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Theorem selbergb 24373
Description: Convert eventual boundedness in selberg 24372 to boundedness on  [ 1 , +oo ). (We have to bound away from zero because the log terms diverge at zero.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selbergb  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c
Distinct variable group:    n, c, x

Proof of Theorem selbergb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9642 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11730 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
43simprbda 627 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
54ex 435 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR ) )
65ssrdv 3470 . . 3  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
71a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
8 fzfid 12185 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
9 elfznn 11828 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
109adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
11 vmacl 24031 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
1310nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
1413relogcld 23558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
154adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
1615, 10nndivred 10658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
17 chpcl 24037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
1914, 18readdcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
2012, 19remulcld 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
218, 20fsumrecl 13787 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
22 1rp 11306 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
243simplbda 628 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
254, 23, 24rpgecld 11377 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
2621, 25rerpdivcld 11369 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
27 2re 10679 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  2  e.  RR )
2925relogcld 23558 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3028, 29remulcld 9671 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
3126, 30resubcld 10047 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
3231recnd 9669 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
3325ex 435 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
3433ssrdv 3470 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+ )
35 selberg 24372 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1)
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
3734, 36o1res2 13614 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
38 fzfid 12185 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  y ) )  e.  Fin )
39 elfznn 11828 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  ->  n  e.  NN )
4039adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  n  e.  NN )
4140, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
4240nnrpd 11339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
4342relogcld 23558 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
44 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
y  e.  RR )
4544adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  y  e.  RR )
4645, 40nndivred 10658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( y  /  n )  e.  RR )
47 chpcl 24037 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( y  /  n
) )  e.  RR )
4846, 47syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  (ψ `  (
y  /  n ) )  e.  RR )
4943, 48readdcld 9670 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( y  /  n ) ) )  e.  RR )
5041, 49remulcld 9671 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  (
y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
5138, 50fsumrecl 13787 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  e.  RR )
5227a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
2  e.  RR )
5322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
1  e.  RR+ )
54 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
1  <_  y )
5544, 53, 54rpgecld 11377 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
y  e.  RR+ )
5655relogcld 23558 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( log `  y
)  e.  RR )
5752, 56remulcld 9671 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( 2  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
5851, 57readdcld 9670 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
5931adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
6059recnd 9669 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
6160abscld 13485 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  RR )
6226adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
6330adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
6462, 63readdcld 9670 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
65 fzfid 12185 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y ) )  e. 
Fin )
6639adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  NN )
6766, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6866nnrpd 11339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
6968relogcld 23558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
70 simprll 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
7170adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  y  e.  RR )
7271, 66nndivred 10658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( y  /  n )  e.  RR )
7372, 47syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
y  /  n ) )  e.  RR )
7469, 73readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) )  e.  RR )
7567, 74remulcld 9671 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  RR )
7665, 75fsumrecl 13787 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  RR )
7727a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
7825adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
794adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
80 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
8179, 70, 80ltled 9783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
8270, 78, 81rpgecld 11377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR+ )
8382relogcld 23558 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
8477, 83remulcld 9671 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
8576, 84readdcld 9670 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) )  e.  RR )
8662recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  e.  CC )
8763recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
8886, 87abs2dif2d 13507 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8921adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
90 vmage0 24034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
9110, 90syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
9210nnred 10624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
9310nnge1d 10652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
9492, 93logge0d 23565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
95 chpge0 24039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n ) ) )
9616, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n
) ) )
9714, 18, 94, 96addge0d 10189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )
9812, 19, 91, 97mulge0d 10190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
998, 20, 98fsumge0 13842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10099adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10189, 78, 100divge0d 11378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x ) )
10262, 101absidd 13472 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )
10378relogcld 23558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
104 2rp 11307 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
105 rpge0 11314 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR+  ->  0  <_ 
2 )
106104, 105mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  2 )
10724adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  x )
10879, 107logge0d 23565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  x ) )
10977, 103, 106, 108mulge0d 10190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )
11063, 109absidd 13472 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( log `  x
) ) )
111102, 110oveq12d 6319 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
11288, 111breqtrd 4445 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )
11322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  e.  RR+ )
11479adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  x  e.  RR )
115114, 66nndivred 10658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
116115, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
11769, 116readdcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
11867, 117remulcld 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
11965, 118fsumrecl 13787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
12066, 90syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
12166nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  n  e.  RR )
12266nnge1d 10652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  1  <_  n
)
123121, 122logge0d 23565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
124115, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (ψ `  ( x  /  n
) ) )
12569, 116, 123, 124addge0d 10189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )
12667, 117, 120, 125mulge0d 10190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
127 flword2 12047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  ( |_ `  y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
12879, 70, 81, 127syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( |_ `  y )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
129 fzss2 11838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  y )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  y ) ) )
130128, 129syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )
13165, 118, 126, 130fsumless 13843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) ) )
13281adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  x  <_  y
)
133114, 71, 68, 132lediv1dd 11396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( x  /  n )  <_  (
y  /  n ) )
134 chpwordi 24070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  ( y  /  n
)  e.  RR  /\  ( x  /  n
)  <_  ( y  /  n ) )  -> 
(ψ `  ( x  /  n ) )  <_ 
(ψ `  ( y  /  n ) ) )
135115, 72, 133, 134syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  <_  (ψ `  (
y  /  n ) ) )
136116, 73, 69, 135leadd2dd 10228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  <_ 
( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )
137117, 74, 67, 120, 136lemul2ad 10547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_ 
( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
13865, 118, 75, 137fsumle 13846 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
13989, 119, 76, 131, 138letrd 9792 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
14089, 76, 113, 79, 100, 139, 107lediv12ad 11397 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  / 
1 ) )
14176recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
y  /  n ) ) ) )  e.  CC )
142141div1d 10375 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  /  1 )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
143140, 142breqtrd 4445 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) ) )
14478, 82logled 23562 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  <_  y  <->  ( log `  x
)  <_  ( log `  y ) ) )
14581, 144mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  <_  ( log `  y ) )
146103, 83, 77, 106, 145lemul2ad 10547 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  x.  ( log `  x
) )  <_  (
2  x.  ( log `  y ) ) )
14762, 63, 76, 84, 143, 146le2addd 10232 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  +  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )
14861, 64, 85, 112, 147letrd 9792 . . 3  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  n )  x.  (
( log `  n
)  +  (ψ `  ( y  /  n
) ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  y
) ) ) )
1496, 7, 32, 37, 58, 148o1bddrp 13593 . 2  |-  ( T. 
->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  ( ( log `  n
)  +  (ψ `  ( x  /  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c
)
150149trud 1446 1  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  ( ( log `  n )  +  (ψ `  (
x  /  n ) ) ) )  /  x )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  <_  c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370   T. wtru 1438    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776    C_ wss 3436   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   [,)cico 11637   ...cfz 11784   |_cfl 12025   abscabs 13285   O(1)co1 13537   sum_csu 13739   logclog 23490  Λcvma 24004  ψcchp 24005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-o1 13541  df-lo1 13542  df-sum 13740  df-ef 14108  df-e 14109  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-dvds 14293  df-gcd 14456  df-prm 14610  df-pc 14774  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-cmp 20388  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808  df-log 23492  df-cxp 23493  df-em 23904  df-vma 24010  df-chp 24011  df-mu 24013
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