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Theorem selberg3r 21216

Description: Selberg's symmetry formula, using the residual of the second Chebyshev function. Equation 10.6.8 of [Shapiro], p. 429. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pntrval.r	ψ

**Assertion**
Ref	Expression
selberg3r	Λ

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem selberg3r**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 10902	. . . . . . . . . . . . 13
2	1	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
3		1rp 10572	. . . . . . . . . . . . 13
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
5	4	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
6		eliooord 10926	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
7	6	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
8	7	simpld 446	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
9	5, 2, 8	ltled 9177	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
10	2, 4, 9	rpgecld 10639	. . . . . . . . . . 11 $/\$
11	10	relogcld 20471	. . . . . . . . . 10 $/\$
12	11	recnd 9070	. . . . . . . . 9 $/\$
13	12	2timesd 10166	. . . . . . . 8 $/\$
14	13	oveq2d 6056	. . . . . . 7 $/\$ ψ Λ ψ ψ Λ ψ
15		chpcl 20860	. . . . . . . . . . . . 13 ψ
16	2, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ
17	16, 11	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ
18		2re 10025	. . . . . . . . . . . . . 14
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
20	2, 8	rplogcld 20477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
21	19, 20	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
22		fzfid 11267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
23		elfznn 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
24	23	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
25		vmacl 20854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Λ
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ
27	2	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
28	27, 24	nndivred 10004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
29		chpcl 20860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ψ
31	26, 30	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ ψ
32	24	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
33	32	relogcld 20471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
34	31, 33	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ ψ
35	22, 34	fsumrecl 12483	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ ψ
36	21, 35	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ ψ
37	17, 36	readdcld 9071	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ Λ ψ
38	37, 10	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . 9 $/\$ ψ Λ ψ
39	38	recnd 9070	. . . . . . . 8 $/\$ ψ Λ ψ
40	39, 12, 12	subsub4d 9398	. . . . . . 7 $/\$ ψ Λ ψ ψ Λ ψ
41	14, 40	eqtr4d 2439	. . . . . 6 $/\$ ψ Λ ψ ψ Λ ψ
42	41	oveq1d 6055	. . . . 5 $/\$ ψ Λ ψ Λ ψ Λ ψ Λ
43	39, 12	subcld 9367	. . . . . 6 $/\$ ψ Λ ψ
44		2cn 10026	. . . . . . . . 9
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
46	20	rpne0d 10609	. . . . . . . 8 $/\$
47	45, 12, 46	divcld 9746	. . . . . . 7 $/\$
48	26, 24	nndivred 10004	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Λ
49	48, 33	remulcld 9072	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Λ
50	22, 49	fsumrecl 12483	. . . . . . . 8 $/\$ Λ
51	50	recnd 9070	. . . . . . 7 $/\$ Λ
52	47, 51	mulcld 9064	. . . . . 6 $/\$ Λ
53	43, 52, 12	nnncan2d 9402	. . . . 5 $/\$ ψ Λ ψ Λ ψ Λ ψ Λ
54		pntrval.r	. . . . . . . . . . . . 13 ψ
55	54	pntrf 21210	. . . . . . . . . . . 12
56	55	ffvelrni 5828	. . . . . . . . . . 11
57	10, 56	syl 16	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	recnd 9070	. . . . . . . . 9 $/\$
59	58, 12	mulcld 9064	. . . . . . . 8 $/\$
60	36	recnd 9070	. . . . . . . 8 $/\$ Λ ψ
61	59, 60	addcld 9063	. . . . . . 7 $/\$ Λ ψ
62	2	recnd 9070	. . . . . . . 8 $/\$
63	62, 52	mulcld 9064	. . . . . . 7 $/\$ Λ
64	10	rpne0d 10609	. . . . . . 7 $/\$
65	61, 63, 62, 64	divsubdird 9785	. . . . . 6 $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
66	59, 60, 63	addsubassd 9387	. . . . . . . 8 $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
67	35	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ ψ
68	62, 51	mulcld 9064	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ
69	47, 67, 68	subdid 9445	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
70	49	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ
71	22, 62, 70	fsummulc2 12522	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Λ Λ
72	71	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
73	34	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ ψ
74	62	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	74, 70	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ
76	22, 73, 75	fsumsub 12526	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
77	72, 76	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
78	26	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ
79	30	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ ψ
80	33	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
81	78, 79, 80	mul32d 9232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
