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Theorem sdclem1 31531
Description: Lemma for sdc 31532. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
sdc.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
sdc.2  |-  ( g  =  ( f  |`  ( M ... n ) )  ->  ( ps  <->  ch ) )
sdc.3  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ta ) )
sdc.4  |-  ( n  =  k  ->  ( ps 
<->  th ) )
sdc.5  |-  ( ( g  =  h  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ps  <->  si )
)
sdc.6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sdc.7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sdc.8  |-  ( ph  ->  E. g ( g : { M } --> A  /\  ta ) )
sdc.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( g : ( M ... k ) --> A  /\  th )  ->  E. h ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
sdc.10  |-  J  =  { g  |  E. n  e.  Z  (
g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }
sdc.11  |-  F  =  ( w  e.  Z ,  x  e.  J  |->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
Assertion
Ref Expression
sdclem1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
Distinct variable groups:    f, g, h, k, n, w, x, A    h, J, k, w, x    f, M, g, h, k, n, w, x    ch, g    n, F, w, x    ps, f, h, k, x    si, f,
g, n, x    ph, n, w, x    th, n, w, x    h, V    ta, h, k, n, w, x   
f, Z, g, h, k, n, w, x    ph, g, h, k
Allowed substitution hints:    ph( f)    ps( w, g, n)    ch( x, w, f, h, k, n)    th( f, g, h, k)    ta( f, g)    si( w, h, k)    F( f, g, h, k)    J( f, g, n)    V( x, w, f, g, k, n)

Proof of Theorem sdclem1
Dummy variables  j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdc.8 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : { M } --> A  /\  ta ) )
2 sdc.10 . . . . . 6  |-  J  =  { g  |  E. n  e.  Z  (
g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }
3 sdc.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 fvex 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
53, 4eqeltri 2488 . . . . . . 7  |-  Z  e. 
_V
6 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  -> 
g : ( M ... n ) --> A )
7 sdc.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 ovex 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M ... n )  e. 
_V
9 elmapg 7472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( M ... n )  e.  _V )  -> 
( g  e.  ( A  ^m  ( M ... n ) )  <-> 
g : ( M ... n ) --> A ) )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( A  ^m  ( M ... n ) )  <-> 
g : ( M ... n ) --> A ) )
116, 10syl5ibr 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( g : ( M ... n
) --> A  /\  ps )  ->  g  e.  ( A  ^m  ( M ... n ) ) ) )
1211abssdv 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { g  |  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } 
C_  ( A  ^m  ( M ... n ) ) )
13 ovex 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ^m  ( M ... n ) )  e. 
_V
14 ssexg 4542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { g  |  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } 
C_  ( A  ^m  ( M ... n ) )  /\  ( A  ^m  ( M ... n ) )  e. 
_V )  ->  { g  |  ( g : ( M ... n
) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )
1512, 13, 14sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { g  |  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )
1615ralrimivw 2821 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  { g  |  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )
17 abrexex2g 6763 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  A. n  e.  Z  {
g  |  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )  ->  { g  |  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )
185, 16, 17sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { g  |  E. n  e.  Z  (
g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) }  e.  _V )
192, 18syl5eqel 2496 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  _V )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  J  e.  _V )
21 sdc.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  M  e.  ZZ )
23 uzid 11143 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2524, 3syl6eleqr 2503 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  M  e.  Z )
26 simprl 758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  g : { M } --> A )
27 fzsn 11782 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
2822, 27syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ( M ... M )  =  { M } )
2928feq2d 5703 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
g : ( M ... M ) --> A  <-> 
g : { M }
--> A ) )
3026, 29mpbird 234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  g : ( M ... M ) --> A )
31 simprr 760 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ta )
32 oveq2 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( M ... n )  =  ( M ... M
) )
3332feq2d 5703 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
g : ( M ... n ) --> A  <-> 
g : ( M ... M ) --> A ) )
34 sdc.3 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ta ) )
3533, 34anbi12d 711 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  ( g : ( M ... M ) --> A  /\  ta ) ) )
3635rspcev 3162 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Z  /\  ( g : ( M ... M ) --> A  /\  ta )
)  ->  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) )
3725, 30, 31, 36syl12anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) )
382abeq2i 2531 . . . . 5  |-  ( g  e.  J  <->  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) )
3937, 38sylibr 214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  g  e.  J )
403peano2uzs 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  Z  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
4140ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  Z )
42 simpr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A )
43 simpr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  si )
44 vex 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  h  e. 
_V
45 ovex 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
46 sdc.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g  =  h  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ps  <->  si )
)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( g  =  h  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ps 
<-> 
si ) ) )
4844, 45, 47sbc2iedv 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( [. h  / 
g ]. [. ( k  +  1 )  /  n ]. ps  <->  si )
)
4948ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  ( [. h  /  g ]. [. ( k  +  1 )  /  n ]. ps  <->  si ) )
5043, 49mpbird 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  [. h  /  g ]. [. (
k  +  1 )  /  n ]. ps )
51 nfv 1730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n  h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A
52 nfcv 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n h
53 nfsbc1v 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ n [. ( k  +  1 )  /  n ]. ps
5452, 53nfsbc 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n [. h  /  g ]. [. ( k  +  1 )  /  n ]. ps
5551, 54nfan 1958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  [. h  /  g ]. [. (
k  +  1 )  /  n ]. ps )
56 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ... n )  =  ( M ... (
k  +  1 ) ) )
5756feq2d 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
h : ( M ... n ) --> A  <-> 
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A ) )
58 sbceq1a 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( ps 
<-> 
[. ( k  +  1 )  /  n ]. ps ) )
5958sbcbidv 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( [. h  /  g ]. ps  <->  [. h  /  g ]. [. ( k  +  1 )  /  n ]. ps ) )
6057, 59anbi12d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps ) 
<->  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  [. h  /  g ]. [. (
k  +  1 )  /  n ]. ps ) ) )
6155, 60rspce 3157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  Z  /\  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  [. h  /  g ]. [. (
k  +  1 )  /  n ]. ps ) )  ->  E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps ) )
6241, 42, 50, 61syl12anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps ) )
632eleq2i 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  e.  J  <->  h  e.  { g  |  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } )
64 nfcv 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ g Z
65 nfv 1730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ g  h : ( M ... n ) --> A
66 nfsbc1v 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ g
[. h  /  g ]. ps
6765, 66nfan 1958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ g ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps )
6864, 67nfrex 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ g E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps )
69 feq1 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  h  ->  (
g : ( M ... n ) --> A  <-> 
h : ( M ... n ) --> A ) )
70 sbceq1a 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  h  ->  ( ps 
<-> 
[. h  /  g ]. ps ) )
7169, 70anbi12d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  h  ->  (
( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  / 
g ]. ps ) ) )
7271rexbidv 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  ( E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  / 
g ]. ps ) ) )
7368, 44, 72elabf 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  e.  { g  |  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } 
<->  E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps ) )
7463, 73bitri 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  J  <->  E. n  e.  Z  ( h : ( M ... n ) --> A  /\  [. h  /  g ]. ps ) )
7562, 74sylibr 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )  ->  h  e.  J )
7675ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  ->  h  e.  J )
)
7776rexlimdva 2898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  ->  h  e.  J ) )
7877abssdv 3515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  C_  J
)
7978ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } 
C_  J )
8019ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  J  e.  _V )
81 elpw2g 4559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  _V  ->  ( { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ~P J 
<->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  C_  J
) )
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  ( { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ~P J 
<->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  C_  J
) )
8379, 82mpbird 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ~P J )
84 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  ( M ... n )  =  ( M ... k
) )
8584feq2d 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
g : ( M ... n ) --> A  <-> 
g : ( M ... k ) --> A ) )
86 sdc.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  ( ps 
<->  th ) )
8785, 86anbi12d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) ) )
8887cbvrexv 3037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n ) --> A  /\  ps )  <->  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) )
89 sdc.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( g : ( M ... k ) --> A  /\  th )  ->  E. h ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
9089reximdva 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th )  ->  E. k  e.  Z  E. h ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )
) )
91 rexcom4 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. k  e.  Z  E. h ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  <->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )
)
9290, 91syl6ib 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th )  ->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
9388, 92syl5bi 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n
) --> A  /\  ps )  ->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
9493ss2abdv 3514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { g  |  E. n  e.  Z  (
g : ( M ... n ) --> A  /\  ps ) } 
C_  { g  |  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) } )
952, 94syl5eqss 3488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  C_  { g  |  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) } )
9695sselda 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  x  e.  { g  |  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
97 vex 3064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
98 eqeq1 2408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  x  ->  (
g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  <->  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) ) ) )
99983anbi2d 1308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  x  ->  (
( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  <->  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
10099rexbidv 2920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  x  ->  ( E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  <->  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
101100exbidv 1737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  x  ->  ( E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )  <->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... (
k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )
) )
10297, 101elab 3198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { g  |  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  <->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) )
10396, 102sylib 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )
104 abn0 3760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  =/=  (/)  <->  E. h E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) )
105103, 104sylibr 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  =/=  (/) )
106105adantlr 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  =/=  (/) )
107 eldifsn 4099 . . . . . . . . 9  |-  ( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  e.  ( ~P J  \  { (/) } )  <->  ( { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ~P J  /\  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  =/=  (/) ) )
10883, 106, 107sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  x  e.  J )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ( ~P J  \  { (/) } ) )
109108adantrl 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( w  e.  Z  /\  x  e.  J ) )  ->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ( ~P J  \  { (/)
} ) )
110109ralrimivva 2827 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  A. w  e.  Z  A. x  e.  J  { h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }  e.  ( ~P J  \  { (/) } ) )
111 sdc.11 . . . . . . 7  |-  F  =  ( w  e.  Z ,  x  e.  J  |->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
112111fmpt2 6853 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  Z  A. x  e.  J  {
h  |  E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) }  e.  ( ~P J  \  { (/) } )  <->  F : ( Z  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/)
} ) )
113110, 112sylib 198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  F : ( Z  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/) } ) )
11421iftrued 3895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  =  M )
115114fveq2d 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( ZZ>= `  M ) )
116115, 3syl6eqr 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  Z )
117116xpeq1d 4848 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  X.  J )  =  ( Z  X.  J ) )
118117feq2d 5703 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : ( ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/) } )  <->  F :
( Z  X.  J
) --> ( ~P J  \  { (/) } ) ) )
119118biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F :
( Z  X.  J
) --> ( ~P J  \  { (/) } ) )  ->  F : ( ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/) } ) )
120113, 119syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  F : ( ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/) } ) )
121 0z 10918 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
122121elimel 3949 . . . . 5  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
123 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
124122, 123axdc4uz 12136 . . . 4  |-  ( ( J  e.  _V  /\  g  e.  J  /\  F : ( ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  X.  J ) --> ( ~P J  \  { (/) } ) )  ->  E. j ( j : ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  /\  (
j `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )
12520, 39, 120, 124syl3anc 1232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  E. j
( j : (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  /\  ( j `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )
12622iftrued 3895 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  =  M )
127126fveq2d 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( ZZ>= `  M
) )
128127, 3syl6eqr 2463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  Z )
129128feq2d 5703 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
j : ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  <->  j : Z
--> J ) )
13088abbii 2538 . . . . . . . . 9  |-  { g  |  E. n  e.  Z  ( g : ( M ... n
) --> A  /\  ps ) }  =  {
g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }
1312, 130eqtri 2433 . . . . . . . 8  |-  J  =  { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }
132 feq3 5700 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  ->  ( j : Z --> J  <->  j : Z
--> { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) } ) )
