Theorem sdomsdomcard 6000

Description: A set strictly dominates iff its cardinal strictly dominates.

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcard	|- (A ~< B <-> A ~< (card` B))

Proof of Theorem sdomsdomcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 5536	. . 3 |- (A ~< B -> (A e. _V /\ B e. _V))
2	1	simprd 352	. 2 |- (A ~< B -> B e. _V)
3		sdom0 5531	. . . 4 |- -. A ~< (/)
4		fvprc 4678	. . . . 5 |- (-. B e. _V -> (card` B) = (/))
5	4	breq2d 3350	. . . 4 |- (-. B e. _V -> (A ~< (card` B) <-> A ~< (/)))
6	3, 5	mtbiri 785	. . 3 |- (-. B e. _V -> -. A ~< (card` B))
7	6	con4i 90	. 2 |- (A ~< (card` B) -> B e. _V)
8		fvex 4689	. . . . . 6 |- (card` B) e. _V
9		sdomentr 5533	. . . . . 6 |- ((card` B) e. _V -> ((A ~< B /\ B ~~ (card` B)) -> A ~< (card` B)))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((A ~< B /\ B ~~ (card` B)) -> A ~< (card` B))
11	10	ex 402	. . . 4 |- (A ~< B -> (B ~~ (card` B) -> A ~< (card` B)))
12		cardid 5977	. . . . 5 |- (card` B) ~~ B
13		ensymg 5470	. . . . 5 |- (B e. _V -> ((card` B) ~~ B -> B ~~ (card` B)))
14	12, 13	mpi 55	. . . 4 |- (B e. _V -> B ~~ (card` B))
15	11, 14	syl5com 63	. . 3 |- (B e. _V -> (A ~< B -> A ~< (card` B)))
16		sdomentr 5533	. . . 4 |- (B e. _V -> ((A ~< (card` B) /\ (card` B) ~~ B) -> A ~< B))
17	12, 16	mpan2i 763	. . 3 |- (B e. _V -> (A ~< (card` B) -> A ~< B))
18	15, 17	impbid 574	. 2 |- (B e. _V -> (A ~< B <-> A ~< (card` B)))
19	2, 7, 18	pm5.21nii 743	1 |- (A ~< B <-> A ~< (card` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  ` cfv 3998   ~~ cen 5423   ~< csdm 5425  cardccrd 5859

This theorem is referenced by:  cardsdomel 6004

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-card 5862

Copyright terms: Public domain