Theorem selberg4lem1 23870

Description: Lemma for selberg4 23871. Equation 10.4.20 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
selberg4lem1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
selberg4lem1.2	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
selberg4lem1	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   i, m, n, x, y, A   ph, m, n, x

Allowed substitution hints:   ph( y, i)

Proof of Theorem selberg4lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 10629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
2		fzfid 12085	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
3		elfznn 11739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
4	3	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
5		vmacl 23517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
7	6, 4	nndivred 10605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
8		elioore 11584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
9	8	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
10		1rp 11249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR+
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
12		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
13		eliooord 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
14	13	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
15	14	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
16	12, 9, 15	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
17	9, 11, 16	rpgecld 11316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
19	4	nnrpd 11280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
20	18, 19	rpdivcld 11298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
21	20	relogcld 23133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
22	7, 21	remulcld 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
23	2, 22	fsumrecl 13567	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
24	9, 15	rplogcld 23139	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
25	23, 24	rerpdivcld 11308	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
26	25	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
27	17	relogcld 23133	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
28	27	rehalfcld 10806	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. RR )
29	28	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
30	1, 26, 29	subdid 10033	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( 2 x. ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) )
31	27	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
32		2ne0 10649	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 =/= 0 )
34	31, 1, 33	divcan2d 10343	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( ( log ` x ) / 2 ) ) = ( log ` x ) )
35	34	oveq2d 6312	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( 2 x. ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) )
36	30, 35	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) )
37	36	mpteq2dva 4543	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 2 x. ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) )
38		2re 10626	. . . . 5 |- 2 e. RR
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
40	25, 28	resubcld 10008	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. RR )
41		ioossre 11611	. . . . . 6 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
42		2cn 10627	. . . . . 6 |- 2 e. CC
43		o1const 13453	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 2 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 2 ) e. O(1) )
44	41, 42, 43	mp2an 672	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 2 ) e. O(1)
45	44	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 2 ) e. O(1) )
46		vmalogdivsum2 23848	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1)
47	46	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
48	39, 40, 45, 47	o1mul2 13458	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 2 x. ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) e. O(1) )
49	37, 48	eqeltrrd 2546	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
50		fzfid 12085	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
51		elfznn 11739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
52	51	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. NN )
53		vmacl 23517	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> (Λ ` m ) e. RR )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
55	52	nnrpd 11280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. RR+ )
56	55	relogcld 23133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
57	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
58	57, 4	nndivred 10605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
59	58	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
60	59, 52	nndivred 10605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( x / n ) / m ) e. RR )
61		chpcl 23523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x / n ) / m ) e. RR -> (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) e. RR )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) e. RR )
63	56, 62	readdcld 9640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) e. RR )
64	54, 63	remulcld 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) e. RR )
65	50, 64	fsumrecl 13567	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) e. RR )
66	6, 65	remulcld 9641	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) e. RR )
67	2, 66	fsumrecl 13567	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) e. RR )
68	17, 24	rpmulcld 11297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
69	67, 68	rerpdivcld 11308	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
70	69, 27	resubcld 10008	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) e. RR )
71	70	recnd 9639	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) e. CC )
72	23	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
73	24	rpne0d 11286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
74	72, 31, 73	divcld 10341	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
75	1, 74	mulcld 9633	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. CC )
76	75, 31	subcld 9950	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) e. CC )
77	69	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
78	77, 75, 31	nnncan2d 9985	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) )
79	67	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) e. CC )
80	9	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
81	17	rpne0d 11286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
82	79, 80, 31, 81, 73	divdiv1d 10372	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
83	1, 72, 31, 73	divassd 10376	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
84	82, 83	oveq12d 6314	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) )
85	67, 17	rerpdivcld 11308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) e. RR )
86	85	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) e. CC )
87	1, 72	mulcld 9633	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
88	86, 87, 31, 73	divsubdird 10380	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
89	81	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x =/= 0 )
90	66, 57, 89	redivcld 10393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) e. RR )
91	90	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) e. CC )
92	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. RR )
93	92, 22	remulcld 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
94	93	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
95	2, 91, 94	fsumsub 13614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
96	6	recnd 9639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
97	65, 57, 89	redivcld 10393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) e. RR )
98	97	recnd 9639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) e. CC )
99		2cnd 10629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
100	21	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. CC )
101	4	nncnd 10572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
102	4	nnne0d 10601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
103	100, 101, 102	divcld 10341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) e. CC )
104	99, 103	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) e. CC )
105	96, 98, 104	subdid 10033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) )
106	65	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) e. CC )
107	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
108	96, 106, 107, 89	divassd 10376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) = ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) ) )
109	96, 101, 100, 102	div32d 10364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) )
110	109	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( 2 x. ( (Λ ` n ) x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) )
111	99, 96, 103	mul12d 9806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( (Λ ` n ) x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) )
112	110, 111	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) )
113	108, 112	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) )
114	105, 113	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) = ( ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
115	114	sumeq2dv 13536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
116	66	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) e. CC )
117	2, 80, 116, 81	fsumdivc 13612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) )
118	22	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
119	2, 1, 118	fsummulc2 13610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
120	117, 119	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
121	95, 115, 120	3eqtr4rd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) )
122	121	oveq1d 6311	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
123	88, 122	eqtr3d 2500	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
124	78, 84, 123	3eqtr2d 2504	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
125	124	mpteq2dva 4543	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
126		1red 9628	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
127		selberg4lem1.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR+ )
128	127	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
