Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  segletr Structured version   Unicode version

Theorem segletr 28058
Description: Segment less than is transitive. Theorem 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
segletr  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. E ,  F >. ) )

Proof of Theorem segletr
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprll 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
y  Btwn  <. C ,  D >. )
2 simprrr 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )
31, 2jca 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )
4 simpl1 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
5 simpl23 1063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
6 simprl 750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
7 simpl31 1064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
8 simpl32 1065 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N ) )
9 simprr 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
10 cgrxfr 27999 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. ) ) )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10syl132anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
)  ->  E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )
) )
1211adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. ) ) )
133, 12mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. ) )
14 anass 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) ) )
15 df-3an 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) )  <->  ( (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) ) )
1615anbi2i 689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) ) )
1714, 16bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  <->  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) ) )
18 simpl1 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  N  e.  NN )
19 simpl23 1063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
20 simpr1 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
y  e.  ( EE
`  N ) )
21 simpl31 1064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
22 simpl32 1065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N ) )
23 simpr3 991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  w  e.  ( EE `  N ) )
24 simpr2 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
z  e.  ( EE
`  N ) )
25 brcgr3 27990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
)  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )
2618, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25syl133anc 1236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >.  <-> 
( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )
2726anbi2d 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  <->  ( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )
2827adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )  ->  (
( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  <->  ( w  Btwn  <. E ,  z
>.  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )
29 df-3an 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )  <->  ( (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )
30 simpl33 1066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N ) )
31 simpr3l 1044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  w  Btwn  <. E , 
z >. )
32 simpr2l 1042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  z  Btwn  <. E ,  F >. )
3318, 22, 23, 24, 30, 31, 32btwnexchand 27970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  w  Btwn  <. E ,  F >. )
34 simpl21 1061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
35 simpl22 1062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
36 simpr1r 1041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)
37 simp3r1 1091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) )  ->  <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >. )
3837adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >. )
3918, 34, 35, 19, 20, 22, 23, 36, 38cgrtrand 27937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  w >. )
4033, 39jca 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. )  /\  ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\  ( <. C ,  y
>.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) )
4129, 40sylan2br 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) )  /\  (
w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) ) ) )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) )
4241expr 612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )  ->  (
( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. E ,  w >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. w ,  z >.
) )  ->  (
w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4328, 42sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N )  /\  w  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )  ->  (
( w  Btwn  <. E , 
z >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  (
w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4417, 43sylanb 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) ) )  -> 
( ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4544an32s 797 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  /\  w  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4645reximdva 2826 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  -> 
( E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  z >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. E ,  <. w ,  z >. >. )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
4713, 46mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) )
4847exp31 601 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) ) )
4948rexlimdvv 2845 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) E. z  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  ->  E. w  e.  ( EE `  N
) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
50 simp1 983 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
51 simp21 1016 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
52 simp22 1017 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
53 simp23 1018 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
54 simp31 1019 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
55 brsegle 28052 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
5650, 51, 52, 53, 54, 55syl122anc 1222 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) ) )
57 simp32 1020 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N
) )
58 simp33 1021 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N
) )
59 brsegle 28052 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) ) )
6050, 53, 54, 57, 58, 59syl122anc 1222 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z 
Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. E ,  z >.
) ) )
6156, 60anbi12d 705 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  <-> 
( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) ) )
62 reeanv 2886 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( EE
`  N ) E. z  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) )  <->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. E ,  z >. ) ) )
6361, 62syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) E. z  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  (
z  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. E ,  z
>. ) ) ) )
64 brsegle 28052 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w  Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  w >. ) ) )
6550, 51, 52, 57, 58, 64syl122anc 1222 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. E ,  F >.  <->  E. w  e.  ( EE `  N ) ( w 
Btwn  <. E ,  F >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  w >. ) ) )
6649, 63, 653imtr4d 268 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
)  /\  F  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. E ,  F >. )  ->  <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. E ,  F >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    e. wcel 1761   E.wrex 2714   <.cop 3880   class class class wbr 4289   ` cfv 5415   NNcn 10318   EEcee 23053    Btwn cbtwn 23054  Cgrccgr 23055  Cgr3ccgr3 27980    Seg<_ csegle 28050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-ee 23056  df-btwn 23057  df-cgr 23058  df-ofs 27927  df-cgr3 27985  df-segle 28051
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator