MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sectepi Structured version   Unicode version

Theorem sectepi 15024
Description: If  F is a section of  G, then  G is an epimorphism. An epimorphism that arises from a section is also known as a split epimorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sectepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
sectepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
sectepi.s  |-  S  =  (Sect `  C )
sectepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
sectepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
sectepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
sectepi.1  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
Assertion
Ref Expression
sectepi  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y E X ) )

Proof of Theorem sectepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 sectepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 14963 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2460 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
5 eqid 2460 . . 3  |-  (Sect `  (oppCat `  C ) )  =  (Sect `  (oppCat `  C ) )
6 sectepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
71oppccat 14967 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
9 sectepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
10 sectepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
11 sectepi.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
12 sectepi.s . . . . 5  |-  S  =  (Sect `  C )
132, 1, 6, 9, 10, 12, 5oppcsect 15018 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( X (Sect `  (oppCat `  C
) ) Y ) F  <->  F ( X S Y ) G ) )
1411, 13mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( X (Sect `  (oppCat `  C )
) Y ) F )
153, 4, 5, 8, 9, 10, 14sectmon 15022 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( X (Mono `  (oppCat `  C
) ) Y ) )
16 sectepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  C )
171, 6, 4, 16oppcmon 14983 . 2  |-  ( ph  ->  ( X (Mono `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y E X ) )
1815, 17eleqtrd 2550 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y E X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   Catccat 14908  oppCatcoppc 14956  Monocmon 14973  Epicepi 14974  Sectcsect 14989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-hom 14568  df-cco 14569  df-cat 14912  df-cid 14913  df-oppc 14957  df-mon 14975  df-epi 14976  df-sect 14992
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator