MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomentr Structured version   Unicode version

Theorem sdomentr 7652
Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomentr  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<  C )

Proof of Theorem sdomentr
StepHypRef Expression
1 endom 7543 . 2  |-  ( B 
~~  C  ->  B  ~<_  C )
2 sdomdomtr 7651 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<  C )
31, 2sylan2 474 1  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   class class class wbr 4447    ~~ cen 7514    ~<_ cdom 7515    ~< csdm 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520
This theorem is referenced by:  sdomen2  7663  unxpdom2  7729  sucxpdom  7730  findcard3  7764  fofinf1o  7802  sdomsdomcardi  8353  cardsdomel  8356  cardmin2  8380  alephnbtwn2  8454  pwsdompw  8585  infdif2  8591  fin23lem27  8709  axcclem  8838  numthcor  8875  sdomsdomcard  8936  pwcfsdom  8959  cfpwsdom  8960  inawinalem  9068  inatsk  9157  r1tskina  9161  tskuni  9162  rucALT  13827  iunmbl2  21794  dirith2  23538  erdszelem10  28395  mblfinlem1  29904  pellex  30602
  Copyright terms: Public domain W3C validator