MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomentr Structured version   Unicode version

Theorem sdomentr 7556
Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomentr  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<  C )

Proof of Theorem sdomentr
StepHypRef Expression
1 endom 7447 . 2  |-  ( B 
~~  C  ->  B  ~<_  C )
2 sdomdomtr 7555 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~<_  C )  ->  A  ~<  C )
31, 2sylan2 474 1  |-  ( ( A  ~<  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~<  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   class class class wbr 4401    ~~ cen 7418    ~<_ cdom 7419    ~< csdm 7420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424
This theorem is referenced by:  sdomen2  7567  unxpdom2  7633  sucxpdom  7634  findcard3  7667  fofinf1o  7704  sdomsdomcardi  8253  cardsdomel  8256  cardmin2  8280  alephnbtwn2  8354  pwsdompw  8485  infdif2  8491  fin23lem27  8609  axcclem  8738  numthcor  8775  sdomsdomcard  8836  pwcfsdom  8859  cfpwsdom  8860  inawinalem  8968  inatsk  9057  r1tskina  9061  tskuni  9062  rucALT  13631  iunmbl2  21172  dirith2  22911  erdszelem10  27233  mblfinlem1  28577  pellex  29325
  Copyright terms: Public domain W3C validator