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Mathbox for Stefan O'Rear |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sdrgacs | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) |
Ref | Expression |
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subrgacs.b |
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Ref | Expression |
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sdrgacs |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2461 |
. . . . . . . 8
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2 | eqid 2461 |
. . . . . . . 8
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3 | 1, 2 | issdrg2 36108 |
. . . . . . 7
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4 | 3anass 995 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | bitri 257 |
. . . . . 6
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6 | 5 | baib 919 |
. . . . 5
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7 | subrgacs.b |
. . . . . . . . . 10
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8 | 7 | subrgss 18057 |
. . . . . . . . 9
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9 | selpw 3969 |
. . . . . . . . 9
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10 | 8, 9 | sylibr 217 |
. . . . . . . 8
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11 | 10 | adantl 472 |
. . . . . . 7
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12 | iftrue 3898 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | 12 | eleq1d 2523 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 13 | biimprd 231 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | eldifsni 4110 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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16 | 15 | necon2bi 2665 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 16 | pm2.21d 110 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 14, 17 | 2thd 248 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | eldifsn 4109 |
. . . . . . . . . . . . 13
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20 | 19 | rbaibr 921 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | ifnefalse 3904 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 21 | eleq1d 2523 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 20, 22 | imbi12d 326 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 18, 23 | pm2.61ine 2718 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | ralbii2 2828 |
. . . . . . . . 9
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26 | difeq1 3555 |
. . . . . . . . . 10
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27 | eleq2 2528 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 26, 27 | raleqbidv 3012 |
. . . . . . . . 9
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29 | 25, 28 | syl5bb 265 |
. . . . . . . 8
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30 | 29 | elrab3 3208 |
. . . . . . 7
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31 | 11, 30 | syl 17 |
. . . . . 6
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32 | 31 | pm5.32da 651 |
. . . . 5
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33 | 6, 32 | bitr4d 264 |
. . . 4
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34 | elin 3628 |
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35 | 33, 34 | syl6bbr 271 |
. . 3
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36 | 35 | eqrdv 2459 |
. 2
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37 | fvex 5897 |
. . . . 5
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38 | 7, 37 | eqeltri 2535 |
. . . 4
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39 | mreacs 15612 |
. . . 4
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40 | 38, 39 | mp1i 13 |
. . 3
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41 | drngring 18030 |
. . . 4
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42 | 7 | subrgacs 36110 |
. . . 4
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43 | 41, 42 | syl 17 |
. . 3
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44 | simplr 767 |
. . . . . 6
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45 | df-ne 2634 |
. . . . . . 7
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46 | 7, 2, 1 | drnginvrcl 18040 |
. . . . . . . 8
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47 | 46 | 3expa 1215 |
. . . . . . 7
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48 | 45, 47 | sylan2br 483 |
. . . . . 6
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49 | 44, 48 | ifclda 3924 |
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50 | 49 | ralrimiva 2813 |
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51 | acsfn1 15615 |
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52 | 38, 50, 51 | sylancr 674 |
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53 | mreincl 15553 |
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54 | 40, 43, 52, 53 | syl3anc 1276 |
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55 | 36, 54 | eqeltrd 2539 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1679 ax-4 1692 ax-5 1768 ax-6 1815 ax-7 1861 ax-8 1899 ax-9 1906 ax-10 1925 ax-11 1930 ax-12 1943 ax-13 2101 ax-ext 2441 ax-rep 4528 ax-sep 4538 ax-nul 4547 ax-pow 4594 ax-pr 4652 ax-un 6609 ax-cnex 9620 ax-resscn 9621 ax-1cn 9622 ax-icn 9623 ax-addcl 9624 ax-addrcl 9625 ax-mulcl 9626 ax-mulrcl 9627 ax-mulcom 9628 ax-addass 9629 ax-mulass 9630 ax-distr 9631 ax-i2m1 9632 ax-1ne0 9633 ax-1rid 9634 ax-rnegex 9635 ax-rrecex 9636 ax-cnre 9637 ax-pre-lttri 9638 ax-pre-lttrn 9639 ax-pre-ltadd 9640 ax-pre-mulgt0 9641 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1457 df-ex 1674 df-nf 1678 df-sb 1808 df-eu 2313 df-mo 2314 df-clab 2448 df-cleq 2454 df-clel 2457 df-nfc 2591 df-ne 2634 df-nel 2635 df-ral 2753 df-rex 2754 df-reu 2755 df-rmo 2756 df-rab 2757 df-v 3058 df-sbc 3279 df-csb 3375 df-dif 3418 df-un 3420 df-in 3422 df-ss 3429 df-pss 3431 df-nul 3743 df-if 3893 df-pw 3964 df-sn 3980 df-pr 3982 df-tp 3984 df-op 3986 df-uni 4212 df-int 4248 df-iun 4293 df-iin 4294 df-br 4416 df-opab 4475 df-mpt 4476 df-tr 4511 df-eprel 4763 df-id 4767 df-po 4773 df-so 4774 df-fr 4811 df-we 4813 df-xp 4858 df-rel 4859 df-cnv 4860 df-co 4861 df-dm 4862 df-rn 4863 df-res 4864 df-ima 4865 df-pred 5398 df-ord 5444 df-on 5445 df-lim 5446 df-suc 5447 df-iota 5564 df-fun 5602 df-fn 5603 df-f 5604 df-f1 5605 df-fo 5606 df-f1o 5607 df-fv 5608 df-riota 6276 df-ov 6317 df-oprab 6318 df-mpt2 6319 df-om 6719 df-tpos 6998 df-wrecs 7053 df-recs 7115 df-rdg 7153 df-1o 7207 df-oadd 7211 df-er 7388 df-en 7595 df-dom 7596 df-sdom 7597 df-fin 7598 df-pnf 9702 df-mnf 9703 df-xr 9704 df-ltxr 9705 df-le 9706 df-sub 9887 df-neg 9888 df-nn 10637 df-2 10695 df-3 10696 df-ndx 15172 df-slot 15173 df-base 15174 df-sets 15175 df-ress 15176 df-plusg 15251 df-mulr 15252 df-0g 15388 df-mre 15540 df-mrc 15541 df-acs 15543 df-mgm 16536 df-sgrp 16575 df-mnd 16585 df-submnd 16631 df-grp 16721 df-minusg 16722 df-subg 16862 df-mgp 17772 df-ur 17784 df-ring 17830 df-oppr 17899 df-dvdsr 17917 df-unit 17918 df-invr 17948 df-drng 18025 df-subrg 18054 df-sdrg 36106 |
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