Theorem sdom0 7639

Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdom0	|- -. A ~< (/)

Proof of Theorem sdom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 7513	. . . 4 |- Rel ~<
2	1	brrelexi 5032	. . 3 |- ( A ~< (/) -> A e. _V )
3		0domg 7634	. . 3 |- ( A e. _V -> (/) ~<_ A )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( A ~< (/) -> (/) ~<_ A )
5		domnsym 7633	. . 3 |- ( (/) ~<_ A -> -. A ~< (/) )
6	5	con2i 120	. 2 |- ( A ~< (/) -> -. (/) ~<_ A )
7	4, 6	pm2.65i 173	1 |- -. A ~< (/)

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1762   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   class class class wbr 4440   ~<_ cdom 7504   ~< csdm 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509

This theorem is referenced by:  domunsn  7657  sdomsdomcardi  8341  canthp1lem1  9019  canthp1lem2  9020  rankcf  9144