Theorem seq1bndi 8162

Description: An initial segment of an infinite sequence of complex numbers is bounded.

Hypothesis

Ref	Expression
seq1bnd.1	|- F:NN-->CC

Assertion

Ref	Expression
seq1bndi	|- (A e. NN -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ A -> (abs` (F` y)) < x))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,F,y

Proof of Theorem seq1bndi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3342	. . . 4 |- (z = 1 -> (y <_ z <-> y <_ 1))
2	1	imbi1d 675	. . 3 |- (z = 1 -> ((y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x)))
3	2	rexralbidv 2142	. 2 |- (z = 1 -> (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x)))
4		breq2 3342	. . . 4 |- (z = w -> (y <_ z <-> y <_ w))
5	4	imbi1d 675	. . 3 |- (z = w -> ((y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ w -> (abs` (F` y)) < x)))
6	5	rexralbidv 2142	. 2 |- (z = w -> (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < x)))
7		breq2 3342	. . . 4 |- (z = (w + 1) -> (y <_ z <-> y <_ (w + 1)))
8	7	imbi1d 675	. . 3 |- (z = (w + 1) -> ((y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x)))
9	8	rexralbidv 2142	. 2 |- (z = (w + 1) -> (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x)))
10		breq2 3342	. . . 4 |- (z = A -> (y <_ z <-> y <_ A))
11	10	imbi1d 675	. . 3 |- (z = A -> ((y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ A -> (abs` (F` y)) < x)))
12	11	rexralbidv 2142	. 2 |- (z = A -> (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ z -> (abs` (F` y)) < x) <-> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ A -> (abs` (F` y)) < x)))
13		seq1bnd.1	. . . . . 6 |- F:NN-->CC
14		1nn 7117	. . . . . 6 |- 1 e. NN
15		ffvelrn 4787	. . . . . 6 |- ((F:NN-->CC /\ 1 e. NN) -> (F` 1) e. CC)
16	13, 14, 15	mp2an 761	. . . . 5 |- (F` 1) e. CC
17	16	abscli 8090	. . . 4 |- (abs` (F` 1)) e. RR
18		1re 6598	. . . 4 |- 1 e. RR
19	17, 18	readdcli 6487	. . 3 |- ((abs` (F` 1)) + 1) e. RR
20		nnle1eq1 7128	. . . . 5 |- (y e. NN -> (y <_ 1 <-> y = 1))
21		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> (F` y) = (F` 1))
22	21	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (y = 1 -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` 1)))
23	17	ltp1i 6991	. . . . . 6 |- (abs` (F` 1)) < ((abs` (F` 1)) + 1)
24	22, 23	syl6eqbr 3374	. . . . 5 |- (y = 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1))
25	20, 24	syl6bi 231	. . . 4 |- (y e. NN -> (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1)))
26	25	rgen 2159	. . 3 |- A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1))
27		breq2 3342	. . . . . 6 |- (x = ((abs` (F` 1)) + 1) -> ((abs` (F` y)) < x <-> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1)))
28	27	imbi2d 674	. . . . 5 |- (x = ((abs` (F` 1)) + 1) -> ((y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1))))
29	28	ralbidv 2123	. . . 4 |- (x = ((abs` (F` 1)) + 1) -> (A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x) <-> A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1))))
30	29	rcla4ev 2381	. . 3 |- ((((abs` (F` 1)) + 1) e. RR /\ A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` 1)) + 1))) -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x))
31	19, 26, 30	mp2an 761	. 2 |- E.x e. RR A.y e. NN (y <_ 1 -> (abs` (F` y)) < x)
32		leloe 6688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. RR /\ (w + 1) e. RR) -> (y <_ (w + 1) <-> (y < (w + 1) \/ y = (w + 1))))
33		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. NN -> y e. RR)
34		peano2nn 7118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. NN -> (w + 1) e. NN)
35		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w + 1) e. NN -> (w + 1) e. RR)
36	34, 35	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. NN -> (w + 1) e. RR)
37	32, 33, 36	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y <_ (w + 1) <-> (y < (w + 1) \/ y = (w + 1))))
38		nnleltp1 7138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y <_ w <-> y < (w + 1)))
39	38	orbi1d 677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> ((y <_ w \/ y = (w + 1)) <-> (y < (w + 1) \/ y = (w + 1))))
40	37, 39	bitr4d 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y <_ (w + 1) <-> (y <_ w \/ y = (w + 1))))
41	40	ancoms 484	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. NN /\ y e. NN) -> (y <_ (w + 1) <-> (y <_ w \/ y = (w + 1))))
42	41	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (y <_ (w + 1) <-> (y <_ w \/ y = (w + 1))))
43	42	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) /\ (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)) -> (y <_ (w + 1) <-> (y <_ w \/ y = (w + 1))))
44		max1ALT 7099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. RR -> z <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
45	44	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> z <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
46	13	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. NN -> (F` y) e. CC)
47		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` y) e. CC -> (abs` (F` y)) e. RR)
48	46, 47	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. NN -> (abs` (F` y)) e. RR)
49	48	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (abs` (F` y)) e. RR)
50		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> z e. RR)
51		ifcl 3007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR /\ z e. RR) -> if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR)
52	13	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((w + 1) e. NN -> (F` (w + 1)) e. CC)
53	34, 52	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. NN -> (F` (w + 1)) e. CC)
54		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` (w + 1)) e. CC -> (abs` (F` (w + 1))) e. RR)
55		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((abs` (F` (w + 1))) e. RR -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR)
56	53, 54, 55	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. NN -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR)
57	51, 56	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. NN /\ z e. RR) -> if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR)
58	57	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR)
59		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((abs` (F` y)) e. RR /\ z e. RR /\ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR) -> (((abs` (F` y)) < z /\ z <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
