MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomel Structured version   Unicode version

Theorem sdomel 7725
Description: Strict dominance implies ordinal membership. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomel  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ~<  B  ->  A  e.  B )
)

Proof of Theorem sdomel
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7622 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
21adantl 467 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
3 ontri1 5476 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  C_  A  <->  -.  A  e.  B ) )
4 domtriord 7724 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
52, 3, 43imtr3d 270 . . 3  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( -.  A  e.  B  ->  -.  A  ~<  B ) )
65con4d 108 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ~<  B  ->  A  e.  B )
)
76ancoms 454 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ~<  B  ->  A  e.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   Oncon0 5442    ~<_ cdom 7575    ~< csdm 7576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580
This theorem is referenced by:  findcard3  7820  harval2  8430  alephsuc2  8509  inawinalem  9113
  Copyright terms: Public domain W3C validator