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Theorem selberg4lem1 23470

Description: Lemma for selberg4 23471. Equation 10.4.20 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
selberg4lem1.1
selberg4lem1.2	Λ ψ

**Assertion**
Ref	Expression
selberg4lem1	Λ Λ ψ

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

**Proof of Theorem selberg4lem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 10604	. . . . . 6 $/\$
2		fzfid 12046	. . . . . . . . 9 $/\$
3		elfznn 11710	. . . . . . . . . . . . 13
4	3	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
5		vmacl 23117	. . . . . . . . . . . 12 Λ
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ
7	6, 4	nndivred 10580	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Λ
8		elioore 11555	. . . . . . . . . . . . . . 15
9	8	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		1rp 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
12		1red 9607	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
13		eliooord 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
14	13	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
15	14	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
16	12, 9, 15	ltled 9728	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
17	9, 11, 16	rpgecld 11287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
19	4	nnrpd 11251	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
20	18, 19	rpdivcld 11269	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
21	20	relogcld 22733	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
22	7, 21	remulcld 9620	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Λ
23	2, 22	fsumrecl 13512	. . . . . . . 8 $/\$ Λ
24	9, 15	rplogcld 22739	. . . . . . . 8 $/\$
25	23, 24	rerpdivcld 11279	. . . . . . 7 $/\$ Λ
26	25	recnd 9618	. . . . . 6 $/\$ Λ
27	17	relogcld 22733	. . . . . . . 8 $/\$
28	27	rehalfcld 10781	. . . . . . 7 $/\$
29	28	recnd 9618	. . . . . 6 $/\$
30	1, 26, 29	subdid 10008	. . . . 5 $/\$ Λ Λ
31	27	recnd 9618	. . . . . . 7 $/\$
32		2ne0 10624	. . . . . . . 8
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
34	31, 1, 33	divcan2d 10318	. . . . . 6 $/\$
35	34	oveq2d 6298	. . . . 5 $/\$ Λ Λ
36	30, 35	eqtrd 2508	. . . 4 $/\$ Λ Λ
37	36	mpteq2dva 4533	. . 3 Λ Λ
38		2re 10601	. . . . 5
39	38	a1i 11	. . . 4 $/\$
40	25, 28	resubcld 9983	. . . 4 $/\$ Λ
41		ioossre 11582	. . . . . 6
42		2cn 10602	. . . . . 6
43		o1const 13398	. . . . . 6 $/\$
44	41, 42, 43	mp2an 672	. . . . 5
45	44	a1i 11	. . . 4
46		vmalogdivsum2 23448	. . . . 5 Λ
47	46	a1i 11	. . . 4 Λ
48	39, 40, 45, 47	o1mul2 13403	. . 3 Λ
49	37, 48	eqeltrrd 2556	. 2 Λ
50		fzfid 12046	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51		elfznn 11710	. . . . . . . . . . . 12
52	51	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
53		vmacl 23117	. . . . . . . . . . 11 Λ
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
55	52	nnrpd 11251	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	relogcld 22733	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
57	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
58	57, 4	nndivred 10580	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
59	58	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
60	59, 52	nndivred 10580	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
61		chpcl 23123	. . . . . . . . . . . 12 ψ
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ ψ
63	56, 62	readdcld 9619	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ ψ
64	54, 63	remulcld 9620	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ Λ ψ
65	50, 64	fsumrecl 13512	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Λ ψ
66	6, 65	remulcld 9620	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
67	2, 66	fsumrecl 13512	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ ψ
68	17, 24	rpmulcld 11268	. . . . . 6 $/\$
69	67, 68	rerpdivcld 11279	. . . . 5 $/\$ Λ Λ ψ
70	69, 27	resubcld 9983	. . . 4 $/\$ Λ Λ ψ
71	70	recnd 9618	. . 3 $/\$ Λ Λ ψ
72	23	recnd 9618	. . . . . 6 $/\$ Λ
73	24	rpne0d 11257	. . . . . 6 $/\$
74	72, 31, 73	divcld 10316	. . . . 5 $/\$ Λ
75	1, 74	mulcld 9612	. . . 4 $/\$ Λ
76	75, 31	subcld 9926	. . 3 $/\$ Λ
77	69	recnd 9618	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ
78	77, 75, 31	nnncan2d 9961	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ Λ
79	67	recnd 9618	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ ψ
80	9	recnd 9618	. . . . . . . 8 $/\$
81	17	rpne0d 11257	. . . . . . . 8 $/\$
82	79, 80, 31, 81, 73	divdiv1d 10347	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
83	1, 72, 31, 73	divassd 10351	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ
84	82, 83	oveq12d 6300	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ Λ
85	67, 17	rerpdivcld 11279	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ
86	85	recnd 9618	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ ψ
87	1, 72	mulcld 9612	. . . . . . . 8 $/\$ Λ
88	86, 87, 31, 73	divsubdird 10355	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ Λ
89	81	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
90	66, 57, 89	redivcld 10368	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
91	90	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
92	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
93	92, 22	remulcld 9620	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ
94	93	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Λ
95	2, 91, 94	fsumsub 13559	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ Λ
96	6	recnd 9618	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ
97	65, 57, 89	redivcld 10368	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ ψ
98	97	recnd 9618	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ ψ
99		2cnd 10604	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
100	21	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
101	4	nncnd 10548	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
102	4	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	100, 101, 102	divcld 10316	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
104	99, 103	mulcld 9612	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
105	96, 98, 104	subdid 10008	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
106	65	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ ψ
107	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
108	96, 106, 107, 89	divassd 10351	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
109	96, 101, 100, 102	div32d 10339	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ Λ
110	109	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ Λ
111	99, 96, 103	mul12d 9784	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ Λ
112	110, 111	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ Λ
113	108, 112	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ Λ
114	105, 113	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
115	114	sumeq2dv 13481	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
116	66	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
117	2, 80, 116, 81	fsumdivc 13557	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
118	22	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ
119	2, 1, 118	fsummulc2 13555	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ
120	117, 119	oveq12d 6300	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ Λ
121	95, 115, 120	3eqtr4rd 2519	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ
122	121	oveq1d 6297	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ
123	88, 122	eqtr3d 2510	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ
124	78, 84, 123	3eqtr2d 2514	. . . . 5 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ
125	124	mpteq2dva 4533	. . . 4 Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ
126		1red 9607	. . . . 5
127		selberg4lem1.1	. . . . . . . 8
128	127	adantr 465	. . . . . . 7 $/\$
129	128	rpred 11252	. . . . . 6 $/\$
130	2, 7	fsumrecl 13512	. . . . . . 7 $/\$ Λ
131	130, 24	rerpdivcld 11279	. . . . . 6 $/\$ Λ
132	127	rpcnd 11254	. . . . . . 7
133		o1const 13398	. . . . . . 7 $/\$
134	41, 132, 133	sylancr 663	. . . . . 6
135		1cnd 9608	. . . . . . . 8
136		o1const 13398	. . . . . . . 8 $/\$
137	41, 135, 136	sylancr 663	. . . . . . 7
138	131	recnd 9618	. . . . . . . 8 $/\$ Λ
139		1cnd 9608	. . . . . . . 8 $/\$
140	130	recnd 9618	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ
141	140, 31, 31, 73	divsubdird 10355	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ
142	140, 31	subcld 9926	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ
143	142, 31, 73	divrecd 10319	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ
144	31, 73	dividd 10314	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
145	144	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ
146	141, 143, 145	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ
147	146	mpteq2dva 4533	. . . . . . . . 9 Λ Λ
148	130, 27	resubcld 9983	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ
149	12, 24	rerpdivcld 11279	. . . . . . . . . 10 $/\$
150	17	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
151	150	ssrdv 3510	. . . . . . . . . . 11
152		vmadivsum 23392	. . . . . . . . . . . 12 Λ
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 Λ
154	151, 153	o1res2 13342	. . . . . . . . . 10 Λ
155		divlogrlim 22741	. . . . . . . . . . 11
156		rlimo1 13395	. . . . . . . . . . 11
157	155, 156	mp1i 12	. . . . . . . . . 10
158	148, 149, 154, 157	o1mul2 13403	. . . . . . . . 9 Λ
159	147, 158	eqeltrrd 2556	. . . . . . . 8 Λ
160	138, 139, 159	o1dif 13408	. . . . . . 7 Λ
161	137, 160	mpbird 232	. . . . . 6 Λ
162	129, 131, 134, 161	o1mul2 13403	. . . . 5 Λ
163	129, 131	remulcld 9620	. . . . 5 $/\$ Λ
164	21, 4	nndivred 10580	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
165	92, 164	remulcld 9620	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
166	97, 165	resubcld 9983	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Λ ψ
167	6, 166	remulcld 9620	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
168	2, 167	fsumrecl 13512	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ
169	168, 24	rerpdivcld 11279	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ ψ
170	169	recnd 9618	. . . . 5 $/\$ Λ Λ ψ
171	168	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ ψ
172	171	abscld 13223	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ
173	129, 130	remulcld 9620	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ
174	98, 104	subcld 9926	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ ψ
175	96, 174	mulcld 9612	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
176	175	abscld 13223	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
177	2, 176	fsumrecl 13512	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ ψ
178	167	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
179	2, 178	fsumabs 13571	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
180	129	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
181	180, 7	remulcld 9620	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ
182	174	abscld 13223	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ ψ
183	180, 4	nndivred 10580	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
184		vmage0 23120	. . . . . . . . . . . . . . 15 Λ
185	4, 184	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ
186	106, 107, 101, 89, 102	divdiv2d 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
187	106, 101, 107, 89	div23d 10353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
188	186, 187	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
189	99, 103, 101	mulassd 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
190	100, 101, 102	divcan1d 10317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
191	190	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
192	189, 191	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
193	188, 192	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
194	98, 104, 101	subdird 10009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
195	193, 194	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
196	195	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
197	174, 101	absmuld 13241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
198	4	nnred 10547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
199	19	rpge0d 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
200	198, 199	absidd 13210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
201	200	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
202	196, 197, 201	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
203	101	mulid2d 9610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
204		fznnfl 11952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
205	9, 204	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
206	205	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
207	203, 206	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
208		1red 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
209	208, 57, 19	lemuldivd 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
210	207, 209	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
211		1re 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
212		elicopnf 11616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
213	211, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
214	58, 210, 213	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
215		selberg4lem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Λ ψ
216	215	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ ψ
217		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Λ Λ
218		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
219		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
220	219	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ψ ψ
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222	217, 221	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Λ ψ Λ ψ
223	222	cbvsumv 13474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Λ ψ Λ ψ
224		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
225	224	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
226		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
227	226	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ψ ψ
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229	228	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Λ ψ Λ ψ
230	229	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ Λ ψ Λ ψ
231	225, 230	sumeq12dv 13484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Λ ψ Λ ψ
232	223, 231	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Λ ψ Λ ψ
233		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
234	232, 233	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Λ ψ Λ ψ
235		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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239	238	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Λ ψ Λ ψ
240	239	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Λ ψ Λ ψ
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242	202, 241	eqbrtrrd 4469	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$