60	49, 50, 58, 59	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (((abs` (F` y)) < z /\ z <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
61	45, 60	mpan2d 766	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((abs` (F` y)) < z -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
62	61	imim2d 28	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> (y <_ w -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))))
63	62	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- ((((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) /\ (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)) -> (y <_ w -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
64		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = (w + 1) -> (F` y) = (F` (w + 1)))
65	64	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (w + 1) -> (abs` (F` y)) = (abs` (F` (w + 1))))
66	65	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (w + 1) -> ((abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <-> (abs` (F` (w + 1))) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1)))
67		ltp1 6989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((abs` (F` (w + 1))) e. RR -> (abs` (F` (w + 1))) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1))
68	53, 54, 67	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. NN -> (abs` (F` (w + 1))) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1))
69	66, 68	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. NN -> (y = (w + 1) -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1)))
70	69	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (y = (w + 1) -> (abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1)))
71		max2 7100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. RR /\ ((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR) -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
72	71, 56	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. RR /\ w e. NN) -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
73	72	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. NN /\ z e. RR) -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
74	73	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))
75	56	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR)
76		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((abs` (F` y)) e. RR /\ ((abs` (F` (w + 1))) + 1) e. RR /\ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR) -> (((abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1) /\ ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
77	49, 75, 58, 76	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (((abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1) /\ ((abs` (F` (w + 1))) + 1) <_ if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
78	74, 77	mpan2d 766	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((abs` (F` y)) < ((abs` (F` (w + 1))) + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
79	70, 78	syld 30	. . . . . . . . . . 11 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> (y = (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
80	79	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) /\ (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)) -> (y = (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
81	63, 80	jaod 469	. . . . . . . . 9 |- ((((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) /\ (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)) -> ((y <_ w \/ y = (w + 1)) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
82	43, 81	sylbid 220	. . . . . . . 8 |- ((((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) /\ (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)) -> (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
83	82	ex 402	. . . . . . 7 |- (((w e. NN /\ z e. RR) /\ y e. NN) -> ((y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))))
84	83	ralimdvaa 2171	. . . . . 6 |- ((w e. NN /\ z e. RR) -> (A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))))
85	84, 57	jctild 662	. . . . 5 |- ((w e. NN /\ z e. RR) -> (A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> (if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR /\ A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))))
86		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (x = if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) -> ((abs` (F` y)) < x <-> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z)))
87	86	imbi2d 674	. . . . . . 7 |- (x = if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) -> ((y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))))
88	87	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (x = if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) -> (A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x) <-> A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))))
89	88	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- ((if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z) e. RR /\ A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < if(z <_ ((abs` (F` (w + 1))) + 1), ((abs` (F` (w + 1))) + 1), z))) -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x))
90	85, 89	syl6 25	. . . 4 |- ((w e. NN /\ z e. RR) -> (A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x)))
91	90	r19.23adva 2216	. . 3 |- (w e. NN -> (E.z e. RR A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z) -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x)))
92		breq2 3342	. . . . . 6 |- (x = z -> ((abs` (F` y)) < x <-> (abs` (F` y)) < z))
93	92	imbi2d 674	. . . . 5 |- (x = z -> ((y <_ w -> (abs` (F` y)) < x) <-> (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)))
94	93	ralbidv 2123	. . . 4 |- (x = z -> (A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < x) <-> A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z)))
95	94	cbvrexv 2281	. . 3 |- (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < x) <-> E.z e. RR A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < z))
96	91, 95	syl5ib 223	. 2 |- (w e. NN -> (E.x e. RR A.y e. NN (y <_ w -> (abs` (F` y)) < x) -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ (w + 1) -> (abs` (F` y)) < x)))
97	3, 6, 9, 12, 31, 96	nnind 7120	1 |- (A e. NN -> E.x e. RR A.y e. NN (y <_ A -> (abs` (F` y)) < x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  ifcif 2982   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  abscabs 8000

This theorem is referenced by:  seq1ublem 8163  caubndi 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004

Copyright terms: Public domain