MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomirr Structured version   Unicode version

Theorem sdomirr 7548
Description: Strict dominance is irreflexive. Theorem 21(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sdomirr  |-  -.  A  ~<  A

Proof of Theorem sdomirr
StepHypRef Expression
1 sdomnen 7438 . . 3  |-  ( A 
~<  A  ->  -.  A  ~~  A )
2 enrefg 7441 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~~  A )
31, 2nsyl3 119 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  -.  A  ~<  A )
4 relsdom 7417 . . . 4  |-  Rel  ~<
54brrelexi 4977 . . 3  |-  ( A 
~<  A  ->  A  e. 
_V )
65con3i 135 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  A  ~<  A )
73, 6pm2.61i 164 1  |-  -.  A  ~<  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   class class class wbr 4390    ~~ cen 7407    ~< csdm 7409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413
This theorem is referenced by:  sdomn2lp  7550  2pwuninel  7566  2pwne  7567  r111  8083  alephval2  8837  alephom  8850  csdfil  19583
  Copyright terms: Public domain W3C validator