MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom0 Structured version   Unicode version

Theorem sdom0 7639
Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdom0  |-  -.  A  ~< 
(/)

Proof of Theorem sdom0
StepHypRef Expression
1 relsdom 7513 . . . 4  |-  Rel  ~<
21brrelexi 5032 . . 3  |-  ( A 
~<  (/)  ->  A  e.  _V )
3 0domg 7634 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (/)  ~<_  A )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( A 
~<  (/)  ->  (/)  ~<_  A )
5 domnsym 7633 . . 3  |-  ( (/)  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  (/) )
65con2i 120 . 2  |-  ( A 
~<  (/)  ->  -.  (/)  ~<_  A )
74, 6pm2.65i 173 1  |-  -.  A  ~< 
(/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   class class class wbr 4440    ~<_ cdom 7504    ~< csdm 7505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509
This theorem is referenced by:  domunsn  7657  sdomsdomcardi  8341  canthp1lem1  9019  canthp1lem2  9020  rankcf  9144
  Copyright terms: Public domain W3C validator