Theorem seq00 7793

Description: Value of the 0-based recursive sequence builder at 0.

Hypotheses

Ref	Expression
seq0val.1	|- S e. _V
seq0val.2	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
seq00	|- ((S seq0 F)` 0) = (F` 0)

Proof of Theorem seq00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq0val.1	. . . . 5 |- S e. _V
2		seq0val.2	. . . . 5 |- F e. _V
3	1, 2	seq0fval 7778	. . . 4 |- (S seq0 F) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)
4	3	fveq1i 4682	. . 3 |- ((S seq0 F)` 0) = ((((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)` 0)
5		0nn0 7322	. . . 4 |- 0 e. NN0
6		fvres 4691	. . . 4 |- (0 e. NN0 -> ((((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)` 0) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` 0))
7	5, 6	ax-mp 7	. . 3 |- ((((S seq1 (F shift 1)) shift -u1) |` NN0)` 0) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` 0)
8	4, 7	eqtri 1908	. 2 |- ((S seq0 F)` 0) = (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` 0)
9		ax1cn 6422	. . . 4 |- 1 e. CC
10	9	negcli 6526	. . 3 |- -u1 e. CC
11		0cn 6481	. . 3 |- 0 e. CC
12		oprex 4907	. . . 4 |- (S seq1 (F shift 1)) e. _V
13	12	shftval 7759	. . 3 |- ((-u1 e. CC /\ 0 e. CC) -> (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` 0) = ((S seq1 (F shift 1))` (0 - -u1)))
14	10, 11, 13	mp2an 761	. 2 |- (((S seq1 (F shift 1)) shift -u1)` 0) = ((S seq1 (F shift 1))` (0 - -u1))
15		df-neg 6513	. . . . 5 |- -u-u1 = (0 - -u1)
16	9	negnegi 6549	. . . . 5 |- -u-u1 = 1
17	15, 16	eqtr3i 1910	. . . 4 |- (0 - -u1) = 1
18	17	fveq2i 4684	. . 3 |- ((S seq1 (F shift 1))` (0 - -u1)) = ((S seq1 (F shift 1))` 1)
19		oprex 4907	. . . 4 |- (F shift 1) e. _V
20	1, 19	seq11 7730	. . 3 |- ((S seq1 (F shift 1))` 1) = ((F shift 1)` 1)
21	2	shftval 7759	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((F shift 1)` 1) = (F` (1 - 1)))
22	9, 9, 21	mp2an 761	. . . 4 |- ((F shift 1)` 1) = (F` (1 - 1))
23	9	subidi 6551	. . . . 5 |- (1 - 1) = 0
24	23	fveq2i 4684	. . . 4 |- (F` (1 - 1)) = (F` 0)
25	22, 24	eqtri 1908	. . 3 |- ((F shift 1)` 1) = (F` 0)
26	18, 20, 25	3eqtri 1912	. 2 |- ((S seq1 (F shift 1))` (0 - -u1)) = (F` 0)
27	8, 14, 26	3eqtri 1912	1 |- ((S seq0 F)` 0) = (F` 0)

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   - cmin 6445  -ucneg 6446  NN0cn0 6450   seq1 cseq1 7720   shift cshi 7753   seq0 cseq0 7775

This theorem is referenced by:  seq01 7795  ser0cl1i 7807  ser00i 7809  ser1ser0i 8308  ef0lem 8572  efge1i 8666  algr0 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seq0 7777

Copyright terms: Public domain