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Theorem selbergb 21196
Description: Convert eventual boundedness in selberg 21195 to boundedness on  [ 1 , 
+oo ). (We have to bound away from zero because the log terms diverge at zero.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selbergb  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c
Distinct variable group:    n, c, x

Proof of Theorem selbergb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9046 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10956 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
43simprbda 607 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
54ex 424 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  ->  x  e.  RR ) )
65ssrdv 3314 . . 3  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR )
71a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
8 fzfid 11267 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
9 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
109adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
11 vmacl 20854 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
1310nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
1413relogcld 20471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
154adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
1615, 10nndivred 10004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
17 chpcl 20860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
1914, 18readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
2012, 19remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
218, 20fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
22 1rp 10572 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
243simplbda 608 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
254, 23, 24rpgecld 10639 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
2621, 25rerpdivcld 10631 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
27 2re 10025 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR )
2925relogcld 20471 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3028, 29remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
3126, 30resubcld 9421 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
3231recnd 9070 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
3325ex 424 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
3433ssrdv 3314 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
35 selberg 21195 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 )
3635a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
3734, 36o1res2 12312 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
38 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  y ) )  e.  Fin )
39 elfznn 11036 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  ->  n  e.  NN )
4039adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  n  e.  NN )
4140, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
4240nnrpd 10603 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
4342relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
44 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
y  e.  RR )
4544adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  y  e.  RR )
4645, 40nndivred 10004 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( y  /  n )  e.  RR )
47 chpcl 20860 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( y  /  n
) )  e.  RR )
4846, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  (ψ `  (
y  /  n ) )  e.  RR )
4943, 48readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( y  /  n ) ) )  e.  RR )
5041, 49remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
5138, 50fsumrecl 12483 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
5227a1i 11 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
2  e.  RR )
5322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
1  e.  RR+ )
54 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
1  <_  y )
5544, 53, 54rpgecld 10639 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
y  e.  RR+ )
5655relogcld 20471 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( log `  y
)  e.  RR )
5752, 56remulcld 9072 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( 2  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
5851, 57readdcld 9071 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
5931adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
6059recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
6160abscld 12193 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
6226adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
6330adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
6462, 63readdcld 9071 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
65 fzfid 11267 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y ) )  e. 
Fin )
6639adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  NN )
6766, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6866nnrpd 10603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
6968relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
70 simprll 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
7170adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  y  e.  RR )
7271, 66nndivred 10004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( y  /  n )  e.  RR )
7372, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
y  /  n ) )  e.  RR )
7469, 73readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) )  e.  RR )
7567, 74remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  RR )
7665, 75fsumrecl 12483 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  RR )
7727a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
7825adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
794adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
80 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
8179, 70, 80ltled 9177 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
8270, 78, 81rpgecld 10639 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR+ )
8382relogcld 20471 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
8477, 83remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
8576, 84readdcld 9071 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) )  e.  RR )
8662recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  CC )
8763recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
8886, 87abs2dif2d 12215 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8921adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
90 vmage0 20857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
9110, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
9210nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
9310nnge1d 9998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
9492, 93logge0d 20478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
95 chpge0 20862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n ) ) )
9616, 95syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n
) ) )
9714, 18, 94, 96addge0d 9558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )
9812, 19, 91, 97mulge0d 9559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
998, 20, 98fsumge0 12529 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10099adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10189, 78, 100divge0d 10640 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x ) )
10262, 101absidd 12180 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )
10378relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
104 2rp 10573 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
105 rpge0 10580 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR+  ->  0  <_ 
2 )
106104, 105mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  2 )
10724adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  x )
10879, 107logge0d 20478 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  x ) )
10977, 103, 106, 108mulge0d 9559 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )
11063, 109absidd 12180 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )
111102, 110oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
11288, 111breqtrd 4196 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
11322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  e.  RR+ )
11479adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  x  e.  RR )
115114, 66nndivred 10004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
116115, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
11769, 116readdcld 9071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
11867, 117remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
11965, 118fsumrecl 12483 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
12066, 90syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
12166nnred 9971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  RR )
12266nnge1d 9998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  1  <_  n
)
123121, 122logge0d 20478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
124115, 95syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n
) ) )
12569, 116, 123, 124addge0d 9558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )
12667, 117, 120, 125mulge0d 9559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
127 flword2 11175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  ( |_ `  y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
12879, 70, 81, 127syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( |_ `  y )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
129 fzss2 11048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  y ) ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )
13165, 118, 126, 130fsumless 12530 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
13281adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  x  <_  y
)
133114, 71, 68, 132lediv1dd 10658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( x  /  n )  <_  (
y  /  n ) )
134 chpwordi 20893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  ( y  /  n
)  e.  RR  /\  ( x  /  n
)  <_  ( y  /  n ) )  -> 
(ψ `  ( x  /  n ) )  <_ 
(ψ `  ( y  /  n ) ) )
135115, 72, 133, 134syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  <_  (ψ `  (
y  /  n ) ) )
136116, 73, 69, 135leadd2dd 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  <_ 
( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )
137117, 74, 67, 120, 136lemul2ad 9907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_ 
( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
13865, 118, 75, 137fsumle 12533 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
13989, 119, 76, 131, 138letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
14089, 76, 113, 79, 100, 139, 107lediv12ad 10659 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  / 
1 ) )
14176recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  CC )
142141div1d 9738 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  /  1 )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
143140, 142breqtrd 4196 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
14478, 82logled 20475 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  <_  y  <->  ( log `  x
)  <_  ( log `  y ) ) )
14581, 144mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  <_  ( log `  y ) )
146103, 83, 77, 106, 145lemul2ad 9907 . . . . 5  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  <_  (
2  x.  ( log `  y ) ) )
14762, 63, 76, 84, 143, 146le2addd 9600 . . . 4  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )
14861, 64, 85, 112, 147letrd 9183 . . 3  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )
1496, 7, 32, 37, 58, 148o1bddrp 12291 . 2  |-  (  T. 
->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c )
150149trud 1329 1  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156   abscabs 11994   O ( 1 )co1 12235   sum_csu 12434   logclog 20405  Λcvma 20827  ψcchp 20828
This theorem is referenced by:  selberg4  21208  selbergsb  21222
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-em 20784  df-vma 20833  df-chp 20834  df-mu 20836
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