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Theorem selberg3lem2 23869
Description: Lemma for selberg3 23870. Equation 10.4.21 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
selberg3lem2  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem selberg3lem2
Dummy variables  m  c  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9612 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 11645 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
y  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) )
43simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  y  e.  RR )
54ssriv 3503 . . . . 5  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR
65a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
71a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
8 fzfid 12086 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  e. 
Fin )
9 elfznn 11739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  ->  m  e.  NN )
109adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  NN )
11 vmacl 23518 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
1310nnrpd 11280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
1413relogcld 23134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
1512, 14remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
168, 15fsumrecl 13568 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
174adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  y  e.  RR )
18 chpcl 23524 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
20 1rp 11249 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
223simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_ 
y )
2322adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  y )
2417, 21, 23rpgecld 11316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  y  e.  RR+ )
2524relogcld 23134 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
2619, 25remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
2716, 26resubcld 10008 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  e.  RR )
2827, 24rerpdivcld 11308 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y )  e.  RR )
2928recnd 9639 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y )  e.  CC )
3024ex 434 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  y  e.  RR+ )
)
3130ssrdv 3505 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+ )
32 selberg2lem 23861 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O(1)
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  RR+  |->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O(1) )
3431, 33o1res2 13398 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  e.  O(1) )
35 fzfid 12086 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
36 elfznn 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
3736adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
3837, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
3937nnrpd 11280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
4039relogcld 23134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
4138, 40remulcld 9641 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  (
x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
4235, 41fsumrecl 13568 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  e.  RR )
43 chpcl 23524 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
4443ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR )
45 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
4620a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  RR+ )
47 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
4845, 46, 47rpgecld 11316 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
4948relogcld 23134 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
5044, 49remulcld 9641 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
5142, 50readdcld 9640 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5227adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
5352recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  CC )
5424adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  RR+ )
5554rpcnd 11283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  CC )
5654rpne0d 11286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  =/=  0 )
5753, 55, 56absdivd 13298 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  ( abs `  y
) ) )
5817adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  e.  RR )
5954rpge0d 11285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  y )
6058, 59absidd 13266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  y )  =  y )
6160oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  ( abs `  y
) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y ) )
6257, 61eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  =  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y ) )
6353abscld 13279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  e.  RR )
6463, 54rerpdivcld 11308 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  e.  RR )
6542ad2ant2r 746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
66 simprll 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  x  e.  RR )
6766, 43syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
68 simprr 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  <  x )
6958, 66, 68ltled 9750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  y  <_  x )
7066, 54, 69rpgecld 11316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
7170relogcld 23134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
7267, 71remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
7365, 72readdcld 9640 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
7420a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  1  e.  RR+ )
7553absge0d 13287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) ) ) )
7623adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  1  <_  y )
7774, 54, 63, 75, 76lediv2ad 11303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  1 ) )
7863recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  e.  CC )
7978div1d 10333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  1 )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
8077, 79breqtrd 4480 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
8116adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
8258, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
8354relogcld 23134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
8482, 83remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
8581, 84readdcld 9640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  e.  RR )
8681recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  CC )
8726adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  RR )
8887recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  e.  CC )
8986, 88abs2dif2d 13301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) ) )  +  ( abs `  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) ) )
90 vmage0 23521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  m )
)
9110, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
9210nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  m  e.  RR )
9310nnge1d 10599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  1  <_  m )
9492, 93logge0d 23141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( log `  m ) )
9512, 14, 91, 94mulge0d 10150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
968, 15, 95fsumge0 13621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
9796adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
9881, 97absidd 13266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
99 chpge0 23526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
10058, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
10158, 76logge0d 23141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( log `  y ) )
10282, 83, 100, 101mulge0d 10150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )
10387, 102absidd 13266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) )  =  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )
10498, 103oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) ) )  +  ( abs `  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) ) )
10589, 104breqtrd 4480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y
)  x.  ( log `  y ) ) ) )
106 fzfid 12086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
10736adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
108107, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
109107nnrpd 11280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
110109relogcld 23134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  m
)  e.  RR )
111108, 110remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  e.  RR )
112107, 90syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
113107nnred 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR )
114107nnge1d 10599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  m
)
115113, 114logge0d 23141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  m ) )
116108, 110, 112, 115mulge0d 10150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
117 flword2 11952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  y ) ) )
11858, 66, 69, 117syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  y ) ) )
119 fzss2 11749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y
) )  C_  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  y ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
121106, 111, 116, 120fsumless 13622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) ) )
122 chpwordi 23557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  <_  x )  ->  (ψ `  y )  <_  (ψ `  x ) )
12358, 66, 69, 122syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  (ψ `  y
)  <_  (ψ `  x
) )
12454, 70logled 23138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( y  <_  x  <->  ( log `  y
)  <_  ( log `  x ) ) )
12569, 124mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( log `  y )  <_  ( log `  x ) )
12682, 67, 83, 71, 100, 101, 123, 125lemul12ad 10508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) )  <_  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
12781, 84, 65, 72, 121, 126le2addd 10191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
12863, 85, 73, 105, 127letrd 9756 . . . . . 6  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
12964, 63, 73, 80, 128letrd 9756 . . . . 5  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) ) )  /  y )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
13062, 129eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( ( ( T.  /\  y  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  (
( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  y  <  x ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  +  ( (ψ `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )
1316, 7, 29, 34, 51, 130o1bddrp 13377 . . 3  |-  ( T. 
->  E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )
132131trud 1404 . 2  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c
133 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  c  e.  RR+ )
134 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )
135133, 134selberg3lem1 23868 . . 3  |-  ( ( c  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m )  x.  ( log `  m
) )  -  (
(ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
136135rexlimiva 2945 . 2  |-  ( E. c  e.  RR+  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  x.  ( log `  m ) )  -  ( (ψ `  y )  x.  ( log `  y
) ) )  / 
y ) )  <_ 
c  ->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  x.  (ψ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
137132, 136ax-mp 5 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  x.  (ψ `  ( x  /  n ) ) ) )  /  x ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369   T. wtru 1396    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   ...cfz 11697   |_cfl 11930   abscabs 13079   O(1)co1 13321   sum_csu 13520   logclog 23068  Λcvma 23491  ψcchp 23492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-o1 13325  df-lo1 13326  df-sum 13521  df-ef 13815  df-e 13816  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-cht 23496  df-vma 23497  df-chp 23498  df-ppi 23499
This theorem is referenced by:  selberg3  23870  selberg4  23872
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