MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seq1 Structured version   Unicode version

Theorem seq1 12076
Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seq1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )

Proof of Theorem seq1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 12066 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
2 id 22 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
31, 2fveq12d 5863 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
4 fveq2 5857 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( F `  M
)  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
53, 4eqeq12d 2482 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  ( F `  M )  <->  (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
6 0z 10864 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
76elimel 3995 . . 3  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
8 eqid 2460 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
9 fvex 5867 . . 3  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
10 eqid 2460 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1110seqval 12074 . . 3  |-  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
127, 8, 9, 10, 11uzrdg0i 12026 . 2  |-  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
135, 12dedth 3984 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   ifcif 3932   <.cop 4026    |-> cmpt 4498    |` cres 4994   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   omcom 6671   reccrdg 7065   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   ZZcz 10853    seqcseq 12063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-seq 12064
This theorem is referenced by:  seq1i  12077  seqcl2  12081  seqfveq2  12085  seqfveq  12087  seqshft2  12089  seqsplit  12096  seq1p  12097  seqcaopr3  12098  seqf1olem2a  12101  seqf1olem2  12103  seqf1o  12104  seqid  12108  seqhomo  12110  seqz  12111  exp1  12128  fac1  12312  bcn2  12352  seqcoll  12465  isumrpcl  13607  ruclem6  13818  sadc0  13952  smup0  13977  seq1st  14048  algr0  14049  eulerthlem2  14160  pcmpt  14259  gsumprval  15820  voliunlem1  21688  volsup  21694  abelthlem6  22558  abelthlem9  22562  leibpi  22994  bposlem5  23284  gx1  24790  opsqrlem2  26586  esumfzf  27565  sseqp1  27824  rrvsum  27883  cvmliftlem4  28223  clim2prod  28449  prodfn0  28455  prodfrec  28456  iprodefisumlem  28550  faclimlem1  28595  heiborlem4  29764  fmul01  30949  fmuldfeq  30952  fmul01lt1lem1  30953  stoweidlem3  31122  wallispilem4  31187  wallispi2lem1  31190  wallispi2lem2  31191  stirlinglem7  31199  stirlinglem11  31203
  Copyright terms: Public domain W3C validator