82	24	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
83	24	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	78, 80, 82, 83	div23d 9783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ Λ Λ
85	84	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ Λ
86	78, 80	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ Λ
87	74, 86, 82, 83	div12d 9782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ Λ
88	85, 87	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ Λ
89	81, 88	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
90	10	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
91	90, 32	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
92	54	pntrval 21209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ψ
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ ψ
94	93	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
95	28	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
96	86, 79, 95	subdid 9445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ Λ
97	94, 96	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ
98	89, 97	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ Λ
99	55	ffvelrni 5828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
100	91, 99	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
101	100	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
102	78, 101, 80	mul32d 9232	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ Λ
103	98, 102	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ Λ
104	103	sumeq2dv 12452	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ ψ Λ Λ
105	77, 104	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ ψ Λ Λ
106	105	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ ψ Λ Λ
107	47, 62, 51	mul12d 9231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ
108	107	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ Λ
109	69, 106, 108	3eqtr3rd 2445	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ ψ Λ Λ
110	109	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 $/\$ Λ ψ Λ Λ
111	66, 110	eqtrd 2436	. . . . . . 7 $/\$ Λ ψ Λ Λ
112	111	oveq1d 6055	. . . . . 6 $/\$ Λ ψ Λ Λ
113	54	pntrval 21209	. . . . . . . . . . . . . 14 ψ
114	10, 113	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ψ
115	114	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ
116	16	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ψ
117	116, 62, 12	subdird 9446	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ ψ
118	115, 117	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ
119	118	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ ψ ψ Λ ψ
120	17	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ
121	62, 12	mulcld 9064	. . . . . . . . . . 11 $/\$
122	120, 60, 121	addsubd 9388	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ Λ ψ ψ Λ ψ
123	119, 122	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ ψ ψ Λ ψ
124	123	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 $/\$ Λ ψ ψ Λ ψ
125	37	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ Λ ψ
126	125, 121, 62, 64	divsubdird 9785	. . . . . . . . 9 $/\$ ψ Λ ψ ψ Λ ψ
127	12, 62, 64	divcan3d 9751	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 $/\$ ψ Λ ψ ψ Λ ψ
129	126, 128	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 $/\$ ψ Λ ψ ψ Λ ψ
130	124, 129	eqtrd 2436	. . . . . . 7 $/\$ Λ ψ ψ Λ ψ
131	52, 62, 64	divcan3d 9751	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ
132	130, 131	oveq12d 6058	. . . . . 6 $/\$ Λ ψ Λ ψ Λ ψ Λ
133	65, 112, 132	3eqtr3rd 2445	. . . . 5 $/\$ ψ Λ ψ Λ Λ
134	42, 53, 133	3eqtrrd 2441	. . . 4 $/\$ Λ ψ Λ ψ Λ
135	134	mpteq2dva 4255	. . 3 Λ ψ Λ ψ Λ
136	19, 11	remulcld 9072	. . . . 5 $/\$
137	38, 136	resubcld 9421	. . . 4 $/\$ ψ Λ ψ
138	21, 50	remulcld 9072	. . . . 5 $/\$ Λ
139	138, 11	resubcld 9421	. . . 4 $/\$ Λ
140		selberg3 21206	. . . . 5 ψ Λ ψ
141	140	a1i 11	. . . 4 ψ Λ ψ
142	19	recnd 9070	. . . . . . . 8 $/\$
143	50, 20	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ
144	143	recnd 9070	. . . . . . . 8 $/\$ Λ
145	11	rehalfcld 10170	. . . . . . . . 9 $/\$
146	145	recnd 9070	. . . . . . . 8 $/\$
147	142, 144, 146	subdid 9445	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ
148	142, 12, 51, 46	div32d 9769	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ
149	148	eqcomd 2409	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ
150		2ne0 10039	. . . . . . . . . 10
151	150	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
152	12, 142, 151	divcan2d 9748	. . . . . . . 8 $/\$
153	149, 152	oveq12d 6058	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ
154	147, 153	eqtrd 2436	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ
155	154	mpteq2dva 4255	. . . . 5 Λ Λ
156	143, 145	resubcld 9421	. . . . . 6 $/\$ Λ
157		ioossre 10928	. . . . . . . 8
158		o1const 12368	. . . . . . . 8 $/\$
159	157, 44, 158	mp2an 654	. . . . . . 7
160	159	a1i 11	. . . . . 6
161		vmalogdivsum 21186	. . . . . . 7 Λ
162	161	a1i 11	. . . . . 6 Λ
163	19, 156, 160, 162	o1mul2 12373	. . . . 5 Λ
164	155, 163	eqeltrrd 2479	. . . 4 Λ
165	137, 139, 141, 164	o1sub2 12374	. . 3 ψ Λ ψ Λ
166	135, 165	eqeltrd 2478	. 2 Λ
167	166	trud 1329	1 Λ

