MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomsdomcard Structured version   Unicode version

Theorem sdomsdomcard 8931
Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomsdomcard  |-  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  ( card `  B ) )

Proof of Theorem sdomsdomcard
StepHypRef Expression
1 relsdom 7520 . . . . 5  |-  Rel  ~<
21brrelex2i 5040 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  ->  B  e. 
_V )
3 numth3 8846 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  dom  card )
4 cardid2 8330 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  card  ->  (
card `  B )  ~~  B )
5 ensym 7561 . . . 4  |-  ( (
card `  B )  ~~  B  ->  B  ~~  ( card `  B )
)
62, 3, 4, 54syl 21 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  B  ~~  ( card `  B )
)
7 sdomentr 7648 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  ( card `  B
) )  ->  A  ~<  ( card `  B
) )
86, 7mpdan 668 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<  (
card `  B )
)
9 sdomsdomcardi 8348 . 2  |-  ( A 
~<  ( card `  B
)  ->  A  ~<  B )
108, 9impbii 188 1  |-  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  ( card `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5586    ~~ cen 7510    ~< csdm 7512   cardccrd 8312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-ac2 8839
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-recs 7039  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-card 8316  df-ac 8493
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator