Theorem sdomen1 5544

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
sdomen1	|- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (A ~< C <-> B ~< C))

Proof of Theorem sdomen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymg 5470	. . . 4 |- (B e. D -> (A ~~ B -> B ~~ A))
2	1	imp 377	. . 3 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> B ~~ A)
3		ensdomtr 5534	. . . 4 |- ((B ~~ A /\ A ~< C) -> B ~< C)
4	3	ex 402	. . 3 |- (B ~~ A -> (A ~< C -> B ~< C))
5	2, 4	syl 12	. 2 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (A ~< C -> B ~< C))
6		ensdomtr 5534	. . . 4 |- ((A ~~ B /\ B ~< C) -> A ~< C)
7	6	adantll 428	. . 3 |- (((B e. D /\ A ~~ B) /\ B ~< C) -> A ~< C)
8	7	ex 402	. 2 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (B ~< C -> A ~< C))
9	5, 8	impbid 574	1 |- ((B e. D /\ A ~~ B) -> (A ~< C <-> B ~< C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   class class class wbr 3338   ~~ cen 5423   ~< csdm 5425

This theorem is referenced by:  sucxpdom 5998  alephval2 6050  cdafi 6086  fnctartar 15284  fnctartar2 15285

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429

Copyright terms: Public domain