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: $/\$ wa 359

wtru 1322

wceq 1649

wcel 1721

wne 2567

wss 3280 class class class wbr 4172

cmpt 4226

cfv 5413 (class class class)co 6040

cc 8944

cr 8945

cc0 8946

c1 8947

caddc 8949

cmul 8951

cpnf 9073

clt 9076

cmin 9247

cdiv 9633

cn 9956

c2 10005

crp 10568

cioo 10872

cfz 10999

cfl 11156

co1 12235

csu 12434

clog 20405 Λcvma 20827 ψcchp 20828

This theorem is referenced by: selberg34r 21218

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1552 ax-5 1563 ax-17 1623 ax-9 1662 ax-8 1683 ax-13 1723 ax-14 1725 ax-6 1740 ax-7 1745 ax-11 1757 ax-12 1946 ax-ext 2385 ax-rep 4280 ax-sep 4290 ax-nul 4298 ax-pow 4337 ax-pr 4363 ax-un 4660 ax-inf2 7552 ax-cnex 9002 ax-resscn 9003 ax-1cn 9004 ax-icn 9005 ax-addcl 9006 ax-addrcl 9007 ax-mulcl 9008 ax-mulrcl 9009 ax-mulcom 9010 ax-addass 9011 ax-mulass 9012 ax-distr 9013 ax-i2m1 9014 ax-1ne0 9015 ax-1rid 9016 ax-rnegex 9017 ax-rrecex 9018 ax-cnre 9019 ax-pre-lttri 9020 ax-pre-lttrn 9021 ax-pre-ltadd 9022 ax-pre-mulgt0 9023 ax-pre-sup 9024 ax-addf 9025 ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions: df-bi 178 df-or 360 df-an 361 df-3or 937 df-3an 938 df-tru 1325 df-ex 1548 df-nf 1551 df-sb 1656 df-eu 2258 df-mo 2259 df-clab 2391 df-cleq 2397 df-clel 2400 df-nfc 2529 df-ne 2569 df-nel 2570 df-ral 2671 df-rex 2672 df-reu 2673 df-rmo 2674 df-rab 2675 df-v 2918 df-sbc 3122 df-csb 3212 df-dif 3283 df-un 3285 df-in 3287 df-ss 3294 df-pss 3296 df-nul 3589 df-if 3700 df-pw 3761 df-sn 3780 df-pr 3781 df-tp 3782 df-op 3783 df-uni 3976 df-int 4011 df-iun 4055 df-iin 4056 df-disj 4143 df-br 4173 df-opab 4227 df-mpt 4228 df-tr 4263 df-eprel 4454 df-id 4458 df-po 4463 df-so 4464 df-fr 4501 df-se 4502 df-we 4503 df-ord 4544 df-on 4545 df-lim 4546 df-suc 4547 df-om 4805 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-iota 5377 df-fun 5415 df-fn 5416 df-f 5417 df-f1 5418 df-fo 5419 df-f1o 5420 df-fv 5421 df-isom 5422 df-ov 6043 df-oprab 6044 df-mpt2 6045 df-of 6264 df-1st 6308 df-2nd 6309 df-riota 6508 df-recs 6592 df-rdg 6627 df-1o 6683 df-2o 6684 df-oadd 6687 df-er 6864 df-map 6979 df-pm 6980 df-ixp 7023 df-en 7069 df-dom 7070 df-sdom 7071 df-fin 7072 df-fi 7374 df-sup 7404 df-oi 7435 df-card 7782 df-cda 8004 df-pnf 9078 df-mnf 9079 df-xr 9080 df-ltxr 9081 df-le 9082 df-sub 9249 df-neg 9250 df-div 9634 df-nn 9957 df-2 10014 df-3 10015 df-4 10016 df-5 10017 df-6 10018 df-7 10019 df-8 10020 df-9 10021 df-10 10022 df-n0 10178 df-z 10239 df-dec 10339 df-uz 10445 df-q 10531 df-rp 10569 df-xneg 10666 df-xadd 10667 df-xmul 10668 df-ioo 10876 df-ioc 10877 df-ico 10878 df-icc 10879 df-fz 11000 df-fzo 11091 df-fl 11157 df-mod 11206 df-seq 11279 df-exp 11338 df-fac 11522 df-bc 11549 df-hash 11574 df-shft 11837 df-cj 11859 df-re 11860 df-im 11861 df-sqr 11995 df-abs 11996 df-limsup 12220 df-clim 12237 df-rlim 12238 df-o1 12239 df-lo1 12240 df-sum 12435 df-ef 12625 df-e 12626 df-sin 12627 df-cos 12628 df-pi 12630 df-dvds 12808 df-gcd 12962 df-prm 13035 df-pc 13166 df-struct 13426 df-ndx 13427 df-slot 13428 df-base 13429 df-sets 13430 df-ress 13431 df-plusg 13497 df-mulr 13498 df-starv 13499 df-sca 13500 df-vsca 13501 df-tset 13503 df-ple 13504 df-ds 13506 df-unif 13507 df-hom 13508 df-cco 13509 df-rest 13605 df-topn 13606 df-topgen 13622 df-pt 13623 df-prds 13626 df-xrs 13681 df-0g 13682 df-gsum 13683 df-qtop 13688 df-imas 13689 df-xps 13691 df-mre 13766 df-mrc 13767 df-acs 13769 df-mnd 14645 df-submnd 14694 df-mulg 14770 df-cntz 15071 df-cmn 15369 df-psmet 16649 df-xmet 16650 df-met 16651 df-bl 16652 df-mopn 16653 df-fbas 16654 df-fg 16655 df-cnfld 16659 df-top 16918 df-bases 16920 df-topon 16921 df-topsp 16922 df-cld 17038 df-ntr 17039 df-cls 17040 df-nei 17117 df-lp 17155 df-perf 17156 df-cn 17245 df-cnp 17246 df-haus 17333 df-cmp 17404 df-tx 17547 df-hmeo 17740 df-fil 17831 df-fm 17923 df-flim 17924 df-flf 17925 df-xms 18303 df-ms 18304 df-tms 18305 df-cncf 18861 df-limc 19706 df-dv 19707 df-log 20407 df-cxp 20408 df-em 20784 df-cht 20832 df-vma 20833 df-chp 20834 df-ppi 20835 df-mu 20836

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