MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomsdomcard Structured version   Unicode version

Theorem sdomsdomcard 8967
Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomsdomcard  |-  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  ( card `  B ) )

Proof of Theorem sdomsdomcard
StepHypRef Expression
1 relsdom 7561 . . . . 5  |-  Rel  ~<
21brrelex2i 4865 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  ->  B  e. 
_V )
3 numth3 8882 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  dom  card )
4 cardid2 8366 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  card  ->  (
card `  B )  ~~  B )
5 ensym 7602 . . . 4  |-  ( (
card `  B )  ~~  B  ->  B  ~~  ( card `  B )
)
62, 3, 4, 54syl 19 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  B  ~~  ( card `  B )
)
7 sdomentr 7689 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  ( card `  B
) )  ->  A  ~<  ( card `  B
) )
86, 7mpdan 666 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<  (
card `  B )
)
9 sdomsdomcardi 8384 . 2  |-  ( A 
~<  ( card `  B
)  ->  A  ~<  B )
108, 9impbii 187 1  |-  ( A 
~<  B  <->  A  ~<  ( card `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   ` cfv 5569    ~~ cen 7551    ~< csdm 7553   cardccrd 8348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-ac2 8875
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-card 8352  df-ac 8529
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator