MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seq1 Structured version   Unicode version

Theorem seq1 12164
Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seq1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )

Proof of Theorem seq1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 12154 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
2 id 22 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
31, 2fveq12d 5855 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
4 fveq2 5849 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( F `  M
)  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
53, 4eqeq12d 2424 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  ( F `  M )  <->  (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
6 0z 10916 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
76elimel 3947 . . 3  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
8 eqid 2402 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
9 fvex 5859 . . 3  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
10 eqid 2402 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1110seqval 12162 . . 3  |-  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
127, 8, 9, 10, 11uzrdg0i 12111 . 2  |-  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
135, 12dedth 3936 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   ifcif 3885   <.cop 3978    |-> cmpt 4453    |` cres 4825   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   omcom 6683   reccrdg 7112   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525   ZZcz 10905    seqcseq 12151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-seq 12152
This theorem is referenced by:  seq1i  12165  seqcl2  12169  seqfveq2  12173  seqfveq  12175  seqshft2  12177  seqsplit  12184  seq1p  12185  seqcaopr3  12186  seqf1olem2a  12189  seqf1olem2  12191  seqf1o  12192  seqid  12196  seqhomo  12198  seqz  12199  exp1  12216  fac1  12401  bcn2  12441  seqcoll  12561  isumrpcl  13806  clim2prod  13849  prodfn0  13855  prodfrec  13856  ruclem6  14177  sadc0  14313  smup0  14338  seq1st  14409  algr0  14410  eulerthlem2  14521  pcmpt  14620  gsumprval  16232  voliunlem1  22252  volsup  22258  abelthlem6  23123  abelthlem9  23127  leibpi  23598  bposlem5  23944  gx1  25678  opsqrlem2  27473  esumfzf  28516  sseqp1  28840  rrvsum  28899  cvmliftlem4  29585  iprodefisumlem  29949  faclimlem1  29952  heiborlem4  31592  fmul01  36942  fmuldfeq  36945  fmul01lt1lem1  36946  stoweidlem3  37153  wallispilem4  37218  wallispi2lem1  37221  wallispi2lem2  37222  stirlinglem7  37230  stirlinglem11  37234
  Copyright terms: Public domain W3C validator