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Theorem selberg3r 22703
Description: Selberg's symmetry formula, using the residual of the second Chebyshev function. Equation 10.6.8 of [Shapiro], p. 429. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
selberg3r  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )  e.  O(1)
Distinct variable groups:    n, a, x    R, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem selberg3r
StepHypRef Expression
1 elioore 11318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 10983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
5 1red 9389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
76adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
87simpld 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 9510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 11050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1110relogcld 21957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1211recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
13122timesd 10555 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( log `  x
)  +  ( log `  x ) ) )
1413oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( log `  x
)  +  ( log `  x ) ) ) )
15 chpcl 22347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
162, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1716, 11remulcld 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
18 2re 10379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  RR )
202, 8rplogcld 21963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2119, 20rerpdivcld 11042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
22 fzfid 11779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
23 elfznn 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2423adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
25 vmacl 22341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
272adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
2827, 24nndivred 10358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
29 chpcl 22347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (ψ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
3126, 30remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
3224nnrpd 11014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3332relogcld 21957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3431, 33remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3522, 34fsumrecl 13195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3621, 35remulcld 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
3717, 36readdcld 9401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
3837, 10rerpdivcld 11042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
3938recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  CC )
4039, 12, 12subsub4d 9738 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( log `  x
)  +  ( log `  x ) ) ) )
4114, 40eqtr4d 2468 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) ) )
4241oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
4339, 12subcld 9707 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
44 2cn 10380 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  CC )
4620rpne0d 11020 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
4745, 12, 46divcld 10095 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
4826, 24nndivred 10358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
4948, 33remulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
5022, 49fsumrecl 13195 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5150recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
5247, 51mulcld 9394 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
5343, 52, 12nnncan2d 9742 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
54 pntrval.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
5554pntrf 22697 . . . . . . . . . . . 12  |-  R : RR+
--> RR
5655ffvelrni 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
5710, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
5857recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
5958, 12mulcld 9394 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
6036recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
6159, 60addcld 9393 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
622recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
6362, 52mulcld 9394 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
6410rpne0d 11020 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
6561, 63, 62, 64divsubdird 10134 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) ) )
6659, 60, 63addsubassd 9727 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  =  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) ) )
6735recnd 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6862, 51mulcld 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
6947, 67, 68subdid 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
7049recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
7122, 62, 70fsummulc2 13234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
7271oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
7334recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
7462adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
7574, 70mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
7622, 73, 75fsumsub 13238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
7772, 76eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
7826recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
7930recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
x  /  n ) )  e.  CC )
8033recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
8178, 79, 80mul32d 9567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )
8224nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
8324nnne0d 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
8478, 80, 82, 83div23d 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )
8584oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  /  n ) )  =  ( x  x.  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
8678, 80mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
8774, 86, 82, 83div12d 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  /  n ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n
) ) )
8885, 87eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  x.  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n
) ) )
8981, 88oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  -  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n ) ) ) )
9010adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
9190, 32rpdivcld 11032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
9254pntrval 22696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  =  ( (ψ `  (
x  /  n ) )  -  ( x  /  n ) ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  =  ( (ψ `  ( x  /  n ) )  -  ( x  /  n
) ) )
9493oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  ( R `  ( x  /  n ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  ( (ψ `  ( x  /  n
) )  -  (
x  /  n ) ) ) )
9528recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
9686, 79, 95subdid 9788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  (
(ψ `  ( x  /  n ) )  -  ( x  /  n
) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  (ψ `  (
x  /  n ) ) )  -  (
( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  (
x  /  n ) ) ) )
9794, 96eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  ( R `  ( x  /  n ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  -  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( x  /  n
) ) ) )
9889, 97eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) ) )
9955ffvelrni 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
10091, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
101100recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
10278, 101, 80mul32d 9567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  x.  ( R `  ( x  /  n
) ) ) )
10398, 102eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
104103sumeq2dv 13164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) )
10577, 104eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
106105oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
10747, 62, 51mul12d 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( x  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
108107oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
10969, 106, 1083eqtr3rd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
110109oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
11166, 110eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  =  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
112111oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
11354pntrval 22696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
11410, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x
) )
115114oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  -  x
)  x.  ( log `  x ) ) )
11616recnd 9400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
117116, 62, 12subdird 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  -  x )  x.  ( log `  x
) )  =  ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x ) ) ) )
118115, 117eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
119118oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  (
x  x.  ( log `  x ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
12017recnd 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
12162, 12mulcld 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
x  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
122120, 60, 121addsubd 9728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
123119, 122eqtr4d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) ) )
124123oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  /  x ) )
12537recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
126125, 121, 62, 64divsubdird 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( log `  x
) )  /  x
) ) )
12712, 62, 64divcan3d 10100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( x  x.  ( log `  x ) )  /  x )  =  ( log `  x
) )
128127oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( log `  x
) )  /  x
) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) ) )
129126, 128eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  -  ( x  x.  ( log `  x
) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) ) )
130124, 129eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) ) )
13152, 62, 64divcan3d 10100 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( x  x.  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
132130, 131oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( ( x  x.  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
13365, 112, 1323eqtr3rd 2474 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )
13442, 53, 1333eqtrrd 2470 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
135134mpteq2dva 4366 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) ) )
13619, 11remulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
13738, 136resubcld 9764 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
13821, 50remulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
139138, 11resubcld 9764 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
140 selberg3 22693 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1)
141140a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
14219recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  CC )
14350, 20rerpdivcld 11042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
144143recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
14511rehalfcld 10559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
146145recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
147142, 144, 146subdid 9788 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
148142, 12, 51, 46div32d 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
149148eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) ) )  =  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) ) )
150 2ne0 10402 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
151150a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  =/=  0 )
15212, 142, 151divcan2d 10097 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( ( log `  x )  /  2 ) )  =  ( log `  x
) )
153149, 152oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )
154147, 153eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
2  x.  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )
155154mpteq2dva 4366 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 2  x.  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )
156143, 145resubcld 9764 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  RR )
157 ioossre 11345 . . . . . . . 8  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
158 o1const 13081 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 (,) +oo )  C_  RR  /\  2  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  2 )  e.  O(1) )
159157, 44, 158mp2an 665 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  2 )  e.  O(1)
160159a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  2 )  e.  O(1) )
161 vmalogdivsum 22673 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1)
162161a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1) )
16319, 156, 160, 162o1mul2 13086 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 2  x.  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O(1) )
164155, 163eqeltrrd 2508 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  n ) ) )  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
165137, 139, 141, 164o1sub2 13087 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  -  ( 2  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
166135, 165eqeltrd 2507 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
167166trud 1371 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  x
) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755    =/= wne 2596    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   +oocpnf 9403    < clt 9406    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   RR+crp 10979   (,)cioo 11288   ...cfz 11424   |_cfl 11624   O(1)co1 12948   sum_csu 13147   logclog 21891  Λcvma 22314  ψcchp 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-o1 12952  df-lo1 12953  df-sum 13148  df-ef 13336  df-e 13337  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-prm 13747  df-pc 13887  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-cxp 21894  df-em 22271  df-cht 22319  df-vma 22320  df-chp 22321  df-ppi 22322  df-mu 22323
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