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Theorem selbergb 22757
Description: Convert eventual boundedness in selberg 22756 to boundedness on  [ 1 , +oo ). (We have to bound away from zero because the log terms diverge at zero.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selbergb  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c
Distinct variable group:    n, c, x

Proof of Theorem selbergb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9381 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11381 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
43simprbda 620 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
54ex 434 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR ) )
65ssrdv 3359 . . 3  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
71a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
8 fzfid 11791 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
9 elfznn 11474 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
109adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
11 vmacl 22415 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
1310nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
1413relogcld 22031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
154adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
1615, 10nndivred 10366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
17 chpcl 22421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
1914, 18readdcld 9409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
2012, 19remulcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
218, 20fsumrecl 13207 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
22 1rp 10991 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
243simplbda 621 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
254, 23, 24rpgecld 11058 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
2621, 25rerpdivcld 11050 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
27 2re 10387 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  2  e.  RR )
2925relogcld 22031 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3028, 29remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
3126, 30resubcld 9772 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
3231recnd 9408 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
3325ex 434 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
3433ssrdv 3359 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+ )
35 selberg 22756 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1)
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
3734, 36o1res2 13037 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
38 fzfid 11791 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  y ) )  e.  Fin )
39 elfznn 11474 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  ->  n  e.  NN )
4039adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  n  e.  NN )
4140, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
4240nnrpd 11022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
4342relogcld 22031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
44 simprl 750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
y  e.  RR )
4544adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  y  e.  RR )
4645, 40nndivred 10366 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( y  /  n )  e.  RR )
47 chpcl 22421 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( y  /  n
) )  e.  RR )
4846, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  (ψ `  (
y  /  n ) )  e.  RR )
4943, 48readdcld 9409 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( y  /  n ) ) )  e.  RR )
5041, 49remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
5138, 50fsumrecl 13207 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
5227a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
2  e.  RR )
5322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
1  e.  RR+ )
54 simprr 751 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
1  <_  y )
5544, 53, 54rpgecld 11058 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
y  e.  RR+ )
5655relogcld 22031 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( log `  y
)  e.  RR )
5752, 56remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( 2  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
5851, 57readdcld 9409 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
5931adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
6059recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
6160abscld 12918 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
6226adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
6330adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
6462, 63readdcld 9409 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
65 fzfid 11791 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y ) )  e. 
Fin )
6639adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  NN )
6766, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6866nnrpd 11022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
6968relogcld 22031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
70 simprll 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
7170adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  y  e.  RR )
7271, 66nndivred 10366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( y  /  n )  e.  RR )
7372, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
y  /  n ) )  e.  RR )
7469, 73readdcld 9409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) )  e.  RR )
7567, 74remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  RR )
7665, 75fsumrecl 13207 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  RR )
7727a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
7825adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
794adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
80 simprr 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
8179, 70, 80ltled 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
8270, 78, 81rpgecld 11058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR+ )
8382relogcld 22031 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
8477, 83remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
8576, 84readdcld 9409 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) )  e.  RR )
8662recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  CC )
8763recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
8886, 87abs2dif2d 12940 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8921adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
90 vmage0 22418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
9110, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
9210nnred 10333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
9310nnge1d 10360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
9492, 93logge0d 22038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
95 chpge0 22423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n ) ) )
9616, 95syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n
) ) )
9714, 18, 94, 96addge0d 9911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )
9812, 19, 91, 97mulge0d 9912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
998, 20, 98fsumge0 13254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10099adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10189, 78, 100divge0d 11059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x ) )
10262, 101absidd 12905 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )
10378relogcld 22031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
104 2rp 10992 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
105 rpge0 10999 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR+  ->  0  <_ 
2 )
106104, 105mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  2 )
10724adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  x )
10879, 107logge0d 22038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  x ) )
10977, 103, 106, 108mulge0d 9912 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )
11063, 109absidd 12905 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )
111102, 110oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
11288, 111breqtrd 4313 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
11322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  e.  RR+ )
11479adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  x  e.  RR )
115114, 66nndivred 10366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
116115, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
11769, 116readdcld 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
11867, 117remulcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
11965, 118fsumrecl 13207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
12066, 90syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
12166nnred 10333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  RR )
12266nnge1d 10360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  1  <_  n
)
123121, 122logge0d 22038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
124115, 95syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n
) ) )
12569, 116, 123, 124addge0d 9911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )
12667, 117, 120, 125mulge0d 9912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
127 flword2 11657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  ( |_ `  y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
12879, 70, 81, 127syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( |_ `  y )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
129 fzss2 11494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  y ) ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )
13165, 118, 126, 130fsumless 13255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
13281adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  x  <_  y
)
133114, 71, 68, 132lediv1dd 11077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( x  /  n )  <_  (
y  /  n ) )
134 chpwordi 22454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  ( y  /  n
)  e.  RR  /\  ( x  /  n
)  <_  ( y  /  n ) )  -> 
(ψ `  ( x  /  n ) )  <_ 
(ψ `  ( y  /  n ) ) )
135115, 72, 133, 134syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  <_  (ψ `  (
y  /  n ) ) )
136116, 73, 69, 135leadd2dd 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  <_ 
( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )
137117, 74, 67, 120, 136lemul2ad 10269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_ 
( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
13865, 118, 75, 137fsumle 13258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
13989, 119, 76, 131, 138letrd 9524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
14089, 76, 113, 79, 100, 139, 107lediv12ad 11078 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  / 
1 ) )
14176recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  CC )
142141div1d 10095 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  /  1 )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
143140, 142breqtrd 4313 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
14478, 82logled 22035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  <_  y  <->  ( log `  x
)  <_  ( log `  y ) ) )
14581, 144mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  <_  ( log `  y ) )
146103, 83, 77, 106, 145lemul2ad 10269 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  <_  (
2  x.  ( log `  y ) ) )
14762, 63, 76, 84, 143, 146le2addd 9953 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )
14861, 64, 85, 112, 147letrd 9524 . . 3  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )
1496, 7, 32, 37, 58, 148o1bddrp 13016 . 2  |-  ( T. 
->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c
)
150149trud 1373 1  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369   T. wtru 1365    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   [,)cico 11298   ...cfz 11433   |_cfl 11636   abscabs 12719   O(1)co1 12960   sum_csu 13159   logclog 21965  Λcvma 22388  ψcchp 22389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-o1 12964  df-lo1 12965  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968  df-em 22345  df-vma 22394  df-chp 22395  df-mu 22397
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