Theorem sdomsdomcardi 8423

Description: A set strictly dominates if its cardinal strictly dominates. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcardi	|- ( A ~< ( card ` B ) -> A ~< B )

Proof of Theorem sdomsdomcardi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 7722	. . . . 5 |- -. A ~< (/)
2		ndmfv 5903	. . . . . 6 |- ( -. B e. dom card -> ( card ` B ) = (/) )
3	2	breq2d 4407	. . . . 5 |- ( -. B e. dom card -> ( A ~< ( card ` B ) <-> A ~< (/) ) )
4	1, 3	mtbiri 310	. . . 4 |- ( -. B e. dom card -> -. A ~< ( card ` B ) )
5	4	con4i 135	. . 3 |- ( A ~< ( card ` B ) -> B e. dom card )
6		cardid2 8405	. . 3 |- ( B e. dom card -> ( card ` B ) ~~ B )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( A ~< ( card ` B ) -> ( card ` B ) ~~ B )
8		sdomentr 7724	. 2 |- ( ( A ~< ( card ` B ) /\ ( card ` B ) ~~ B ) -> A ~< B )
9	7, 8	mpdan 681	1 |- ( A ~< ( card ` B ) -> A ~< B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 1904   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ` cfv 5589   ~~ cen 7584   ~< csdm 7586   cardccrd 8387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-card 8391

This theorem is referenced by:  sdomsdomcard  9003