ {1}))` (z + 1)) e. D <-> (F` (z + 1)) e. D))
25	21, 24	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ (z + 1) e. (NN \ {1})) -> (F` (z + 1)) e. D)
26		seq1lem2 7723	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> (z + 1) e. (NN \ {1}))
27	25, 26	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ z e. NN) -> (F` (z + 1)) e. D)
28	2, 3	seq1p1 7731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. NN -> ((S seq1 F)` (z + 1)) = (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))))
29	28	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> (((S seq1 F)` (z + 1)) e. C <-> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C))
30		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w = ((S seq1 F)` z) -> (wSv) = (((S seq1 F)` z)Sv))
31	30	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (w = ((S seq1 F)` z) -> ((wSv) e. C <-> (((S seq1 F)` z)Sv) e. C))
32		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (v = (F` (z + 1)) -> (((S seq1 F)` z)Sv) = (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))))
33	32	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (v = (F` (z + 1)) -> ((((S seq1 F)` z)Sv) e. C <-> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C))
34	31, 33	rcla42v 2384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((S seq1 F)` z) e. C /\ (F` (z + 1)) e. D) -> (A.w e. C A.v e. D (wSv) e. C -> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C))
35	34	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` (z + 1)) e. D /\ ((S seq1 F)` z) e. C) -> (A.w e. C A.v e. D (wSv) e. C -> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C))
36		ffnoprv 4943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (S:(C X. D)-->C <-> (S Fn (C X. D) /\ A.w e. C A.v e. D (wSv) e. C))
37	36	simprbi 353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (S:(C X. D)-->C -> A.w e. C A.v e. D (wSv) e. C)
38	35, 37	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` (z + 1)) e. D /\ ((S seq1 F)` z) e. C) -> (S:(C X. D)-->C -> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C))
39	38	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((F` (z + 1)) e. D /\ ((S seq1 F)` z) e. C) /\ S:(C X. D)-->C) -> (((S seq1 F)` z)S(F` (z + 1))) e. C)
40	29, 39	syl5bir 227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> ((((F` (z + 1)) e. D /\ ((S seq1 F)` z) e. C) /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))
41	40	exp4c 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> ((F` (z + 1)) e. D -> (((S seq1 F)` z) e. C -> (S:(C X. D)-->C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))))
42	41	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ z e. NN) -> ((F` (z + 1)) e. D -> (((S seq1 F)` z) e. C -> (S:(C X. D)-->C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))))
43	27, 42	mpd 29	. . . . . . . . . . 11 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ z e. NN) -> (((S seq1 F)` z) e. C -> (S:(C X. D)-->C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
44	43	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- ((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D -> (z e. NN -> (((S seq1 F)` z) e. C -> (S:(C X. D)-->C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))))
45	44	com4r 45	. . . . . . . . 9 |- (S:(C X. D)-->C -> ((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D -> (z e. NN -> (((S seq1 F)` z) e. C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C))))
46	45	impcom 378	. . . . . . . 8 |- (((F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> (z e. NN -> (((S seq1 F)` z) e. C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
47	46	3adant1 894	. . . . . . 7 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> (z e. NN -> (((S seq1 F)` z) e. C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
48	47	com12 14	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> (((S seq1 F)` z) e. C -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
49	48	a2d 16	. . . . 5 |- (z e. NN -> ((((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` z) e. C) -> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` (z + 1)) e. C)))
50	7, 10, 13, 16, 20, 49	nnind 7120	. . . 4 |- (x e. NN -> (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ((S seq1 F)` x) e. C))
51	50	com12 14	. . 3 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> (x e. NN -> ((S seq1 F)` x) e. C))
52	51	r19.21aiv 2175	. 2 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> A.x e. NN ((S seq1 F)` x) e. C)
53	1, 4, 52	sylancr 526	1 |- (((F` 1) e. C /\ (F |` (NN \ {1})):(NN \ {1})-->D /\ S:(C X. D)-->C) -> ran ( S seq1 F) C_ C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   C_ wss 2593  {csn 3044   X. cxp 3984  ran crn 3987   |` cres 3988   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1c1 6387   + caddc 6389  NNcn 6449   seq1 cseq1 7720

This theorem is referenced by:  seq1rn 7735  seq1f2 7737  ruclem13 8791

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721

Copyright terms: Public domain