Theorem sdomsdomcardi 8364

Description: A set strictly dominates if its cardinal strictly dominates. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcardi	|- ( A ~< ( card ` B ) -> A ~< B )

Proof of Theorem sdomsdomcardi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 7661	. . . . 5 |- -. A ~< (/)
2		ndmfv 5896	. . . . . 6 |- ( -. B e. dom card -> ( card ` B ) = (/) )
3	2	breq2d 4465	. . . . 5 |- ( -. B e. dom card -> ( A ~< ( card ` B ) <-> A ~< (/) ) )
4	1, 3	mtbiri 303	. . . 4 |- ( -. B e. dom card -> -. A ~< ( card ` B ) )
5	4	con4i 130	. . 3 |- ( A ~< ( card ` B ) -> B e. dom card )
6		cardid2 8346	. . 3 |- ( B e. dom card -> ( card ` B ) ~~ B )
7	5, 6	syl 16	. 2 |- ( A ~< ( card ` B ) -> ( card ` B ) ~~ B )
8		sdomentr 7663	. 2 |- ( ( A ~< ( card ` B ) /\ ( card ` B ) ~~ B ) -> A ~< B )
9	7, 8	mpdan 668	1 |- ( A ~< ( card ` B ) -> A ~< B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 1767   (/)c0 3790   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   ` cfv 5594   ~~ cen 7525   ~< csdm 7527   cardccrd 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-card 8332

This theorem is referenced by:  sdomsdomcard  8947