MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom0 Structured version   Unicode version

Theorem sdom0 7687
Description: The empty set does not strictly dominate any set. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdom0  |-  -.  A  ~< 
(/)

Proof of Theorem sdom0
StepHypRef Expression
1 relsdom 7561 . . . 4  |-  Rel  ~<
21brrelexi 4864 . . 3  |-  ( A 
~<  (/)  ->  A  e.  _V )
3 0domg 7682 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (/)  ~<_  A )
42, 3syl 17 . 2  |-  ( A 
~<  (/)  ->  (/)  ~<_  A )
5 domnsym 7681 . . 3  |-  ( (/)  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  (/) )
65con2i 120 . 2  |-  ( A 
~<  (/)  ->  -.  (/)  ~<_  A )
74, 6pm2.65i 173 1  |-  -.  A  ~< 
(/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   (/)c0 3738   class class class wbr 4395    ~<_ cdom 7552    ~< csdm 7553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557
This theorem is referenced by:  domunsn  7705  sdomsdomcardi  8384  canthp1lem1  9060  canthp1lem2  9061  rankcf  9185
  Copyright terms: Public domain W3C validator