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Theorem selberglem2 24463
Description: Lemma for selberg 24465. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
selberglem1.t  |-  T  =  ( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )  /  n )
Assertion
Ref Expression
selberglem2  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    m, n, x
Allowed substitution hints:    T( x, m, n)

Proof of Theorem selberglem2
StepHypRef Expression
1 reex 9648 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2 rpssre 11335 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
31, 2ssexi 4541 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  RR+  e.  _V )
5 fzfid 12224 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6 elfznn 11854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
76adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
8 mucl 24147 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
109zred 11063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
1110recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
12 fzfid 12224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
13 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
1413adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
1514nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
1615relogcld 23651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
1716resqcld 12480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( ( log `  m ) ^
2 )  e.  RR )
1812, 17fsumrecl 13877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  e.  RR )
19 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
2018, 19rerpdivcld 11392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  e.  RR )
2120recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  e.  CC )
22 selberglem1.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )  /  n )
23 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
246nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
25 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
2623, 24, 25syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2726relogcld 23651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
2827resqcld 12480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
29 2re 10701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
30 remulcl 9642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  ( x  /  n ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
3129, 27, 30sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
32 resubcl 9958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )  -> 
( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
3329, 31, 32sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
3428, 33readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
3534, 7nndivred 10680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  n
)  e.  RR )
3622, 35syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  RR )
3736recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  CC )
3821, 37subcld 10005 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T )  e.  CC )
3911, 38mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  e.  CC )
405, 39fsumcl 13876 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  e.  CC )
4111, 37mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  T )  e.  CC )
425, 41fsumcl 13876 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  e.  CC )
43 2cn 10702 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
44 relogcl 23604 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
4544adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
4645recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
47 mulcl 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( log `  x )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
4843, 46, 47sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
4942, 48subcld 10005 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
50 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) ) )
51 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
524, 40, 49, 50, 51offval2 6567 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )
5340, 42, 48addsubassd 10025 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  T ) )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
54 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
5554adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
5655simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
5710adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
5857, 17remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( ( log `  m
) ^ 2 ) )  e.  RR )
5912, 58fsumrecl 13877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  e.  RR )
6059recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  e.  CC )
6155simprd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
625, 56, 60, 61fsumdivc 13924 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x ) )
6317recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( ( log `  m ) ^
2 )  e.  CC )
6412, 63fsumcl 13876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  e.  CC )
6555adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
66 divass 10310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( mmu `  n
)  e.  CC  /\  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  =  ( ( mmu `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) ) )
6711, 64, 65, 66syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  =  ( ( mmu `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) ) )
6812, 11, 63fsummulc2 13922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) ) )
6968oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x ) )
7021, 37npcand 10009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T )  +  T
)  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x ) )
7170oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
)  +  T ) )  =  ( ( mmu `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) ) )
7211, 38, 37adddid 9685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
)  +  T ) )  =  ( ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( ( mmu `  n )  x.  T
) ) )
7371, 72eqtr3d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) )  =  ( ( ( mmu `  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) )  +  ( ( mmu `  n
)  x.  T ) ) )
7467, 69, 733eqtr3d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x
)  =  ( ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( ( mmu `  n )  x.  T
) ) )
7574sumeq2dv 13846 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( ( mmu `  n )  x.  T
) ) )
765, 39, 41fsumadd 13882 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( ( mmu `  n )  x.  T
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  T ) ) )
7762, 75, 763eqtrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x ) )
7877oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  T ) )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
7953, 78eqtr3d 2507 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) )  +  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )
8079mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
8152, 80eqtrd 2505 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
82 1red 9676 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
835, 28fsumrecl 13877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8483, 23rerpdivcld 11392 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  e.  RR )
8584recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  e.  CC )
86 2cnd 10704 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
87 2nn0 10910 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
88 logexprlim 24232 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x ) )  ~~> r  ( ! `  2 ) )
8987, 88mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x ) )  ~~> r  ( ! ` 
2 ) )
90 2cnd 10704 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
91 rlimconst 13685 . . . . . . . 8  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  2  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  2 )  ~~> r  2 )
922, 90, 91sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  2 )  ~~> r  2 )
9385, 86, 89, 92rlimadd 13783 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )  ~~> r  ( ( ! `  2
)  +  2 ) )
94 rlimo1 13757 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )  ~~> r  ( ( ! `  2
)  +  2 )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )  e.  O(1) )
9593, 94syl 17 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )  e.  O(1) )
96 readdcl 9640 . . . . . 6  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 )  e.  RR )
9784, 29, 96sylancl 675 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 )  e.  RR )
9840abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  e.  RR )
9997recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 )  e.  CC )
10099abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )  e.  RR )
10139abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  e.  RR )
1025, 101fsumrecl 13877 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  e.  RR )
1035, 39fsumabs 13938 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) ) )
104 readdcl 9640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  e.  RR )
10528, 29, 104sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  e.  RR )
106105, 19rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x )  e.  RR )
1075, 106fsumrecl 13877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x
)  e.  RR )
10838abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  e.  RR )
10911, 38absmuld 13593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  n
) )  x.  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) ) ) )
11011abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  e.  RR )
111 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
