MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomsdomcard Structured version   Unicode version

Theorem sdomsdomcard 8825
Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomsdomcard  |-  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  ( card `  B ) )

Proof of Theorem sdomsdomcard
StepHypRef Expression
1 relsdom 7417 . . . . 5  |-  Rel  ~<
21brrelex2i 4978 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  ->  B  e. 
_V )
3 numth3 8740 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  dom  card )
4 cardid2 8224 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  card  ->  (
card `  B )  ~~  B )
5 ensym 7458 . . . 4  |-  ( (
card `  B )  ~~  B  ->  B  ~~  ( card `  B )
)
62, 3, 4, 54syl 21 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  B  ~~  ( card `  B )
)
7 sdomentr 7545 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  ( card `  B
) )  ->  A  ~<  ( card `  B
) )
86, 7mpdan 668 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<  (
card `  B )
)
9 sdomsdomcardi 8242 . 2  |-  ( A 
~<  ( card `  B
)  ->  A  ~<  B )
108, 9impbii 188 1  |-  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  ( card `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   class class class wbr 4390   dom cdm 4938   ` cfv 5516    ~~ cen 7407    ~< csdm 7409   cardccrd 8206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-ac2 8733
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-recs 6932  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-card 8210  df-ac 8387
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator