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Theorem selberglem2 22680
Description: Lemma for selberg 22682. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
selberglem1.t  |-  T  =  ( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )  /  n )
Assertion
Ref Expression
selberglem2  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    m, n, x
Allowed substitution hints:    T( x, m, n)

Proof of Theorem selberglem2
StepHypRef Expression
1 reex 9361 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2 rpssre 10989 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
31, 2ssexi 4425 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  RR+  e.  _V )
5 fzfid 11779 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6 elfznn 11465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
76adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
8 mucl 22364 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
109zred 10735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
1110recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
12 fzfid 11779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
13 elfznn 11465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
1413adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
1514nnrpd 11014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
1615relogcld 21957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
1716resqcld 12018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( ( log `  m ) ^
2 )  e.  RR )
1812, 17fsumrecl 13195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  e.  RR )
19 simplr 747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
2018, 19rerpdivcld 11042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  e.  RR )
2120recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  e.  CC )
22 selberglem1.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )  /  n )
23 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
246nnrpd 11014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
25 rpdivcl 11001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
2623, 24, 25syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2726relogcld 21957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
2827resqcld 12018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^
2 )  e.  RR )
29 2re 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
30 remulcl 9355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  ( x  /  n ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
3129, 27, 30sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
32 resubcl 9661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )  -> 
( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
3329, 31, 32sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
3428, 33readdcld 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
3534, 7nndivred 10358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  n
)  e.  RR )
3622, 35syl5eqel 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  RR )
3736recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  CC )
3821, 37subcld 9707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T )  e.  CC )
3911, 38mulcld 9394 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  e.  CC )
405, 39fsumcl 13194 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  e.  CC )
4111, 37mulcld 9394 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  T )  e.  CC )
425, 41fsumcl 13194 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  e.  CC )
43 2cn 10380 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
44 relogcl 21912 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
4544adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
4645recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
47 mulcl 9354 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( log `  x )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
4843, 46, 47sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
4942, 48subcld 9707 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
50 eqidd 2434 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) ) )
51 eqidd 2434 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
524, 40, 49, 50, 51offval2 6325 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) ) )
5340, 42, 48addsubassd 9727 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  T ) )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
54 rpcnne0 10996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
5554adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
5655simpld 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
5710adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
5857, 17remulcld 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( ( log `  m
) ^ 2 ) )  e.  RR )
5912, 58fsumrecl 13195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  e.  RR )
6059recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  e.  CC )
6155simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
625, 56, 60, 61fsumdivc 13236 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x ) )
6317recnd 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( ( log `  m ) ^
2 )  e.  CC )
6412, 63fsumcl 13194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  e.  CC )
6555adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
66 divass 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( mmu `  n
)  e.  CC  /\  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  =  ( ( mmu `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) ) )
6711, 64, 65, 66syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  =  ( ( mmu `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) ) )
6812, 11, 63fsummulc2 13234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) ) )
6968oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x ) )
7021, 37npcand 9711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T )  +  T
)  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x ) )
7170oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
)  +  T ) )  =  ( ( mmu `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) ) )
7211, 38, 37adddid 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
)  +  T ) )  =  ( ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( ( mmu `  n )  x.  T
) ) )
7371, 72eqtr3d 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) )  =  ( ( ( mmu `  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) )  +  ( ( mmu `  n
)  x.  T ) ) )
7467, 69, 733eqtr3d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x
)  =  ( ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( ( mmu `  n )  x.  T
) ) )
7574sumeq2dv 13164 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( ( mmu `  n )  x.  T
) ) )
765, 39, 41fsumadd 13199 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( ( mmu `  n )  x.  T
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  T ) ) )
7762, 75, 763eqtrrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x ) )
7877oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  T ) )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
7953, 78eqtr3d 2467 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) )  +  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( log `  m
) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )
8079mpteq2dva 4366 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  +  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  T
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
8152, 80eqtrd 2465 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
82 1red 9389 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
835, 28fsumrecl 13195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8483, 23rerpdivcld 11042 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  e.  RR )
8584recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  e.  CC )
86 2cnd 10382 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
87 2nn0 10584 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
88 logexprlim 22449 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x ) )  ~~> r  ( ! `  2 ) )
8987, 88mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x ) )  ~~> r  ( ! ` 
2 ) )
90 2cnd 10382 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
91 rlimconst 13006 . . . . . . . 8  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  2  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  2 )  ~~> r  2 )
922, 90, 91sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  2 )  ~~> r  2 )
9385, 86, 89, 92rlimadd 13104 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )  ~~> r  ( ( ! `  2
)  +  2 ) )
94 rlimo1 13078 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )  ~~> r  ( ( ! `  2
)  +  2 )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )  e.  O(1) )
9593, 94syl 16 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )  e.  O(1) )
96 readdcl 9353 . . . . . 6  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 )  e.  RR )
9784, 29, 96sylancl 655 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 )  e.  RR )
9840abscld 12906 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  e.  RR )
9997recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 )  e.  CC )
10099abscld 12906 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )  e.  RR )
10139abscld 12906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  e.  RR )
1025, 101fsumrecl 13195 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  e.  RR )
1035, 39fsumabs 13247 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) ) )
104 readdcl 9353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  e.  RR )
10528, 29, 104sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  e.  RR )
106105, 19rerpdivcld 11042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x )  e.  RR )
1075, 106fsumrecl 13195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x
)  e.  RR )
10838abscld 12906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  e.  RR )
10911, 38absmuld 12924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  n
) )  x.  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) ) ) )
11011abscld 12906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  e.  RR )
111 1red 9389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
11238absge0d 12914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )
113 mule1 22371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
1147, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  <_  1
)
115110, 111, 108, 112, 114lemul1ad 10260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( 1  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) ) )
116108recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  e.  CC )
117116mulid2d 9392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )
118115, 117breqtrd 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )
119109, 118eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )
12065simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
121120, 38absmuld 12924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( x  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) ) ) )
122120, 21, 37subdid 9788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  =  ( ( x  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) )  -  ( x  x.  T ) ) )
12365simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  =/=  0 )
12464, 120, 123divcan2d 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 ) )
12534recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC )
1267nnrpd 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
127 rpcnne0 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
128126, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
129 divass 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) ) )  /  n
)  =  ( x  x.  ( ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  n
) ) )
13022oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  x.  T )  =  ( x  x.  (
( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  /  n ) )
131129, 130syl6eqr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) ) )  /  n
)  =  ( x  x.  T ) )
132 div23 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) ) )  /  n
)  =  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  (
2  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) ) ) )
133131, 132eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( x  x.  T )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
134120, 125, 128, 133syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  T )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) ) ) )
135124, 134oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x ) )  -  ( x  x.  T
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) )
136122, 135eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) )
137136fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( x  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) ) )
138 rprege0 10993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
139 absid 12769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
14019, 138, 1393syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
141140oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) ) )
142121, 137, 1413eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) ) ) )
1437nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
144143mulid2d 9392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  =  n )
145 rpre 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
146145adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
147 fznnfl 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
149148simplbda 619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
150144, 149eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  <_  x )
15119rpred 11015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
152111, 151, 126lemuldivd 11060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  n )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  n ) ) )
153150, 152mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  n ) )
154 log2sumbnd 22678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR+  /\  1  <_  ( x  /  n
) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 ) )
15526, 153, 154syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  -  ( ( x  /  n )  x.  ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  ( 2  -  ( 2  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) ) ) )  <_ 
( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 ) )
156142, 155eqbrtrrd 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 ) )
157108, 105, 19lemuldiv2d 11061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  x.  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  <->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  <_ 
( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x
) ) )
158156, 157mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) )  <_ 
( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x
) )
159101, 108, 106, 119, 158letrd 9516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x ) )
1605, 101, 106, 159fsumle 13245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x
) )
1615, 105fsumrecl 13195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 )  e.  RR )
162 remulcl 9355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( x  x.  2 )  e.  RR )
163146, 29, 162sylancl 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  2 )  e.  RR )
16483, 163readdcld 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) )  e.  RR )
16528recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^
2 )  e.  CC )
166 2cnd 10382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
1675, 165, 166fsumadd 13199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) 2 ) )
168 fsumconst 13240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  2  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 2  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  2 ) )
1695, 43, 168sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 2  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  2 ) )
170138adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
171 flge0nn0 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
172 hashfz1 12101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
173170, 171, 1723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
174173oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  2 )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  2 ) )
175169, 174eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 2  =  ( ( |_ `  x )  x.  2 ) )
176175oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) 2 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( ( |_ `  x )  x.  2 ) ) )
177167, 176eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( ( |_
`  x )  x.  2 ) ) )
178 reflcl 11630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
179146, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  e.  RR )
18029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  RR )
181179, 180remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  x.  2 )  e.  RR )
182 flle 11633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
183146, 182syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  <_  x )
184 2pos 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
18529, 184pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
187 lemul1 10169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( |_
`  x )  <_  x 
<->  ( ( |_ `  x )  x.  2 )  <_  ( x  x.  2 ) ) )
188179, 146, 186, 187syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  <_  x  <->  ( ( |_ `  x )  x.  2 )  <_  (
x  x.  2 ) ) )
189183, 188mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  x.  2 )  <_ 
( x  x.  2 ) )
190181, 163, 83, 189leadd2dd 9942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( ( |_ `  x )  x.  2 ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) ) )
191177, 190eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 )  +  2 )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) ) )
192161, 164, 23, 191lediv1dd 11069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x )  <_  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) )  /  x ) )
193105recnd 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  e.  CC )
1945, 56, 193, 61fsumdivc 13236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x ) )
19583recnd 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19656, 86mulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  2 )  e.  CC )
197 divdir 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
x  x.  2 )  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  ( ( x  x.  2 )  /  x
) ) )
198195, 196, 55, 197syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) )  /  x )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  ( ( x  x.  2 )  /  x
) ) )
19986, 56, 61divcan3d 10100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( x  x.  2 )  /  x )  =  2 )
200199oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  ( ( x  x.  2 )  /  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )
201198, 200eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  +  ( x  x.  2 ) )  /  x )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )
202192, 194, 2013brtr3d 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  +  2 )  /  x
)  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )
203102, 107, 97, 160, 202letrd 9516 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )
20498, 102, 97, 103, 203letrd 9516 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) )
20597leabsd 12885 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) ) )
20698, 97, 100, 204, 205letrd 9516 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) ) )
207206adantrr 709 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( log `  m ) ^ 2 )  /  x )  -  T
) ) )  <_ 
( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  n ) ) ^ 2 )  /  x )  +  2 ) ) )
20882, 95, 97, 40, 207o1le 13114 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  e.  O(1) )
20922selberglem1 22679 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1)
210 o1add 13075 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
211208, 209, 210sylancl 655 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( log `  m
) ^ 2 )  /  x )  -  T ) ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  x.  T )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
21281, 211eqeltrrd 2508 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
213212trud 1371 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  ( ( log `  m ) ^ 2 ) )  /  x
)  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   RR+crp 10979   ...cfz 11424   |_cfl 11624   ^cexp 11849   !cfa 12035   #chash 12087   abscabs 12707    ~~> r crli 12947   O(1)co1 12948   sum_csu 13147   logclog 21891   mmucmu 22317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-o1 12952  df-lo1 12953  df-sum 13148  df-ef 13336  df-e 13337  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-prm 13747  df-pc 13887  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-cxp 21894  df-em 22271  df-mu 22323
This theorem is referenced by:  selberglem3  22681  selberg  22682
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