Theorem sdomsdomcardi 8369

Description: A set strictly dominates if its cardinal strictly dominates. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcardi	|- ( A ~< ( card ` B ) -> A ~< B )

Proof of Theorem sdomsdomcardi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 7668	. . . . 5 |- -. A ~< (/)
2		ndmfv 5896	. . . . . 6 |- ( -. B e. dom card -> ( card ` B ) = (/) )
3	2	breq2d 4468	. . . . 5 |- ( -. B e. dom card -> ( A ~< ( card ` B ) <-> A ~< (/) ) )
4	1, 3	mtbiri 303	. . . 4 |- ( -. B e. dom card -> -. A ~< ( card ` B ) )
5	4	con4i 130	. . 3 |- ( A ~< ( card ` B ) -> B e. dom card )
6		cardid2 8351	. . 3 |- ( B e. dom card -> ( card ` B ) ~~ B )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( A ~< ( card ` B ) -> ( card ` B ) ~~ B )
8		sdomentr 7670	. 2 |- ( ( A ~< ( card ` B ) /\ ( card ` B ) ~~ B ) -> A ~< B )
9	7, 8	mpdan 668	1 |- ( A ~< ( card ` B ) -> A ~< B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 1819   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ` cfv 5594   ~~ cen 7532   ~< csdm 7534   cardccrd 8333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-card 8337

This theorem is referenced by:  sdomsdomcard  8952