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Theorem selberg3lem2 24475
Description: Lemma for selberg3 24476. Equation 10.4.21 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selberg3lem2  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem selberg3lem2
Dummy variables  m  c  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9660 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11755 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
y  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) )
43simplbi 467 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  y  e.  RR )
54ssriv 3422 . . . . 5  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR
65a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
71a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
8 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  e. 
Fin )
9 elfznn 11854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  ->  m  e.  NN )
109adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  NN )
11 vmacl 24124 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
1310nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
1413relogcld 23651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
1512, 14remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
168, 15fsumrecl 13877 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
174adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  y  e.  RR )
18 chpcl 24130 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
20 1rp 11329 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
223simprbi 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_ 
y )
2322adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  y )
2417, 21, 23rpgecld 11400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  y  e.  RR+ )
2524relogcld 23651 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
2619, 25remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
2716, 26resubcld 10068 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  e.  RR )
2827, 24rerpdivcld 11392 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y )  e.  RR )
2928recnd 9687 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y )  e.  CC )
3024ex 441 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  y  e.  RR+ )
)
3130ssrdv 3424 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+ )
32 selberg2lem 24467 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O(1)
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O(1) )
3431, 33o1res2 13704 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O(1) )
35 fzfid 12224 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
36 elfznn 11854 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
3736adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
3837, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
3937nnrpd 11362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
4039relogcld 23651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
4138, 40remulcld 9689 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
4235, 41fsumrecl 13877 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  e.  RR )
43 chpcl 24130 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
4443ad2antrl 742 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR )
45 simprl 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
4620a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  RR+ )
47 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
4845, 46, 47rpgecld 11400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
4948relogcld 23651 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
5044, 49remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
5142, 50readdcld 9688 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5227adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
5352recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  CC )
5424adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  RR+ )
5554rpcnd 11366 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  CC )
5654rpne0d 11369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  =/=  0 )
5753, 55, 56absdivd 13594 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  ( abs `  y
) ) )
5817adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  RR )
5954rpge0d 11368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  y )
6058, 59absidd 13561 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  y )  =  y )
6160oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  ( abs `  y
) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y ) )
6257, 61eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y ) )
6353abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  e.  RR )
6463, 54rerpdivcld 11392 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  e.  RR )
6542ad2ant2r 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
66 simprll 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  x  e.  RR )
6766, 43syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
68 simprr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  <  x )
6958, 66, 68ltled 9800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  <_  x )
7066, 54, 69rpgecld 11400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
7170relogcld 23651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
7267, 71remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
7365, 72readdcld 9688 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
7420a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  1  e.  RR+ )
7553absge0d 13583 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) ) ) )
7623adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  1  <_  y )
7774, 54, 63, 75, 76lediv2ad 11386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  1 ) )
7863recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  e.  CC )
7978div1d 10397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  1 )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
8077, 79breqtrd 4420 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
8116adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
8258, 18syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
8354relogcld 23651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
8482, 83remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
8581, 84readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
8681recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  CC )
8726adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
8887recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  CC )
8986, 88abs2dif2d 13597 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) ) )  +  ( abs `  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
90 vmage0 24127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  m )
)
9110, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
9210nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  RR )
9310nnge1d 10674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  1  <_  m )
9492, 93logge0d 23658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( log `  m ) )
9512, 14, 91, 94mulge0d 10211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
968, 15, 95fsumge0 13932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
9796adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
9881, 97absidd 13561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
99 chpge0 24132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
10058, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
10158, 76logge0d 23658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( log `  y ) )
10282, 83, 100, 101mulge0d 10211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )
10387, 102absidd 13561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) )  =  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )
10498, 103oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) ) )  +  ( abs `  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) ) )
10589, 104breqtrd 4420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) ) )
106 fzfid 12224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
10736adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
108107, 11syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
109107nnrpd 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
110109relogcld 23651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  m
)  e.  RR )
111108, 110remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
112107, 90syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
113107nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR )
114107nnge1d 10674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  m
)
115113, 114logge0d 23658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  m ) )
116108, 110, 112, 115mulge0d 10211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
117 flword2 12081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  y ) ) )
11858, 66, 69, 117syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  y ) ) )
119 fzss2 11864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )
120118, 119syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
121106, 111, 116, 120fsumless 13933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
122 chpwordi 24163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <_  x )  ->  (ψ `  y )  <_  (ψ `  x ) )
12358, 66, 69, 122syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  y
)  <_  (ψ `  x
) )
12454, 70logled 23655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( y  <_  x  <->  ( log `  y
)  <_  ( log `  x ) ) )
12569, 124mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  y )  <_  ( log `  x ) )
12682, 67, 83, 71, 100, 101, 123, 125lemul12ad 10571 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  <_  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
12781, 84, 65, 72, 121, 126le2addd 10253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
12863, 85, 73, 105, 127letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
12964, 63, 73, 80, 128letrd 9809 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
13062, 129eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
1316, 7, 29, 34, 51, 130o1bddrp 13683 . . 3  |-  ( T. 
->  E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )
132131trud 1461 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c
133 simpl 464 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  c  e.  RR+ )
134 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )
135133, 134selberg3lem1 24474 . . 3  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
136135rexlimiva 2868 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
137132, 136ax-mp 5 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376   T. wtru 1453    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   ...cfz 11810   |_cfl 12059   abscabs 13374   O(1)co1 13627   sum_csu 13829   logclog 23583  Λcvma 24097  ψcchp 24098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-cht 24102  df-vma 24103  df-chp 24104  df-ppi 24105
This theorem is referenced by:  selberg3  24476  selberg4  24478
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