MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomel Structured version   Unicode version

Theorem sdomel 7665
Description: Strict dominance implies ordinal membership. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomel  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ~<  B  ->  A  e.  B )
)

Proof of Theorem sdomel
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7562 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
3 ontri1 4912 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  C_  A  <->  -.  A  e.  B ) )
4 domtriord 7664 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
52, 3, 43imtr3d 267 . . 3  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( -.  A  e.  B  ->  -.  A  ~<  B ) )
65con4d 105 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ~<  B  ->  A  e.  B )
)
76ancoms 453 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  ~<  B  ->  A  e.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   Oncon0 4878    ~<_ cdom 7515    ~< csdm 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520
This theorem is referenced by:  findcard3  7764  harval2  8379  alephsuc2  8462  inawinalem  9068
  Copyright terms: Public domain W3C validator