MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberg4r Structured version   Unicode version

Theorem selberg4r 22704
Description: Selberg's symmetry formula, using the residual of the second Chebyshev function. Equation 10.6.11 of [Shapiro], p. 430. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
selberg4r  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( R `  ( (
x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1)
Distinct variable groups:    m, a, n, x    R, m, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem selberg4r
StepHypRef Expression
1 elioore 11318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 10983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
5 1red 9389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
76adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
87simpld 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 9510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 11050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
11 pntrval.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
1211pntrval 22696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
1310, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x
) )
1413oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  -  x
)  x.  ( log `  x ) ) )
15 chpcl 22347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
162, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1716recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
182recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
1910relogcld 21957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2019recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2117, 18, 20subdird 9789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  -  x )  x.  ( log `  x
) )  =  ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x ) ) ) )
2214, 21eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
2310ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
24 elfznn 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2524adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2625nnrpd 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2726adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2823, 27rpdivcld 11032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
29 elfznn 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
3029adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3130nnrpd 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
3228, 31rpdivcld 11032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  /  m )  e.  RR+ )
3311pntrval 22696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  /  n
)  /  m )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) )  =  ( (ψ `  (
( x  /  n
)  /  m ) )  -  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( R `  ( ( x  /  n )  /  m
) )  =  ( (ψ `  ( (
x  /  n )  /  m ) )  -  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )
3534oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( R `  ( (
x  /  n )  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  m )  x.  (
(ψ `  ( (
x  /  n )  /  m ) )  -  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) )
36 vmacl 22341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
3730, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
3837recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  CC )
392adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
4039, 25nndivred 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
4140adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
4241, 30nndivred 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  /  m )  e.  RR )
43 chpcl 22347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  /  n
)  /  m )  e.  RR  ->  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) )  e.  RR )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (ψ `  (
( x  /  n
)  /  m ) )  e.  RR )
4544recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (ψ `  (
( x  /  n
)  /  m ) )  e.  CC )
4642recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  /  m )  e.  CC )
4738, 45, 46subdid 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (
(ψ `  ( (
x  /  n )  /  m ) )  -  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  =  ( ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )
4835, 47eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( R `  ( (
x  /  n )  /  m ) ) )  =  ( ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( (
x  /  n )  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) )
4948sumeq2dv 13164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )
50 fzfid 11779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
5137, 44remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  e.  RR )
5251recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  e.  CC )
5338, 46mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) )  e.  CC )
5450, 52, 53fsumsub 13238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )
5549, 54eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )
5655oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( R `  ( (
x  /  n )  /  m ) ) ) )  =  ( (Λ `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) )
57 vmacl 22341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
5825, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
5958recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
6050, 51fsumrecl 13195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  e.  RR )
6160recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  e.  CC )
6250, 53fsumcl 13194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) )  e.  CC )
6359, 61, 62subdid 9788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( (
x  /  n )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) )
6456, 63eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( R `  ( (
x  /  n )  /  m ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) )
6564sumeq2dv 13164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) )
66 fzfid 11779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6758, 60remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  e.  RR )
6867recnd 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  e.  CC )
6959, 62mulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) )  e.  CC )
7066, 68, 69fsumsub 13238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) )
7165, 70eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) )
7271oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )
73 2re 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  RR )
752, 8rplogcld 21963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
7674, 75rerpdivcld 11042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
7776recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
7866, 67fsumrecl 13195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  e.  RR )
7978recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  e.  CC )
8066, 69fsumcl 13194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  e.  CC )
8177, 79, 80subdid 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )
8272, 81eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )
8322, 82oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( R `  ( (
x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) ) )
8416, 19remulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
8584recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
8618, 20mulcld 9394 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
8776, 78remulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) )  e.  RR )
8887recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) )  e.  CC )
8977, 80mulcld 9394 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) )  e.  CC )
9085, 86, 88, 89sub4d 9756 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  -  (
( x  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) ) ) ) )
9183, 90eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( R `  ( (
x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  -  (
( x  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) ) ) ) )
9291oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  -  (
( x  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) ) ) )  /  x ) )
9384, 87resubcld 9764 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  e.  RR )
9493recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  e.  CC )
952, 19remulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
9637, 42remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) )  e.  RR )
9750, 96fsumrecl 13195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) )  e.  RR )
9858, 97remulcld 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) )  e.  RR )
9966, 98fsumrecl 13195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  e.  RR )
10076, 99remulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) )  e.  RR )
10195, 100resubcld 9764 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( x  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) ) )  e.  RR )
102101recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( x  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) ) )  e.  CC )
10310rpne0d 11020 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
10494, 102, 18, 103divsubdird 10134 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  -  (
( x  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  -  ( ( ( x  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) ) )  /  x ) ) )
10595recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
10699recnd 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  e.  CC )
10777, 106mulcld 9394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) )  e.  CC )
108105, 107, 18, 103divsubdird 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( x  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( x  x.  ( log `  x
) )  /  x
)  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) )  /  x
) ) )
10920, 18, 103divcan3d 10100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( x  x.  ( log `  x ) )  /  x )  =  ( log `  x
