Theorem sdom0 7735

Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdom0	|- -. A ~< (/)

Proof of Theorem sdom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 7607	. . . 4 |- Rel ~<
2	1	brrelexi 4897	. . 3 |- ( A ~< (/) -> A e. _V )
3		0domg 7730	. . 3 |- ( A e. _V -> (/) ~<_ A )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( A ~< (/) -> (/) ~<_ A )
5		domnsym 7729	. . 3 |- ( (/) ~<_ A -> -. A ~< (/) )
6	5	con2i 125	. 2 |- ( A ~< (/) -> -. (/) ~<_ A )
7	4, 6	pm2.65i 178	1 |- -. A ~< (/)

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1898   _Vcvv 3057   (/)c0 3743   class class class wbr 4418   ~<_ cdom 7598   ~< csdm 7599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603

This theorem is referenced by:  domunsn  7753  sdomsdomcardi  8436  canthp1lem1  9108  canthp1lem2  9109  rankcf  9233