Theorem sdom0 7687

Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdom0	|- -. A ~< (/)

Proof of Theorem sdom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 7561	. . . 4 |- Rel ~<
2	1	brrelexi 4864	. . 3 |- ( A ~< (/) -> A e. _V )
3		0domg 7682	. . 3 |- ( A e. _V -> (/) ~<_ A )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( A ~< (/) -> (/) ~<_ A )
5		domnsym 7681	. . 3 |- ( (/) ~<_ A -> -. A ~< (/) )
6	5	con2i 120	. 2 |- ( A ~< (/) -> -. (/) ~<_ A )
7	4, 6	pm2.65i 173	1 |- -. A ~< (/)

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1842   _Vcvv 3059   (/)c0 3738   class class class wbr 4395   ~<_ cdom 7552   ~< csdm 7553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557

This theorem is referenced by:  domunsn  7705  sdomsdomcardi  8384  canthp1lem1  9060  canthp1lem2  9061  rankcf  9185