MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdif Structured version   Unicode version

Theorem sdomdif 7584
Description: The difference of a set from a smaller set cannot be empty. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomdif  |-  ( A 
~<  B  ->  ( B 
\  A )  =/=  (/) )

Proof of Theorem sdomdif
StepHypRef Expression
1 relsdom 7442 . . . . . 6  |-  Rel  ~<
21brrelexi 4954 . . . . 5  |-  ( A 
~<  B  ->  A  e. 
_V )
3 ssdif0 3801 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  \  A )  =  (/) )
4 ssdomg 7480 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
5 domnsym 7562 . . . . . . 7  |-  ( B  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  B )
64, 5syl6 33 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  C_  A  ->  -.  A  ~<  B ) )
73, 6syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( B  \  A
)  =  (/)  ->  -.  A  ~<  B ) )
82, 7syl 16 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  ->  ( ( B  \  A )  =  (/)  ->  -.  A  ~<  B ) )
98con2d 115 . . 3  |-  ( A 
~<  B  ->  ( A 
~<  B  ->  -.  ( B  \  A )  =  (/) ) )
109pm2.43i 47 . 2  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  ( B  \  A )  =  (/) )
1110neqned 2585 1  |-  ( A 
~<  B  ->  ( B 
\  A )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    C_ wss 3389   (/)c0 3711   class class class wbr 4367    ~<_ cdom 7433    ~< csdm 7434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438
This theorem is referenced by:  domtriomlem  8735  konigthlem  8856  odcau  16741
  Copyright terms: Public domain W3C validator