Theorem seq0p1 7794

Description: Value of the 0-based recursive sequence builder at a successor.

Hypotheses

Ref	Expression
seq0val.1	|- S e. _V
seq0val.2	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
seq0p1	|- (N e. NN0 -> ((S seq0 F)` (N + 1)) = (((S seq0 F)` N)S(F` (N + 1))))

Proof of Theorem seq0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 7333	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. NN0)
2		fvres 4691	. . . 4 |- ((N + 1) e. NN0 -> ((((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)` (N + 1)) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N + 1)))
3	1, 2	syl 12	. . 3 |- (N e. NN0 -> ((((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)` (N + 1)) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N + 1)))
4		nn0cn 7318	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> N e. CC)
5		peano2cn 6498	. . . . 5 |- (N e. CC -> (N + 1) e. CC)
6		ax1cn 6422	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
7	6	negcli 6526	. . . . . 6 |- -u1 e. CC
8		oprex 4907	. . . . . . 7 |- (S seq1 (F shift 1)) e. _V
9	8	shftval 7759	. . . . . 6 |- ((-u1 e. CC /\ (N + 1) e. CC) -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N + 1)) = ((S seq1 (F shift 1))` ((N + 1) - -u1)))
10	7, 9	mpan 759	. . . . 5 |- ((N + 1) e. CC -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N + 1)) = ((S seq1 (F shift 1))` ((N + 1) - -u1)))
11	4, 5, 10	3syl 24	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N + 1)) = ((S seq1 (F shift 1))` ((N + 1) - -u1)))
12		addsub 6542	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ 1 e. CC /\ -u1 e. CC) -> ((N + 1) - -u1) = ((N - -u1) + 1))
13	6, 7, 12	mp3an23 1183	. . . . . 6 |- (N e. CC -> ((N + 1) - -u1) = ((N - -u1) + 1))
14	4, 13	syl 12	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> ((N + 1) - -u1) = ((N - -u1) + 1))
15	14	fveq2d 4685	. . . 4 |- (N e. NN0 -> ((S seq1 (F shift 1))` ((N + 1) - -u1)) = ((S seq1 (F shift 1))` ((N - -u1) + 1)))
16		subneg 6554	. . . . . . . 8 |- ((N e. CC /\ 1 e. CC) -> (N - -u1) = (N + 1))
17	16, 4, 6	sylancl 525	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (N - -u1) = (N + 1))
18		nn0p1nn 7384	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. NN)
19	17, 18	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> (N - -u1) e. NN)
20		seq0val.1	. . . . . . 7 |- S e. _V
21		oprex 4907	. . . . . . 7 |- (F shift 1) e. _V
22	20, 21	seq1p1 7731	. . . . . 6 |- ((N - -u1) e. NN -> ((S seq1 (F shift 1))` ((N - -u1) + 1)) = (((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1))S((F shift 1)` ((N - -u1) + 1))))
23	19, 22	syl 12	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> ((S seq1 (F shift 1))` ((N - -u1) + 1)) = (((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1))S((F shift 1)` ((N - -u1) + 1))))
24		subcl 6524	. . . . . . . . 9 |- ((N e. CC /\ -u1 e. CC) -> (N - -u1) e. CC)
25	24, 4, 7	sylancl 525	. . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> (N - -u1) e. CC)
26		peano2cn 6498	. . . . . . . 8 |- ((N - -u1) e. CC -> ((N - -u1) + 1) e. CC)
27		seq0val.2	. . . . . . . . . 10 |- F e. _V
28	27	shftval 7759	. . . . . . . . 9 |- ((1 e. CC /\ ((N - -u1) + 1) e. CC) -> ((F shift 1)` ((N - -u1) + 1)) = (F` (((N - -u1) + 1) - 1)))
29	6, 28	mpan 759	. . . . . . . 8 |- (((N - -u1) + 1) e. CC -> ((F shift 1)` ((N - -u1) + 1)) = (F` (((N - -u1) + 1) - 1)))
30	25, 26, 29	3syl 24	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> ((F shift 1)` ((N - -u1) + 1)) = (F` (((N - -u1) + 1) - 1)))
31		pncan 6557	. . . . . . . . . . 11 |- (((N - -u1) e. CC /\ 1 e. CC) -> (((N - -u1) + 1) - 1) = (N - -u1))
32	7, 24	mpan2 760	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. CC -> (N - -u1) e. CC)
33	31, 32, 6	sylancl 525	. . . . . . . . . 10 |- (N e. CC -> (((N - -u1) + 1) - 1) = (N - -u1))
34	6, 16	mpan2 760	. . . . . . . . . 10 |- (N e. CC -> (N - -u1) = (N + 1))
35	33, 34	eqtrd 1925	. . . . . . . . 9 |- (N e. CC -> (((N - -u1) + 1) - 1) = (N + 1))
36	4, 35	syl 12	. . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> (((N - -u1) + 1) - 1) = (N + 1))
37	36	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (F` (((N - -u1) + 1) - 1)) = (F` (N + 1)))
38	30, 37	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> ((F shift 1)` ((N - -u1) + 1)) = (F` (N + 1)))
39	38	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1))S((F shift 1)` ((N - -u1) + 1))) = (((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1))S(F` (N + 1))))
40	23, 39	eqtrd 1925	. . . 4 |- (N e. NN0 -> ((S seq1 (F shift 1))` ((N - -u1) + 1)) = (((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1))S(F` (N + 1))))
41	11, 15, 40	3eqtrd 1929	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` (N + 1)) = (((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1))S(F` (N + 1))))
42		fvres 4691	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> ((((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)` N) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` N))
43	8	shftval 7759	. . . . . . 7 |- ((-u1 e. CC /\ N e. CC) -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` N) = ((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1)))
44	43, 7, 4	sylancr 526	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` N) = ((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1)))
45	42, 44	eqtrd 1925	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> ((((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)` N) = ((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1)))
46	20, 27	seq0fval 7778	. . . . . 6 |- (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)
47	46	fveq1i 4682	. . . . 5 |- ((S seq0 F)` N) = ((((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)` N)
48	45, 47	syl5req 1941	. . . 4 |- (N e. NN0 -> ((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1)) = ((S seq0 F)` N))
49	48	opreq1d 4897	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((S seq1 (F shift 1))` (N - -u1))S(F` (N + 1))) = (((S seq0 F)` N)S(F` (N + 1))))
50	3, 41, 49	3eqtrd 1929	. 2 |- (N e. NN0 -> ((((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)` (N + 1)) = (((S seq0 F)` N)S(F` (N + 1))))
51	46	fveq1i 4682	. 2 |- ((S seq0 F)` (N + 1)) = ((((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)` (N + 1))
52	50, 51	syl5eq 1940	1 |- (N e. NN0 -> ((S seq0 F)` (N + 1)) = (((S seq0 F)` N)S(F` (N + 1))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446  NNcn 6449  NN0cn0 6450   seq1 cseq1 7720   shift cshi 7753   seq0 cseq0 7775

This theorem is referenced by:  seq01 7795  ser0cl1i 7807  ser0p1i 7810  algrp1 13742

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seq0 7777

Copyright terms: Public domain