) )
11077, 106, 18, 103divassd 10130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) )  /  x )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  /  x ) ) )
11198recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) )  e.  CC )
11266, 18, 111, 103fsumdivc 13236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  /  x ) )
11341recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
11430nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
11530nnne0d 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
116113, 38, 114, 115div12d 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  x.  ( (Λ `  m
)  /  m ) )  =  ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) )
11718adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
118117adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
11925nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
120119adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
12137, 30nndivred 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  /  m
)  e.  RR )
122121recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  /  m
)  e.  CC )
12325nnne0d 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
124123adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  =/=  0 )
125118, 120, 122, 124div32d 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  x.  ( (Λ `  m
)  /  m ) )  =  ( x  x.  ( ( (Λ `  m )  /  m
)  /  n ) ) )
126116, 125eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) )  =  ( x  x.  ( ( (Λ `  m )  /  m
)  /  n ) ) )
127126oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
(Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) )  /  x
)  =  ( ( x  x.  ( ( (Λ `  m )  /  m )  /  n
) )  /  x
) )
12825adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
129121, 128nndivred 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
(Λ `  m )  /  m )  /  n
)  e.  RR )
130129recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
(Λ `  m )  /  m )  /  n
)  e.  CC )
131103adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  =/=  0 )
132131adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  x  =/=  0 )
133130, 118, 132divcan3d 10100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
x  x.  ( ( (Λ `  m )  /  m )  /  n
) )  /  x
)  =  ( ( (Λ `  m )  /  m )  /  n
) )
134127, 133eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
(Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) )  /  x
)  =  ( ( (Λ `  m )  /  m )  /  n
) )
135134sumeq2dv 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) )  /  x )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( (Λ `  m
)  /  m )  /  n ) )
13696recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) )  e.  CC )
13750, 117, 136, 131fsumdivc 13236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) )  /  x )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) )  /  x ) )
13850, 119, 122, 123fsumdivc 13236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  /  n )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  m
)  /  m )  /  n ) )
139135, 137, 1383eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) )  /  x )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  /  n ) )
140139oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) )  /  x
) )  =  ( (Λ `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  /  n ) ) )
14197recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) )  e.  CC )
14259, 141, 117, 131divassd 10130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  /  x )  =  ( (Λ `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) )  /  x ) ) )
14350, 121fsumrecl 13195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  e.  RR )
144143recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  e.  CC )
14559, 119, 144, 123div32d 10118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  =  ( (Λ `  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  /  n ) ) )
146140, 142, 1453eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( ( x  /  n )  /  m
) ) )  /  x )  =  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )
147146sumeq2dv 13164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )
148112, 147eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  /  x )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )
149148oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) )  /  x ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) ) )
150110, 149eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) )  /  x )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) ) )
151109, 150oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( x  x.  ( log `  x
) )  /  x
)  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) )  /  x
) )  =  ( ( log `  x
)  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) ) ) )
152108, 151eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( x  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( log `  x
)  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) ) ) )
153152oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  -  ( ( ( x  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  -  ( ( log `  x )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) ) ) ) ) )
15494, 18, 103divcld 10095 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  e.  CC )
15558, 25nndivred 10358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
156155, 143remulcld 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  e.  RR )
15766, 156fsumrecl 13195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  e.  RR )
15876, 157remulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )  e.  RR )
159158recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )  e.  CC )
160154, 20, 159subsub2d 9736 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  -  ( ( log `  x )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
161153, 160eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  -  ( ( ( x  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
162104, 161eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  -  (
( x  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (
( x  /  n
)  /  m ) ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
16392, 162eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
164163mpteq2dva 4366 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )  /  x ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )  -  ( log `  x ) ) ) ) )
16593, 10rerpdivcld 11042 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  e.  RR )
166158, 19resubcld 9764 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) ) )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
167 selberg4 22695 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
) )  e.  O(1)
168167a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
) )  e.  O(1) )
169 2cnd 10382 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  CC )
170157, 75rerpdivcld 11042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
171170recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
17219rehalfcld 10559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
173172recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
174169, 171, 173subdid 9788 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) ) )
175157recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
17675rpne0d 11020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
177169, 20, 175, 176div32d 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )  =  ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
178177eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) ) )
179 2ne0 10402 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
180179a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  =/=  0 )
18120, 169, 180divcan2d 10097 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( ( log `  x )  /  2 ) )  =  ( log `  x
) )
182178, 181oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  =  ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) ) )  -  ( log `  x ) ) )
183174, 182eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  =  ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) ) )  -  ( log `  x ) ) )
184183mpteq2dva 4366 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 2  x.  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
185170, 172resubcld 9764 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  e.  RR )
186 ioossre 11345 . . . . . . 7  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
187 2cnd 10382 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
188 o1const 13081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 (,) +oo )  C_  RR  /\  2  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  2 )  e.  O(1) )
189186, 187, 188sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  2 )  e.  O(1) )
190 2vmadivsum 22675 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O(1)
191190a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O(1) )
19274, 185, 189, 191o1mul2 13086 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 2  x.  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) ) )  e.  O(1) )
193184, 192eqeltrrd 2508 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) ) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
194165, 166, 168, 193o1add2 13085 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  (ψ `  ( ( x  /  n )  /  m
) ) ) ) ) )  /  x
)  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
195164, 194eqeltrd 2507 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( R `
 ( ( x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
196195trud 1371 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( R `  ( (
x  /  n )  /  m ) ) ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755    =/= wne 2596    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   +oocpnf 9403    < clt 9406    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   RR+crp 10979   (,)cioo 11288   ...cfz 11424   |_cfl 11624   O(1)co1 12948   sum_csu 13147   logclog 21891  Λcvma 22314  ψcchp 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash