MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seq1 Structured version   Unicode version

Theorem seq1 11922
Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seq1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )

Proof of Theorem seq1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 11912 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
2 id 22 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
31, 2fveq12d 5797 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
4 fveq2 5791 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( F `  M
)  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
53, 4eqeq12d 2473 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  ( F `  M )  <->  (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
6 0z 10760 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
76elimel 3952 . . 3  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
8 eqid 2451 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
9 fvex 5801 . . 3  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
10 eqid 2451 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1110seqval 11920 . . 3  |-  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
127, 8, 9, 10, 11uzrdg0i 11885 . 2  |-  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
135, 12dedth 3941 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070   ifcif 3891   <.cop 3983    |-> cmpt 4450    |` cres 4942   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194   omcom 6578   reccrdg 6967   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388   ZZcz 10749    seqcseq 11909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-seq 11910
This theorem is referenced by:  seq1i  11923  seqcl2  11927  seqfveq2  11931  seqfveq  11933  seqshft2  11935  seqsplit  11942  seq1p  11943  seqcaopr3  11944  seqf1olem2a  11947  seqf1olem2  11949  seqf1o  11950  seqid  11954  seqhomo  11956  seqz  11957  exp1  11974  fac1  12158  bcn2  12198  seqcoll  12320  isumrpcl  13410  ruclem6  13621  sadc0  13754  smup0  13779  seq1st  13850  algr0  13851  eulerthlem2  13961  pcmpt  14058  gsumprval  15618  voliunlem1  21149  volsup  21155  abelthlem6  22019  abelthlem9  22023  leibpi  22455  bposlem5  22745  gx1  23886  opsqrlem2  25682  esumfzf  26654  sseqp1  26914  rrvsum  26973  cvmliftlem4  27313  clim2prod  27539  prodfn0  27545  prodfrec  27546  iprodefisumlem  27640  faclimlem1  27685  heiborlem4  28853  fmul01  29901  fmuldfeq  29904  fmul01lt1lem1  29905  stoweidlem3  29938  wallispilem4  30003  wallispi2lem1  30006  wallispi2lem2  30007  stirlinglem7  30015  stirlinglem11  30019
  Copyright terms: Public domain W3C validator