Theorem sdom0 7435

Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdom0	|- -. A ~< (/)

Proof of Theorem sdom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 7309	. . . 4 |- Rel ~<
2	1	brrelexi 4874	. . 3 |- ( A ~< (/) -> A e. _V )
3		0domg 7430	. . 3 |- ( A e. _V -> (/) ~<_ A )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( A ~< (/) -> (/) ~<_ A )
5		domnsym 7429	. . 3 |- ( (/) ~<_ A -> -. A ~< (/) )
6	5	con2i 120	. 2 |- ( A ~< (/) -> -. (/) ~<_ A )
7	4, 6	pm2.65i 173	1 |- -. A ~< (/)

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   class class class wbr 4287   ~<_ cdom 7300   ~< csdm 7301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305

This theorem is referenced by:  domunsn  7453  sdomsdomcardi  8133  canthp1lem1  8811  canthp1lem2  8812  rankcf  8936