11238absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )
113 mule1 24154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
1147, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  <_  1
)
115110, 111, 108, 112, 114lemul1ad 10568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( 1  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) ) )
116108recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  e.  CC )
117116mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )
118115, 117breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )
119109, 118eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )
12065simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
121120, 38absmuld 13593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( x  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) ) ) )
122120, 21, 37subdid 10095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  =  ( ( x  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) )  -  ( x  x.  T ) ) )
12365simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  =/=  0 )
12464, 120, 123divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 ) )
12534recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC )
1267nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
127 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
129 divass 10310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) ) )  /  n
)  =  ( x  x.  ( ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  n
) ) )
13022oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  x.  T )  =  ( x  x.  (
( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  /  n ) )
131129, 130syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) ) )  /  n
)  =  ( x  x.  T ) )
132 div23 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) ) )  /  n
)  =  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) ) ) )
133131, 132eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( x  x.  T )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
134120, 125, 128, 133syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  T )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
135124, 134oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x ) )  -  ( x  x.  T
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) )
136122, 135eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) )
137136fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( x  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) ) )
138 rprege0 11339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
139 absid 13436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
14019, 138, 1393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
141140oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) ) )
142121, 137, 1413eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) ) ) )
1437nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
144143mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  =  n )
145 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
146145adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
147 fznnfl 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
149148simplbda 636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
150144, 149eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  <_  x )
15119rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
152111, 151, 126lemuldivd 11410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  n )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  n ) ) )
153150, 152mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  n ) )
154 log2sumbnd 24461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR+  /\  1  <_  ( x  /  n
) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 ) )
15526, 153, 154syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 ) )
156142, 155eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 ) )
157108, 105, 19lemuldiv2d 11411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  x.  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  <->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  <_ 
( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x
) ) )
158156, 157mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  <_ 
( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x
) )
159101, 108, 106, 119, 158letrd 9809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x ) )
1605, 101, 106, 159fsumle 13936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x
) )
1615, 105fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 )  e.  RR )
162 remulcl 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( x  x.  2 )  e.  RR )
163146, 29, 162sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  2 )  e.  RR )
16483, 163readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) )  e.  RR )
16528recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^
2 )  e.  CC )
166 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
1675, 165, 166fsumadd 13882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) 2 ) )
168 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  2  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 2  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  2 ) )
1695, 43, 168sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 2  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  2 ) )
170138adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
171 flge0nn0 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
172 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
173170, 171, 1723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
174173oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  2 )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  2 ) )
175169, 174eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 2  =  ( ( |_ `  x )  x.  2 ) )
176175oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) 2 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( ( |_ `  x )  x.  2 ) ) )
177167, 176eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( ( |_
`  x )  x.  2 ) ) )
178 reflcl 12065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
179146, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  e.  RR )
18029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  RR )
181179, 180remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  x.  2 )  e.  RR )
182 flle 12068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
183146, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  <_  x )
184 2pos 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
18529, 184pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
187 lemul1 10479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( |_
`  x )  <_  x 
<->  ( ( |_ `  x )  x.  2 )  <_  ( x  x.  2 ) ) )
188179, 146, 186, 187syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  <_  x  <->  ( ( |_ `  x )  x.  2 )  <_  (
x  x.  2 ) ) )
189183, 188mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  x.  2 )  <_ 
( x  x.  2 ) )
190181, 163, 83, 189leadd2dd 10249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( ( |_ `  x )  x.  2 ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) ) )
191177, 190eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) ) )
192161, 164, 23, 191lediv1dd 11419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x )  <_  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) )  /  x ) )
193105recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  e.  CC )
1945, 56, 193, 61fsumdivc 13924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x ) )
19583recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19656, 86mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  2 )  e.  CC )
197 divdir 10315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
x  x.  2 )  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  ( ( x  x.  2 )  /  x
) ) )
198195, 196, 55, 197syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) )  /  x )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  ( ( x  x.  2 )  /  x
) ) )
19986, 56, 61divcan3d 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( x  x.  2 )  /  x )  =  2 )
200199oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  ( ( x  x.  2 )  /  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )
201198, 200eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) )  /  x )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )
202192, 194, 2013brtr3d 4425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x
)  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )
203102, 107, 97, 160, 202letrd 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )
20498, 102, 97, 103, 203letrd 9809 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )
20597leabsd 13553 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) ) )
20698, 97, 100, 204, 205letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) ) )
207206adantrr 731 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) ) )  <_ 
( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) ) )
20882, 95, 97, 40, 207o1le 13793 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  e.  O(1) )
20922selberglem1 24462 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1)
210 o1add 13754 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
211208, 209, 210sylancl 675 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
21281, 211eqeltrrd 2550 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
213212trud 1461 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   ...cfz 11810   |_cfl 12059   ^cexp 12310   !cfa 12497   #chash 12553   abscabs 13374    ~~> r crli 13626   O(1)co1 13627   sum_csu 13829   logclog 23583   mmucmu 24100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-em 23997  df-mu 24106
This theorem is referenced by:  selberglem3  24464  selberg  24465
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