MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sectepi Structured version   Unicode version

Theorem sectepi 14739
Description: If  F is a section of  G, then  G is an epimorphism. An epimorphism that arises from a section is also known as a split epimorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sectepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
sectepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
sectepi.s  |-  S  =  (Sect `  C )
sectepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
sectepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
sectepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
sectepi.1  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
Assertion
Ref Expression
sectepi  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y E X ) )

Proof of Theorem sectepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 sectepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 14678 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2443 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
5 eqid 2443 . . 3  |-  (Sect `  (oppCat `  C ) )  =  (Sect `  (oppCat `  C ) )
6 sectepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
71oppccat 14682 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
9 sectepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
10 sectepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
11 sectepi.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( X S Y ) G )
12 sectepi.s . . . . 5  |-  S  =  (Sect `  C )
132, 1, 6, 9, 10, 12, 5oppcsect 14733 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( X (Sect `  (oppCat `  C
) ) Y ) F  <->  F ( X S Y ) G ) )
1411, 13mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( X (Sect `  (oppCat `  C )
) Y ) F )
153, 4, 5, 8, 9, 10, 14sectmon 14737 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( X (Mono `  (oppCat `  C
) ) Y ) )
16 sectepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  C )
171, 6, 4, 16oppcmon 14698 . 2  |-  ( ph  ->  ( X (Mono `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y E X ) )
1815, 17eleqtrd 2519 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y E X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   Catccat 14623  oppCatcoppc 14671  Monocmon 14688  Epicepi 14689  Sectcsect 14704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-hom 14283  df-cco 14284  df-cat 14627  df-cid 14628  df-oppc 14672  df-mon 14690  df-epi 14691  df-sect 14707
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator