Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seglecgr12im Structured version   Unicode version

Theorem seglecgr12im 29988
Description: Substitution law for segment comparison under congruence. Theorem 5.6 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
seglecgr12im  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >. )  ->  <. E ,  F >. 
Seg<_ 
<. G ,  H >. ) )

Proof of Theorem seglecgr12im
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
2 simprlr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )
3 simpl11 1069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
4 simpl21 1072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
5 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  y  e.  ( EE `  N
) )
6 simpl22 1073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
7 simpl32 1076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  G  e.  ( EE `  N
) )
8 simpl33 1077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  H  e.  ( EE `  N
) )
9 cgrxfr 29933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( G  e.  ( EE `  N )  /\  H  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. ) ) )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9syl132anc 1244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )
) )
1110adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )
) )
121, 2, 11mp2and 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )
)
13 anass 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  <->  ( (
( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) ) )
14 simpl11 1069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
15 simpl21 1072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
16 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
17 simpl22 1073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
18 simpl32 1076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  G  e.  ( EE `  N ) )
19 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
20 simpl33 1077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  H  e.  ( EE `  N ) )
21 brcgr3 29924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( G  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. G , 
z >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. z ,  H >. ) ) )
2214, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21syl133anc 1249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. 
<->  ( <. C ,  y
>.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )
2322adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. G , 
z >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. z ,  H >. ) ) )
24 df-3an 973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) )  <->  ( ( (
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. G ,  z >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )
25 simpl23 1074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N ) )
26 simpl31 1075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N ) )
27 simpl12 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
28 simpl13 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
29 simpr1l 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
30 simpr2r 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )
3114, 27, 28, 25, 26, 15, 16, 29, 30cgrtr4and 29864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. E ,  F >.Cgr <. C ,  y
>. )
32 simpr31 1084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>. )
3314, 25, 26, 15, 16, 18, 19, 31, 32cgrtrand 29871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( <. C , 
y >.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. )
3424, 33sylan2br 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( (
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. G ,  z >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. ) ) )  ->  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. )
3534expr 613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( <. C ,  y
>.Cgr <. G ,  z
>.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <.
z ,  H >. )  ->  <. E ,  F >.Cgr
<. G ,  z >.
) )
3623, 35sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >.  ->  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) )
3736anim2d 563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
y  e.  ( EE
`  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  (
z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
3813, 37sylanb 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  (
( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  (
z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
3938an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  (
z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
4039reximdva 2929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. G ,  <. z ,  H >. >. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
4112, 40mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) )
4241expr 613 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
4342an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
4443rexlimdva 2946 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  ->  E. z  e.  ( EE `  N
) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\ 
<. E ,  F >.Cgr <. G ,  z >. ) ) )
45 simp11 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
46 simp12 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
47 simp13 1026 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
48 simp21 1027 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
49 simp22 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
50 brsegle 29986 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
5145, 46, 47, 48, 49, 50syl122anc 1235 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) ) )
5251adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >. 
<->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
53 simp23 1029 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N
) )
54 simp31 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N
) )
55 simp32 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  G  e.  ( EE `  N
) )
56 simp33 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  H  e.  ( EE `  N
) )
57 brsegle 29986 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( G  e.  ( EE `  N )  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
5845, 53, 54, 55, 56, 57syl122anc 1235 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >.  <->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z 
Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr
<. G ,  z >.
) ) )
5958adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >. 
<->  E. z  e.  ( EE `  N ) ( z  Btwn  <. G ,  H >.  /\  <. E ,  F >.Cgr <. G ,  z
>. ) ) )
6044, 52, 593imtr4d 268 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >. ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  ->  <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >. ) )
6160exp32 603 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  -> 
( <. C ,  D >.Cgr
<. G ,  H >.  -> 
( <. A ,  B >. 
Seg<_ 
<. C ,  D >.  ->  <. E ,  F >.  Seg<_  <. G ,  H >. ) ) ) )
62613impd 1208 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. G ,  H >.  /\ 
<. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >. )  ->  <. E ,  F >. 
Seg<_ 
<. G ,  H >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823   E.wrex 2805   <.cop 4022   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   NNcn 10531   EEcee 24393    Btwn cbtwn 24394  Cgrccgr 24395  Cgr3ccgr3 29914    Seg<_ csegle 29984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-ee 24396  df-btwn 24397  df-cgr 24398  df-ofs 29861  df-cgr3 29919  df-segle 29985
This theorem is referenced by:  seglecgr12  29989
  Copyright terms: Public domain W3C validator