MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seq1p Structured version   Unicode version

Theorem seq1p 12187
Description: Removing the first term from a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
seq1p.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
seq1p.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
seq1p  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( ( F `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, M, y, z    ph, x, y, z    x, N, y, z    x,  .+ , y, z   
x, S, y, z

Proof of Theorem seq1p
StepHypRef Expression
1 seqsplit.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 seqsplit.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
3 seqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
4 seq1p.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5 uzid 11143 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
7 seq1p.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
81, 2, 3, 6, 7seqsplit 12186 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
9 seq1 12166 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
104, 9syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
1110oveq1d 6295 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
)  =  ( ( F `  M ) 
.+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
128, 11eqtrd 2445 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( ( F `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   1c1 9525    + caddc 9527   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   ...cfz 11728    seqcseq 12153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-seq 12154
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator