Theorem seq0fval 7778

Description: Value of the 0-based recursive sequence builder operation.

Hypotheses

Ref	Expression
seq0val.1	|- S e. _V
seq0val.2	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
seq0fval	|- (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)

Proof of Theorem seq0fval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq0val.1	. 2 |- S e. _V
2		seq0val.2	. 2 |- F e. _V
3		oprex 4907	. . . 4 |- ((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) e. _V
4		resexg 4250	. . . 4 |- (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) e. _V -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0) e. _V)
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0) e. _V
6		opreq1 4889	. . . . 5 |- (f = S -> (f seq1 (g shift 1)) = (S seq1 (g shift 1)))
7	6	opreq1d 4897	. . . 4 |- (f = S -> ((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (g shift 1)) shift -u1))
8		reseq1 4218	. . . 4 |- (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) -> (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0))
9	7, 8	syl 12	. . 3 |- (f = S -> (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0))
10		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (g = F -> (g shift 1) = (F shift 1))
11	10	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (g = F -> (S seq1 (g shift 1)) = (S seq1 (F shift 1)))
12	11	opreq1d 4897	. . . 4 |- (g = F -> ((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (F shift 1)) shift -u1))
13		reseq1 4218	. . . 4 |- (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) = ((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) -> (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0))
14	12, 13	syl 12	. . 3 |- (g = F -> (((S seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0))
15		df-seq0 7777	. . 3 |- seq0 = {<.<.f, g>., h>. | h = (((f seq1 (g shift 1)) shift -u1) |` NN0)}
16	5, 9, 14, 15	oprabval5 4958	. 2 |- ((S e. _V /\ F e. _V) -> (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0))
17	1, 2, 16	mp2an 761	1 |- (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   |` cres 3988  (class class class)co 4884  1c1 6387  -ucneg 6446  NN0cn0 6450   seq1 cseq1 7720   shift cshi 7753   seq0 cseq0 7775

This theorem is referenced by:  seq0valt 7779  seq0seqz 7785  seq0fn 7789  seq00 7793  seq0p1 7794

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-seq0 7777

Copyright terms: Public domain