MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sectepi Structured version   Unicode version

Theorem sectepi 15395
Description: If  F is a section of  G, then  G is an epimorphism. An epimorphism that arises from a section is also known as a split epimorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sectepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
sectepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
sectepi.s  |-  S  =  (Sect `  C )
sectepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
sectepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
sectepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
sectepi.1  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
Assertion
Ref Expression
sectepi  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y E X ) )

Proof of Theorem sectepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 sectepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 15329 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2402 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
5 eqid 2402 . . 3  |-  (Sect `  (oppCat `  C ) )  =  (Sect `  (oppCat `  C ) )
6 sectepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
71oppccat 15333 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
9 sectepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
10 sectepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
11 sectepi.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
12 sectepi.s . . . . 5  |-  S  =  (Sect `  C )
132, 1, 6, 9, 10, 12, 5oppcsect 15389 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( X (Sect `  (oppCat `  C
) ) Y ) F  <->  F ( X S Y ) G ) )
1411, 13mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( X (Sect `  (oppCat `  C )
) Y ) F )
153, 4, 5, 8, 9, 10, 14sectmon 15393 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( X (Mono `  (oppCat `  C
) ) Y ) )
16 sectepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  C )
171, 6, 4, 16oppcmon 15349 . 2  |-  ( ph  ->  ( X (Mono `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y E X ) )
1815, 17eleqtrd 2492 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y E X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   Catccat 15276  oppCatcoppc 15322  Monocmon 15339  Epicepi 15340  Sectcsect 15355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-hom 14931  df-cco 14932  df-cat 15280  df-cid 15281  df-oppc 15323  df-mon 15341  df-epi 15342  df-sect 15358
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator