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Theorem sdclem2 30478
Description: Lemma for sdc 30480. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
sdc.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
sdc.2  |-  ( g  =  ( f  |`  ( M ... n ) )  ->  ( ps  <->  ch ) )
sdc.3  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ta ) )
sdc.4  |-  ( n  =  k  ->  ( ps 
<->  th ) )
sdc.5  |-  ( ( g  =  h  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ps  <->  si )
)
sdc.6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sdc.7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sdc.8  |-  ( ph  ->  E. g ( g : { M } --> A  /\  ta ) )
sdc.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( g : ( M ... k ) --> A  /\  th )  ->  E. h ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
sdc.10  |-  J  =  { g  |  E. n  e.  Z  (
g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }
sdc.11  |-  F  =  ( w  e.  Z ,  x  e.  J  |->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
sdc.12  |-  F/ k
ph
sdc.13  |-  ( ph  ->  G : Z --> J )
sdc.14  |-  ( ph  ->  ( G `  M
) : ( M ... M ) --> A )
sdc.15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  ( G `  ( w  +  1 ) )  e.  ( w F ( G `  w
) ) )
Assertion
Ref Expression
sdclem2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, k, n, w, x, A    h, J, k, w, x    f, M, g, h, k, n, w, x    ch, g    n, F, w, x    ps, f, h, k, x    si, f,
g, n, x    f, G, g, h, k, n, w, x    ph, n, w, x    th, n, w, x    h, V    ta, h, k, n, w, x   
f, Z, g, h, k, n, w, x
Allowed substitution hints:    ph( f, g, h, k)    ps( w, g, n)    ch( x, w, f, h, k, n)    th( f, g, h, k)    ta( f, g)    si( w, h, k)    F( f, g, h, k)    J( f, g, n)    V( x, w, f, g, k, n)

Proof of Theorem sdclem2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdc.12 . . 3  |-  F/ k
ph
2 sdc.13 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : Z --> J )
32ffvelrnda 6007 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  J )
4 sdc.10 . . . . . . . . 9  |-  J  =  { g  |  E. n  e.  Z  (
g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }
54eleq2i 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  k )  e.  J  <->  ( G `  k )  e.  {
g  |  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } )
6 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ g Z
7 nfv 1712 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( G `  k
) : ( M ... n ) --> A
8 nfsbc1v 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g
[. ( G `  k )  /  g ]. ps
97, 8nfan 1933 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. ps )
106, 9nfrex 2917 . . . . . . . . 9  |-  F/ g E. n  e.  Z  ( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. ps )
11 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 k )  e. 
_V
12 feq1 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( G `  k )  ->  (
g : ( M ... n ) --> A  <-> 
( G `  k
) : ( M ... n ) --> A ) )
13 sbceq1a 3335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( G `  k )  ->  ( ps 
<-> 
[. ( G `  k )  /  g ]. ps ) )
1412, 13anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( G `  k )  ->  (
( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  ( ( G `  k
) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `
 k )  / 
g ]. ps ) ) )
1514rexbidv 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( G `  k )  ->  ( E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  E. n  e.  Z  ( ( G `  k
) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `
 k )  / 
g ]. ps ) ) )
1610, 11, 15elabf 3242 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  k )  e.  { g  |  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } 
<->  E. n  e.  Z  ( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. ps ) )
175, 16bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  k )  e.  J  <->  E. n  e.  Z  ( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `  k
)  /  g ]. ps ) )
183, 17sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  E. n  e.  Z  ( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `  k
)  /  g ]. ps ) )
19 fdm 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  ->  dom  ( G `  k
)  =  ( M ... n ) )
2019adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  k
) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `
 k )  / 
g ]. ps )  ->  dom  ( G `  k
)  =  ( M ... n ) )
21 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
22 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  M  ->  ( M ... x )  =  ( M ... M
) )
2322mpteq1d 4520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  M  ->  (
m  e.  ( M ... x )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  =  ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) )
2421, 23eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  M  ->  (
( G `  x
)  =  ( m  e.  ( M ... x )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  <-> 
( G `  M
)  =  ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) )
2524imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( G `
 x )  =  ( m  e.  ( M ... x ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) )  <->  ( ph  ->  ( G `  M
)  =  ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) ) )
26 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  ( G `  x )  =  ( G `  w ) )
27 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  ( M ... x )  =  ( M ... w
) )
2827mpteq1d 4520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  (
m  e.  ( M ... x )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) )
2926, 28eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  (
( G `  x
)  =  ( m  e.  ( M ... x )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  <-> 
( G `  w
)  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) )
3029imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  ->  ( G `
 x )  =  ( m  e.  ( M ... x ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) )  <->  ( ph  ->  ( G `  w
)  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) ) )
31 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( w  + 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( w  +  1
) ) )
32 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( w  + 
1 )  ->  ( M ... x )  =  ( M ... (
w  +  1 ) ) )
3332mpteq1d 4520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( w  + 
1 )  ->  (
m  e.  ( M ... x )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  =  ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) )
3431, 33eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( G `  x
)  =  ( m  e.  ( M ... x )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  <-> 
( G `  (
w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) )
3534imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( G `
 x )  =  ( m  e.  ( M ... x ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) )  <->  ( ph  ->  ( G `  (
w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) ) )
36 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  ( G `  x )  =  ( G `  k ) )
37 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  k  ->  ( M ... x )  =  ( M ... k
) )
3837mpteq1d 4520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  (
m  e.  ( M ... x )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  =  ( m  e.  ( M ... k )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) )
3936, 38eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  k  ->  (
( G `  x
)  =  ( m  e.  ( M ... x )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  <-> 
( G `  k
)  =  ( m  e.  ( M ... k )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) )
4039imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  ( G `
 x )  =  ( m  e.  ( M ... x ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) )  <->  ( ph  ->  ( G `  k
)  =  ( m  e.  ( M ... k )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) ) )
41 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  k  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
42 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  k  ->  m  =  k )
4341, 42fveq12d 5854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  k  ->  (
( G `  m
) `  m )  =  ( ( G `
 k ) `  k ) )
44 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  =  ( m  e.  ( M ... M
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )
45 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G `  k ) `
 k )  e. 
_V
4643, 44, 45fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( M ... M )  ->  (
( m  e.  ( M ... M ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) `  k
)  =  ( ( G `  k ) `
 k ) )
4746adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... M ) )  ->  ( (
m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) `  k )  =  ( ( G `
 k ) `  k ) )
48 elfz1eq 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( M ... M )  ->  k  =  M )
4948adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... M ) )  ->  k  =  M )
5049fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... M ) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  M ) )
5150fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... M ) )  ->  ( ( G `  k ) `  k )  =  ( ( G `  M
) `  k )
)
5247, 51eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... M ) )  ->  ( ( G `  M ) `  k )  =  ( ( m  e.  ( M ... M ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) `  k
) )
5352ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... M )  ->  ( ( G `
 M ) `  k )  =  ( ( m  e.  ( M ... M ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) `  k
) ) )
541, 53ralrimi 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... M ) ( ( G `  M ) `  k
)  =  ( ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) `  k )
)
55 sdc.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G `  M
) : ( M ... M ) --> A )
56 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G `  M ) : ( M ... M ) --> A  -> 
( G `  M
)  Fn  ( M ... M ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  Fn  ( M ... M ) )
58 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G `  m ) `
 m )  e. 
_V
5958, 44fnmpti 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  Fn  ( M ... M )
60 eqfnfv 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G `  M
)  Fn  ( M ... M )  /\  ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  Fn  ( M ... M ) )  ->  ( ( G `
 M )  =  ( m  e.  ( M ... M ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  <->  A. k  e.  ( M ... M
) ( ( G `
 M ) `  k )  =  ( ( m  e.  ( M ... M ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) `  k
) ) )
6157, 59, 60sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( G `  M )  =  ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  <->  A. k  e.  ( M ... M ) ( ( G `  M ) `  k
)  =  ( ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) `  k )
) )
6254, 61mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G `  M
)  =  ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( G `  M )  =  ( m  e.  ( M ... M )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) ) )
64 sdc.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6564eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  Z  <->  w  e.  ( ZZ>= `  M )
)
662ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  ( G `  w )  e.  J )
67 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Z )
68 3simpa 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  ->  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) )
6968reximi 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  ->  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) )
7069ss2abi 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } 
C_  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }
71 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
7264, 71eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  Z  e. 
_V
73 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  F/ k  w  e.  Z
741, 73nfan 1933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  F/ k ( ph  /\  w  e.  Z )
75 sdc.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7675adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  A  e.  V )
77 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) )  ->  h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A )
78 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( M ... ( k  +  1 ) )  e. 
_V
79 elmapg 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( M ... ( k  +  1 ) )  e.  _V )  -> 
( h  e.  ( A  ^m  ( M ... ( k  +  1 ) ) )  <-> 
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A ) )
8078, 79mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( A  e.  V  ->  (
h  e.  ( A  ^m  ( M ... ( k  +  1 ) ) )  <->  h :
( M ... (
k  +  1 ) ) --> A ) )
8177, 80syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A  e.  V  ->  (
( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) )  ->  h  e.  ( A  ^m  ( M ... ( k  +  1 ) ) ) ) )
8281abssdv 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A  e.  V  ->  { h  |  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  C_  ( A  ^m  ( M ... ( k  +  1 ) ) ) )
8376, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { h  |  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  C_  ( A  ^m  ( M ... ( k  +  1 ) ) ) )
84 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A  ^m  ( M ... ( k  +  1 ) ) )  e. 
_V
85 ssexg 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( { h  |  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  C_  ( A  ^m  ( M ... (
k  +  1 ) ) )  /\  ( A  ^m  ( M ... ( k  +  1 ) ) )  e. 
_V )  ->  { h  |  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  e.  _V )
8683, 84, 85sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { h  |  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  e.  _V )
8786a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
k  e.  Z  ->  { h  |  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  e.  _V )
)
8874, 87ralrimi 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  { h  |  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  e.  _V )
89 abrexex2g 6750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  A. k  e.  Z  {
h  |  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  e.  _V )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  e.  _V )
9072, 88, 89sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  e.  _V )
91 ssexg 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  C_  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  /\  {
h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  e.  _V )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  _V )
9270, 90, 91sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  _V )
93 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  =  ( G `  w )  ->  (
x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  <->  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) )
94933anbi2d 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  ( G `  w )  ->  (
( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  <->  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )
) )
9594rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( G `  w )  ->  ( E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  <->  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )
) )
9695abbidv 2590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( G `  w )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  =  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
9796eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  ( G `  w )  ->  ( { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  _V  <->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  _V )
)
98 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( G `  w )  ->  (
w F x )  =  ( w F ( G `  w
) ) )
9998, 96eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  ( G `  w )  ->  (
( w F x )  =  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  <-> 
( w F ( G `  w ) )  =  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } ) )
10097, 99imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  ( G `  w )  ->  (
( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  _V  ->  (
w F x )  =  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )  <->  ( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  _V  ->  (
w F ( G `
 w ) )  =  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } ) ) )
101100imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  ( G `  w )  ->  (
( w  e.  Z  ->  ( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  _V  ->  (
w F x )  =  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } ) )  <->  ( w  e.  Z  ->  ( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  _V  ->  ( w F ( G `
 w ) )  =  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } ) ) ) )
102 sdc.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  F  =  ( w  e.  Z ,  x  e.  J  |->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
103102ovmpt4g 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  Z  /\  x  e.  J  /\  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  e.  _V )  ->  ( w F x )  =  {
h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) } )
1041033com12 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  J  /\  w  e.  Z  /\  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  e.  _V )  ->  ( w F x )  =  {
h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) } )
1051043exp 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  J  ->  (
w  e.  Z  -> 
( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  _V  ->  (
w F x )  =  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } ) ) )
106101, 105vtoclga 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G `  w )  e.  J  ->  (
w  e.  Z  -> 
( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  _V  ->  (
w F ( G `
 w ) )  =  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } ) ) )
10766, 67, 92, 106syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w F ( G `
 w ) )  =  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
108107, 70syl6eqss 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
w F ( G `
 w ) ) 
C_  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) } )
109 sdc.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  ( G `  ( w  +  1 ) )  e.  ( w F ( G `  w
) ) )
110108, 109sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  ( G `  ( w  +  1 ) )  e.  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) } )
111 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G `
 ( w  + 
1 ) )  e. 
_V
112 feq1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  =  ( G `  ( w  +  1
) )  ->  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  <-> 
( G `  (
w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A ) )
113 reseq1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  =  ( G `  ( w  +  1
) )  ->  (
h  |`  ( M ... k ) )  =  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) ) )
114113eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  =  ( G `  ( w  +  1
) )  ->  (
( G `  w
)  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  <->  ( G `  w )  =  ( ( G `  (
w  +  1 ) )  |`  ( M ... k ) ) ) )
115112, 114anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h  =  ( G `  ( w  +  1
) )  ->  (
( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) )  <->  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) ) : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) )  |`  ( M ... k ) ) ) ) )
116115rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  =  ( G `  ( w  +  1
) )  ->  ( E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) )  <->  E. k  e.  Z  ( ( G `  ( w  +  1
) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) ) ) ) )
117111, 116elab 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  e.  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) }  <->  E. k  e.  Z  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) )  |`  ( M ... k ) ) ) )
118110, 117sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  E. k  e.  Z  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) )  |`  ( M ... k ) ) ) )
119 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( ( G `  w )  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  ->  ( G `  ( w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) )
120 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A )
121 fzssp1 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( M ... k )  C_  ( M ... ( k  +  1 ) )
122 fssres 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( G `  (
w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( M ... k )  C_  ( M ... ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) )  |`  ( M ... k ) ) : ( M ... k ) --> A )
123120, 121, 122sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  |`  ( M ... k
) ) : ( M ... k ) --> A )
124 fdm 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( G `  (
w  +  1 ) )  |`  ( M ... k ) ) : ( M ... k
) --> A  ->  dom  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( M ... k ) )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  dom  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  |`  ( M ... k
) )  =  ( M ... k ) )
126 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )
12758, 126fnmpti 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  Fn  ( M ... w )
128 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  |`  ( M ... k
) )  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) )
129128fneq1d 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( (
( G `  (
w  +  1 ) )  |`  ( M ... k ) )  Fn  ( M ... w
)  <->  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  Fn  ( M ... w
) ) )
130127, 129mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  |`  ( M ... k
) )  Fn  ( M ... w ) )
131 fndm 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( G `  (
w  +  1 ) )  |`  ( M ... k ) )  Fn  ( M ... w
)  ->  dom  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  |`  ( M ... k
) )  =  ( M ... w ) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  dom  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  |`  ( M ... k
) )  =  ( M ... w ) )
133125, 132eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( M ... k )  =  ( M ... w ) )
134 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  k  e.  Z )
135134, 64syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
136 fzopth 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M ... k )  =  ( M ... w
)  <->  ( M  =  M  /\  k  =  w ) ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( M ... k )  =  ( M ... w
)  <->  ( M  =  M  /\  k  =  w ) ) )
138133, 137mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( M  =  M  /\  k  =  w ) )
139138simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  k  =  w )
140139oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  =  ( w  +  1 ) )
141140oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( M ... ( k  +  1 ) )  =  ( M ... ( w  +  1 ) ) )
142 elfzp1 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) )  <->  ( x  e.  ( M ... k
)  \/  x  =  ( k  +  1 ) ) ) )
143135, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) )  <->  ( x  e.  ( M ... k
)  \/  x  =  ( k  +  1 ) ) ) )
144133reseq2d 5262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( (
m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  |`  ( M ... k ) )  =  ( ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  |`  ( M ... w ) ) )
145 fzssp1 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( M ... w )  C_  ( M ... ( w  +  1 ) )
146 resmpt 5311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( M ... w ) 
C_  ( M ... ( w  +  1
) )  ->  (
( m  e.  ( M ... ( w  +  1 ) ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  |`  ( M ... w ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) )
147145, 146ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  |`  ( M ... w ) )  =  ( m  e.  ( M ... w ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )
148144, 147syl6req 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  =  ( ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  |`  ( M ... k ) ) )
149128, 148eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  |`  ( M ... k
) )  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  +  1 ) ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  |`  ( M ... k ) ) )
150149fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( (
( G `  (
w  +  1 ) )  |`  ( M ... k ) ) `  x )  =  ( ( ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  |`  ( M ... k ) ) `  x ) )
151 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( M ... k )  ->  (
( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) ) `
 x )  =  ( ( G `  ( w  +  1
) ) `  x
) )
152 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( M ... k )  ->  (
( ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  |`  ( M ... k ) ) `  x )  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) `
 x ) )
153151, 152eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  ( M ... k )  ->  (
( ( ( G `
 ( w  + 
1 ) )  |`  ( M ... k ) ) `  x )  =  ( ( ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  |`  ( M ... k ) ) `  x )  <->  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) `
 x )  =  ( ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) `  x ) ) )
154150, 153syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... k
)  ->  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) `
 x )  =  ( ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) `  x ) ) )
155140eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( x  =  ( k  +  1 )  <->  x  =  ( w  +  1
) ) )
156139, 135eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  w  e.  ( ZZ>= `  M )
)
157 peano2uz 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( w  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( w  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
158 eluzfz2 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( w  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( w  +  1 )  e.  ( M ... (
w  +  1 ) ) )
159 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( m  =  ( w  + 
1 )  ->  ( G `  m )  =  ( G `  ( w  +  1
) ) )
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( m  =  ( w  + 
1 )  ->  m  =  ( w  + 
1 ) )
161159, 160fveq12d 5854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( G `  m
) `  m )  =  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) ) `  ( w  +  1
) ) )
162 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  =  ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )
163 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) `
 ( w  + 
1 ) )  e. 
_V
164161, 162, 163fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( w  +  1 )  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  ->  (
( m  e.  ( M ... ( w  +  1 ) ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) `  (
w  +  1 ) )  =  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) `
 ( w  + 
1 ) ) )
165156, 157, 158, 1644syl 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( (
m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) `  ( w  +  1 ) )  =  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) ) `  ( w  +  1
) ) )
166165eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) `
 ( w  + 
1 ) )  =  ( ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) `  ( w  +  1
) ) )
167 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( G `  (
w  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) ) `  ( w  +  1
) ) )
168 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( m  e.  ( M ... ( w  +  1 ) ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) `  x
)  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) `  ( w  +  1 ) ) )
169167, 168eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ( G `  ( w  +  1
) ) `  x
)  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) `  x )  <->  ( ( G `  (
w  +  1 ) ) `  ( w  +  1 ) )  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) `
 ( w  + 
1 ) ) ) )
170166, 169syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( x  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( G `  (
w  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) `
 x ) ) )
171155, 170sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G `  (
w  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) `
 x ) ) )
172154, 171jaod 378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( M ... k )  \/  x  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) ) `  x )  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  +  1 ) ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) `  x
) ) )
173143, 172sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) )  ->  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) `
 x )  =  ( ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) `  x ) ) )
174173ralrimiv 2866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( ( G `
 ( w  + 
1 ) ) `  x )  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  +  1 ) ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) `  x
) )
175 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  -> 
( G `  (
w  +  1 ) )  Fn  ( M ... ( k  +  1 ) ) )
176175ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( G `  ( w  +  1 ) )  Fn  ( M ... ( k  +  1 ) ) )
17758, 162fnmpti 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  Fn  ( M ... ( w  +  1
) )
178 eqfnfv2 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( G `  (
w  +  1 ) )  Fn  ( M ... ( k  +  1 ) )  /\  ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  Fn  ( M ... ( w  + 
1 ) ) )  ->  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  +  1 ) ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  <->  ( ( M ... ( k  +  1 ) )  =  ( M ... (
w  +  1 ) )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( ( G `
 ( w  + 
1 ) ) `  x )  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  +  1 ) ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) `  x
) ) ) )
179176, 177, 178sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  <->  ( ( M ... ( k  +  1 ) )  =  ( M ... (
w  +  1 ) )  /\  A. x  e.  ( M ... (
k  +  1 ) ) ( ( G `
 ( w  + 
1 ) ) `  x )  =  ( ( m  e.  ( M ... ( w  +  1 ) ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) ) `  x
) ) ) )
180141, 174, 179mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) )  ->  ( G `  ( w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) )
181180expr 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A )  ->  (
( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  -> 
( G `  (
w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) )
182 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( G `  w )  =  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) )  |`  ( M ... k ) )  ->  ( ( G `  w )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  <->  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  |`  ( M ... k
) )  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) ) )
183182imbi1d 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G `  w )  =  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) )  |`  ( M ... k ) )  ->  ( (
( G `  w
)  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  ->  ( G `  ( w  +  1
) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) )  <->  ( (
( G `  (
w  +  1 ) )  |`  ( M ... k ) )  =  ( m  e.  ( M ... w ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  ->  ( G `  ( w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) ) )
184181, 183syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  ( G `  ( w  +  1 ) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A )  ->  (
( G `  w
)  =  ( ( G `  ( w  +  1 ) )  |`  ( M ... k
) )  ->  (
( G `  w
)  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  ->  ( G `  ( w  +  1
) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) ) ) )
185184expimpd 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( G `  ( w  +  1
) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) ) )  ->  ( ( G `  w )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  -> 
( G `  (
w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) ) )
186185ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
k  e.  Z  -> 
( ( ( G `
 ( w  + 
1 ) ) : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `  w )  =  ( ( G `
 ( w  + 
1 ) )  |`  ( M ... k ) ) )  ->  (
( G `  w
)  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  ->  ( G `  ( w  +  1
) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) ) ) ) )
18774, 119, 186rexlimd 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  ( E. k  e.  Z  ( ( G `  ( w  +  1
) ) : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  ( G `
 w )  =  ( ( G `  ( w  +  1
) )  |`  ( M ... k ) ) )  ->  ( ( G `  w )  =  ( m  e.  ( M ... w
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  -> 
( G `  (
w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  +  1
) )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) ) )
188118, 187mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  (
( G `  w
)  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  ->  ( G `  ( w  +  1
) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) ) )
189188expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  Z  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 w )  =  ( m  e.  ( M ... w ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  ->  ( G `  ( w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... (
w  +  1 ) )  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) ) ) )
19065, 189sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( G `  w )  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  ->  ( G `  ( w  +  1 ) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) ) ) )
191190a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( G `  w )  =  ( m  e.  ( M ... w )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) )  ->  ( ph  ->  ( G `  ( w  +  1
) )  =  ( m  e.  ( M ... ( w  + 
1 ) )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) ) ) )
19225, 30, 35, 40, 63, 191uzind4 11140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( G `  k
)  =  ( m  e.  ( M ... k )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) ) )
193192, 64eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  ( ph  ->  ( G `  k )  =  ( m  e.  ( M ... k )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
) ) )
194193impcom 428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( m  e.  ( M ... k
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) )
195194dmeqd 5194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  dom  ( G `  k )  =  dom  ( m  e.  ( M ... k )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) )
196 dmmptg 5487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  ( M ... k ) ( ( G `  m ) `
 m )  e. 
_V  ->  dom  ( m  e.  ( M ... k
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  =  ( M ... k
) )
19758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( M ... k )  ->  (
( G `  m
) `  m )  e.  _V )
198196, 197mprg 2817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
m  e.  ( M ... k )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  =  ( M ... k )
199195, 198syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  dom  ( G `  k )  =  ( M ... k ) )
200199eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( dom  ( G `  k
)  =  ( M ... n )  <->  ( M ... k )  =  ( M ... n ) ) )
201 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
202201, 64syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
203 fzopth 11724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M ... k )  =  ( M ... n
)  <->  ( M  =  M  /\  k  =  n ) ) )
204202, 203syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( M ... k
)  =  ( M ... n )  <->  ( M  =  M  /\  k  =  n ) ) )
205200, 204bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( dom  ( G `  k
)  =  ( M ... n )  <->  ( M  =  M  /\  k  =  n ) ) )
206 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  =  M  /\  k  =  n )  ->  k  =  n )
207205, 206syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( dom  ( G `  k
)  =  ( M ... n )  -> 
k  =  n ) )
20820, 207syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. ps )  ->  k  =  n ) )
209 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( M ... n )  =  ( M ... k
) )
210209feq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( G `  k
) : ( M ... n ) --> A  <-> 
( G `  k
) : ( M ... k ) --> A ) )
211 sdc.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( ps 
<->  th ) )
212211sbcbidv 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( [. ( G `  k
)  /  g ]. ps 
<-> 
[. ( G `  k )  /  g ]. th ) )
213210, 212anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. ps ) 
<->  ( ( G `  k ) : ( M ... k ) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. th ) ) )
214213equcoms 1800 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. ps ) 
<->  ( ( G `  k ) : ( M ... k ) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. th ) ) )
215214biimpcd 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  k
) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `
 k )  / 
g ]. ps )  -> 
( k  =  n  ->  ( ( G `
 k ) : ( M ... k
) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. th ) ) )
216208, 215sylcom 29 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. ps )  ->  ( ( G `
 k ) : ( M ... k
) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. th ) ) )
217216rexlimdvw 2949 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( E. n  e.  Z  ( ( G `  k ) : ( M ... n ) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. ps )  ->  ( ( G `
 k ) : ( M ... k
) --> A  /\  [. ( G `  k )  /  g ]. th ) ) )
21818, 217mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
) : ( M ... k ) --> A  /\  [. ( G `
 k )  / 
g ]. th ) )
219218simpld 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k ) : ( M ... k ) --> A )
220 eluzfz2 11697 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ( M ... k ) )
221202, 220syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( M ... k
) )
222219, 221ffvelrnd 6008 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
) `  k )  e.  A )
22343cbvmptv 4530 . . 3  |-  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( ( G `
 k ) `  k ) )
2241, 222, 223fmptdf 6032 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `  m ) `  m
) ) : Z --> A )
225218simprd 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  [. ( G `  k )  /  g ]. th )
226194, 225sbceq1dd 3330 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  [. (
m  e.  ( M ... k )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  /  g ]. th )
227226ex 432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  ->  [. ( m  e.  ( M ... k
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  / 
g ]. th ) )
2281, 227ralrimi 2854 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  [. ( m  e.  ( M ... k ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  /  g ]. th )
229 mpteq1 4519 . . . . . 6  |-  ( ( M ... n )  =  ( M ... k )  ->  (
m  e.  ( M ... n )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  =  ( m  e.  ( M ... k )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) ) )
230 dfsbcq 3326 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( M ... n )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  =  ( m  e.  ( M ... k )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  ->  ( [. (
