MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seq1 Structured version   Unicode version

Theorem seq1 11811
Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seq1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )

Proof of Theorem seq1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 11801 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  seq M (  .+  ,  F )  =  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) )
2 id 22 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
31, 2fveq12d 5692 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
4 fveq2 5686 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( F `  M
)  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
53, 4eqeq12d 2452 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  =  ( F `  M )  <->  (  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
6 0z 10649 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
76elimel 3847 . . 3  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
8 eqid 2438 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
9 fvex 5696 . . 3  |-  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
10 eqid 2438 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  _V ,  w  e.  _V  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
1110seqval 11809 . . 3  |-  seq if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) (  .+  ,  F
)  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x ( z  e. 
_V ,  w  e. 
_V  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>. ) ,  <. if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ,  ( F `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) >. )  |`  om )
127, 8, 9, 10, 11uzrdg0i 11774 . 2  |-  (  seq
if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) (  .+  ,  F ) `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( F `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
135, 12dedth 3836 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   ifcif 3786   <.cop 3878    e. cmpt 4345    |` cres 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   omcom 6471   reccrdg 6857   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277   ZZcz 10638    seqcseq 11798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-seq 11799
This theorem is referenced by:  seq1i  11812  seqcl2  11816  seqfveq2  11820  seqfveq  11822  seqshft2  11824  seqsplit  11831  seq1p  11832  seqcaopr3  11833  seqf1olem2a  11836  seqf1olem2  11838  seqf1o  11839  seqid  11843  seqhomo  11845  seqz  11846  exp1  11863  fac1  12047  bcn2  12087  seqcoll  12208  isumrpcl  13298  ruclem6  13509  sadc0  13642  smup0  13667  seq1st  13738  algr0  13739  eulerthlem2  13849  pcmpt  13946  gsumprval  15505  voliunlem1  21011  volsup  21017  abelthlem6  21881  abelthlem9  21885  leibpi  22317  bposlem5  22607  gx1  23717  opsqrlem2  25513  esumfzf  26487  sseqp1  26747  rrvsum  26806  cvmliftlem4  27146  clim2prod  27372  prodfn0  27378  prodfrec  27379  iprodefisumlem  27473  faclimlem1  27518  heiborlem4  28684  fmul01  29732  fmuldfeq  29735  fmul01lt1lem1  29736  stoweidlem3  29769  wallispilem4  29834  wallispi2lem1  29837  wallispi2lem2  29838  stirlinglem7  29846  stirlinglem11  29850
  Copyright terms: Public domain W3C validator