MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom0 Structured version   Unicode version

Theorem sdom0 7435
Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdom0  |-  -.  A  ~< 
(/)

Proof of Theorem sdom0
StepHypRef Expression
1 relsdom 7309 . . . 4  |-  Rel  ~<
21brrelexi 4874 . . 3  |-  ( A 
~<  (/)  ->  A  e.  _V )
3 0domg 7430 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (/)  ~<_  A )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( A 
~<  (/)  ->  (/)  ~<_  A )
5 domnsym 7429 . . 3  |-  ( (/)  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  (/) )
65con2i 120 . 2  |-  ( A 
~<  (/)  ->  -.  (/)  ~<_  A )
74, 6pm2.65i 173 1  |-  -.  A  ~< 
(/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   class class class wbr 4287    ~<_ cdom 7300    ~< csdm 7301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305
This theorem is referenced by:  domunsn  7453  sdomsdomcardi  8133  canthp1lem1  8811  canthp1lem2  8812  rankcf  8936
  Copyright terms: Public domain W3C validator