m  e.  ( M ... n )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  /  g ]. ps 
<-> 
[. ( m  e.  ( M ... k
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  / 
g ]. ps ) )
231209, 229, 2303syl 20 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( [. ( m  e.  ( M ... n ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  /  g ]. ps  <->  [. ( m  e.  ( M ... k
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  / 
g ]. ps ) )
232211sbcbidv 3379 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( [. ( m  e.  ( M ... k ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  /  g ]. ps  <->  [. ( m  e.  ( M ... k
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  / 
g ]. th ) )
233231, 232bitrd 253 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  ( [. ( m  e.  ( M ... n ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  /  g ]. ps  <->  [. ( m  e.  ( M ... k
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  / 
g ]. th ) )
234233cbvralv 3081 . . 3  |-  ( A. n  e.  Z  [. (
m  e.  ( M ... n )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  /  g ]. ps 
<-> 
A. k  e.  Z  [. ( m  e.  ( M ... k ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  /  g ]. th )
235228, 234sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  [. ( m  e.  ( M ... n ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )  /  g ]. ps )
23672mptex 6118 . . 3  |-  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  e.  _V
237 feq1 5695 . . . 4  |-  ( f  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  -> 
( f : Z --> A 
<->  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `  m ) `  m
) ) : Z --> A ) )
238 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
239238resex 5305 . . . . . . 7  |-  ( f  |`  ( M ... n
) )  e.  _V
240 sdc.2 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  |`  ( M ... n ) )  ->  ( ps  <->  ch ) )
241239, 240sbcie 3359 . . . . . 6  |-  ( [. ( f  |`  ( M ... n ) )  /  g ]. ps  <->  ch )
242 reseq1 5256 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  -> 
( f  |`  ( M ... n ) )  =  ( ( m  e.  Z  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  |`  ( M ... n
) ) )
243 fzssuz 11728 . . . . . . . . . 10  |-  ( M ... n )  C_  ( ZZ>= `  M )
244243, 64sseqtr4i 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( M ... n )  C_  Z
245 resmpt 5311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M ... n ) 
C_  Z  ->  (
( m  e.  Z  |->  ( ( G `  m ) `  m
) )  |`  ( M ... n ) )  =  ( m  e.  ( M ... n
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) )
246244, 245ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Z  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  |`  ( M ... n ) )  =  ( m  e.  ( M ... n ) 
|->  ( ( G `  m ) `  m
) )
247242, 246syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  -> 
( f  |`  ( M ... n ) )  =  ( m  e.  ( M ... n
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) )
248247sbceq1d 3329 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  -> 
( [. ( f  |`  ( M ... n ) )  /  g ]. ps 
<-> 
[. ( m  e.  ( M ... n
)  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  / 
g ]. ps ) )
249241, 248syl5bbr 259 . . . . 5  |-  ( f  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  -> 
( ch  <->  [. ( m  e.  ( M ... n )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  /  g ]. ps ) )
250249ralbidv 2893 . . . 4  |-  ( f  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  -> 
( A. n  e.  Z  ch  <->  A. n  e.  Z  [. ( m  e.  ( M ... n )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  /  g ]. ps ) )
251237, 250anbi12d 708 . . 3  |-  ( f  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) )  -> 
( ( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) 
<->  ( ( m  e.  Z  |->  ( ( G `
 m ) `  m ) ) : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  [. (
m  e.  ( M ... n )  |->  ( ( G `  m
) `  m )
)  /  g ]. ps ) ) )
252236, 251spcev 3198 . 2  |-  ( ( ( m  e.  Z  |->  ( ( G `  m ) `  m
) ) : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  [. ( m  e.  ( M ... n )  |->  ( ( G `  m ) `
 m ) )  /  g ]. ps )  ->  E. f ( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
253224, 235, 252syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617   F/wnf 1621    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   [.wsbc 3324    C_ wss 3461   {csn 4016    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988    |` cres 4990    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272    ^m cmap 7412   1c1 9482    + caddc 9484   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  sdclem1  30479
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