MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomirr Unicode version

Theorem sdomirr 6883
Description: Strict dominance is irreflexive. Theorem 21(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sdomirr  |-  -.  A  ~<  A

Proof of Theorem sdomirr
StepHypRef Expression
1 sdomnen 6776 . . 3  |-  ( A 
~<  A  ->  -.  A  ~~  A )
2 enrefg 6779 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~~  A )
31, 2nsyl3 113 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  -.  A  ~<  A )
4 relsdom 6756 . . . 4  |-  Rel  ~<
54brrelexi 4636 . . 3  |-  ( A 
~<  A  ->  A  e. 
_V )
65con3i 129 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  A  ~<  A )
73, 6pm2.61i 158 1  |-  -.  A  ~<  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    e. wcel 1621   _Vcvv 2727   class class class wbr 3920    ~~ cen 6746    ~< csdm 6748
This theorem is referenced by:  sdomn2lp  6885  2pwuninel  6901  2pwne  6902  r111  7331  alephval2  8074  alephom  8087  csdfil  17421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752
  Copyright terms: Public domain W3C validator