129	128	rpred 11281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
130	2, 7	fsumrecl 13567	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
131	130, 24	rerpdivcld 11308	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. RR )
132	127	rpcnd 11283	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
133		o1const 13453	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ A e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
134	41, 132, 133	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
135		1cnd 9629	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
136		o1const 13453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
137	41, 135, 136	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
138	131	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. CC )
139		1cnd 9629	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
140	130	recnd 9639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
141	140, 31, 31, 73	divsubdird 10380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) )
142	140, 31	subcld 9950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. CC )
143	142, 31, 73	divrecd 10344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
144	31, 73	dividd 10339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) = 1 )
145	144	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
146	141, 143, 145	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
147	146	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) )
148	130, 27	resubcld 10008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. RR )
149	12, 24	rerpdivcld 11308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / ( log ` x ) ) e. RR )
150	17	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
151	150	ssrdv 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR+ )
152		vmadivsum 23792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1)
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
154	151, 153	o1res2 13397	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
155		divlogrlim 23141	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0
156		rlimo1 13450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0 -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
157	155, 156	mp1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
158	148, 149, 154, 157	o1mul2 13458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
159	147, 158	eqeltrrd 2546	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) e. O(1) )
160	138, 139, 159	o1dif 13463	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) ) )
161	137, 160	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
162	129, 131, 134, 161	o1mul2 13458	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
163	129, 131	remulcld 9641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. RR )
164	21, 4	nndivred 10605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) e. RR )
165	92, 164	remulcld 9641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) e. RR )
166	97, 165	resubcld 10008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) e. RR )
167	6, 166	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. RR )
168	2, 167	fsumrecl 13567	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. RR )
169	168, 24	rerpdivcld 11308	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
170	169	recnd 9639	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
171	168	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. CC )
172	171	abscld 13278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) e. RR )
173	129, 130	remulcld 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) e. RR )
174	98, 104	subcld 9950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) e. CC )
175	96, 174	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. CC )
176	175	abscld 13278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) e. RR )
177	2, 176	fsumrecl 13567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) e. RR )
178	167	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. CC )
179	2, 178	fsumabs 13626	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) )
180	129	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
181	180, 7	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. RR )
182	174	abscld 13278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. RR )
183	180, 4	nndivred 10605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A / n ) e. RR )
184		vmage0 23520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
185	4, 184	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
186	106, 107, 101, 89, 102	divdiv2d 10373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) x. n ) / x ) )
187	106, 101, 107, 89	div23d 10378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) x. n ) / x ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) x. n ) )
188	186, 187	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) x. n ) )
189	99, 103, 101	mulassd 9636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) x. n ) = ( 2 x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) x. n ) ) )
190	100, 101, 102	divcan1d 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) x. n ) = ( log ` ( x / n ) ) )
191	190	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) x. n ) ) = ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) )
192	189, 191	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) x. n ) )
193	188, 192	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) x. n ) - ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) x. n ) ) )
194	98, 104, 101	subdird 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) x. n ) = ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) x. n ) - ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) x. n ) ) )
195	193, 194	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) x. n ) )
196	195	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( abs ` ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) x. n ) ) )
197	174, 101	absmuld 13296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) x. n ) ) = ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) )
198	4	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
199	19	rpge0d 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ n )
200	198, 199	absidd 13265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` n ) = n )
201	200	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) x. n ) )
202	196, 197, 201	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) x. n ) )
203	101	mulid2d 9631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
204		fznnfl 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
205	9, 204	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
206	205	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
207	203, 206	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
208		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
209	208, 57, 19	lemuldivd 11326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
210	207, 209	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
211		1re 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
212		elicopnf 11645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. RR -> ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) ) )
213	211, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) )
214	58, 210, 213	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) )
215		selberg4lem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
216	215	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
217		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = m -> (Λ ` i ) = (Λ ` m ) )
218		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = m -> ( log ` i ) = ( log ` m ) )
219		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = m -> ( y / i ) = ( y / m ) )
220	219	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = m -> (ψ ` ( y / i ) ) = (ψ ` ( y / m ) ) )
221	218, 220	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = m -> ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) = ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) )
222	217, 221	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = m -> ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) ) )
223	222	cbvsumv 13529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) )
224		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = ( x / n ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( x / n ) ) )
225	224	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = ( x / n ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) )
226		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = ( x / n ) -> ( y / m ) = ( ( x / n ) / m ) )
227	226	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = ( x / n ) -> (ψ ` ( y / m ) ) = (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) )
228	227	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) = ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) )
229	228	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = ( x / n ) -> ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) )
230	229	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y = ( x / n ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) )
231	225, 230	sumeq12dv 13539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( x / n ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) )
232	223, 231	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / n ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) )
233		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / n ) -> y = ( x / n ) )
234	232, 233	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x / n ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) )
235		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / n ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( x / n ) ) )
236	235	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x / n ) -> ( 2 x. ( log ` y ) ) = ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) )
237	234, 236	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
238	237	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x / n ) -> ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
239	238	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ A ) )
240	239	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ A ) )
241	214, 216, 240	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ A )
242	202, 241	eqbrtrrd 4478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) )