Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  segleantisym Unicode version

Theorem segleantisym 23912
Description: Antisymmetry law for segment comparison. Theorem 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
segleantisym  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )

Proof of Theorem segleantisym
StepHypRef Expression
1 brsegle 23905 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
2 brsegle2 23906 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >.  <->  E. t  e.  ( EE `  N ) ( D  Btwn  <. C , 
t >.  /\  <. C , 
t >.Cgr <. A ,  B >. ) ) )
323com23 1162 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >.  <->  E. t  e.  ( EE `  N ) ( D  Btwn  <. C , 
t >.  /\  <. C , 
t >.Cgr <. A ,  B >. ) ) )
41, 3anbi12d 694 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >. )  <-> 
( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  E. t  e.  ( EE `  N
) ( D  Btwn  <. C ,  t >.  /\ 
<. C ,  t >.Cgr <. A ,  B >. ) ) ) )
5 reeanv 2669 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( EE
`  N ) E. t  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) )  <->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  E. t  e.  ( EE `  N
) ( D  Btwn  <. C ,  t >.  /\ 
<. C ,  t >.Cgr <. A ,  B >. ) ) )
64, 5syl6bbr 256 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( EE
`  N ) ( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) ) )
7 simpl1 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
8 simpl3l 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
9 simprr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  t  e.  ( EE `  N
) )
10 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N
) )
11 simpl3r 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
12 simprll 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  -> 
y  Btwn  <. C ,  D >. )
13 simprrl 743 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  D  Btwn  <. C ,  t
>. )
147, 8, 10, 11, 9, 12, 13btwnexchand 23823 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  -> 
y  Btwn  <. C , 
t >. )
15 simpl2l 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
16 simpl2r 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
17 simprrr 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  <. C ,  t >.Cgr <. A ,  B >. )
18 simprlr 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )
197, 8, 9, 15, 16, 8, 10, 17, 18cgrtrand 23790 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  <. C ,  t >.Cgr <. C ,  y >.
)
207, 8, 9, 10, 14, 19endofsegidand 23883 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  -> 
t  =  y )
21 opeq2 3697 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  y  ->  <. C , 
t >.  =  <. C , 
y >. )
2221breq2d 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  y  ->  ( D  Btwn  <. C ,  t
>. 
<->  D  Btwn  <. C , 
y >. ) )
2321breq1d 3930 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  y  ->  ( <. C ,  t >.Cgr <. A ,  B >.  <->  <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >. ) )
2422, 23anbi12d 694 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  y  ->  (
( D  Btwn  <. C , 
t >.  /\  <. C , 
t >.Cgr <. A ,  B >. )  <->  ( D  Btwn  <. C ,  y >.  /\ 
<. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >. ) ) )
2524anbi2d 687 . . . . . . 7  |-  ( t  =  y  ->  (
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t >.  /\ 
<. C ,  t >.Cgr <. A ,  B >. ) )  <->  ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) ) )
2625anbi2d 687 . . . . . 6  |-  ( t  =  y  ->  (
( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  <->  ( (
( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) ) ) )
27 simprrl 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  D  Btwn  <. C ,  y
>. )
287, 11, 8, 10, 27btwncomand 23812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  D  Btwn  <. y ,  C >. )
29 simprll 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  -> 
y  Btwn  <. C ,  D >. )
307, 10, 8, 11, 29btwncomand 23812 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  -> 
y  Btwn  <. D ,  C >. )
31 btwnswapid 23814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( D  Btwn  <.
y ,  C >.  /\  y  Btwn  <. D ,  C >. )  ->  D  =  y ) )
327, 11, 10, 8, 31syl13anc 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( D  Btwn  <. y ,  C >.  /\  y  Btwn  <. D ,  C >. )  ->  D  =  y ) )
3332adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  -> 
( ( D  Btwn  <.
y ,  C >.  /\  y  Btwn  <. D ,  C >. )  ->  D  =  y ) )
3428, 30, 33mp2and 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  D  =  y )
35 simprlr 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )
36 opeq2 3697 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =  y  ->  <. C ,  D >.  =  <. C , 
y >. )
3736breq2d 3932 . . . . . . . 8  |-  ( D  =  y  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. C , 
y >. ) )
3835, 37syl5ibrcom 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  -> 
( D  =  y  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
3934, 38mpd 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
4026, 39syl6bi 221 . . . . 5  |-  ( t  =  y  ->  (
( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. ) )
4120, 40mpcom 34 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. )
4241exp31 590 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( y  e.  ( EE `  N )  /\  t  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t >.  /\ 
<. C ,  t >.Cgr <. A ,  B >. ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
4342rexlimdvv 2635 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) E. t  e.  ( EE `  N
) ( ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  /\  ( D  Btwn  <. C ,  t
>.  /\  <. C ,  t
>.Cgr <. A ,  B >. ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  D >. ) )
446, 43sylbid 208 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  D >.  Seg<_  <. A ,  B >. )  ->  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510   <.cop 3547   class class class wbr 3920   ` cfv 4592   NNcn 9626   EEcee 23690    Btwn cbtwn 23691  Cgrccgr 23692    Seg<_ csegle 23903
This theorem is referenced by:  colinbtwnle  23915
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-ee 23693  df-btwn 23694  df-cgr 23695  df-ofs 23780  df-ifs 23836  df-cgr3 23837  df-colinear 23838  df-segle 23904
  Copyright terms: Public domain W3C validator