133131, 132ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( j : Z --> J  <->  j : Z
--> { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) } )
134129, 133syl6bb 263 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
j : ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  <->  j : Z
--> { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) } ) )
135126fveq2d 5855 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
j `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  ( j `
 M ) )
136135eqeq1d 2406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
( j `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  <->  ( j `  M )  =  g ) )
137128raleqdv 3012 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  (
m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `  m ) )  <->  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )
138134, 136, 1373anbi123d 1303 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
( j : (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  /\  ( j `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )  <->  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) ) )
139 sdc.2 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  |`  ( M ... n ) )  ->  ( ps  <->  ch ) )
1407ad2antrr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  A  e.  V )
14121ad2antrr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
1421ad2antrr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  E. g
( g : { M } --> A  /\  ta ) )
143 simpll 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  ph )
144143, 89sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  /\  (
j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th ) }  /\  (
j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( g : ( M ... k ) --> A  /\  th )  ->  E. h ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  g  =  ( h  |`  ( M ... k
) )  /\  si ) ) )
145 nfv 1730 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)
146 nfcv 2566 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
j
147 nfcv 2566 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k Z
148 nfre1 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th )
149148nfab 2570 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }
150146, 147, 149nff 5712 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th ) }
151 nfv 1730 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( j `  M
)  =  g
152 nfcv 2566 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
m
153131, 149nfcxfr 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k J
154 nfre1 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k E. k  e.  Z  ( h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si )
155154nfab 2570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) }
156147, 153, 155nfmpt2 6349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( w  e.  Z ,  x  e.  J  |->  { h  |  E. k  e.  Z  (
h : ( M ... ( k  +  1 ) ) --> A  /\  x  =  ( h  |`  ( M ... k ) )  /\  si ) } )
157111, 156nfcxfr 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k F
158 nfcv 2566 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( j `  m
)
159152, 157, 158nfov 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( m F ( j `  m ) )
160159nfel2 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( j `  (
m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `  m ) )
161147, 160nfral 2792 . . . . . . . . 9  |-  F/ k A. m  e.  Z  ( j `  (
m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `  m ) )
162150, 151, 161nf3an 1960 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )
163145, 162nfan 1958 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  /\  (
j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th ) }  /\  (
j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )
164 simpr1 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) } )
165164, 133sylibr 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  j : Z --> J )
16626adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  g : { M } --> A )
167 simpr2 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  (
j `  M )  =  g )
168141, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  ( M ... M )  =  { M } )
169167, 168feq12d 5705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  (
( j `  M
) : ( M ... M ) --> A  <-> 
g : { M }
--> A ) )
170166, 169mpbird 234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  (
j `  M ) : ( M ... M ) --> A )
171 simpr3 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )
172 oveq1 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  (
m  +  1 )  =  ( w  + 
1 ) )
173172fveq2d 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  (
j `  ( m  +  1 ) )  =  ( j `  ( w  +  1
) ) )
174 id 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  m  =  w )
175 fveq2 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  (
j `  m )  =  ( j `  w ) )
176174, 175oveq12d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  (
m F ( j `
 m ) )  =  ( w F ( j `  w
) ) )
177173, 176eleq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  w  ->  (
( j `  (
m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `  m ) )  <->  ( j `  ( w  +  1 ) )  e.  ( w F ( j `
 w ) ) ) )
178177rspccva 3161 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  Z  ( j `  (
m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `  m ) )  /\  w  e.  Z )  ->  ( j `  (
w  +  1 ) )  e.  ( w F ( j `  w ) ) )
179171, 178sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  /\  (
j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k
) --> A  /\  th ) }  /\  (
j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1 ) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  /\  w  e.  Z )  ->  (
j `  ( w  +  1 ) )  e.  ( w F ( j `  w
) ) )
1803, 139, 34, 86, 46, 140, 141, 142, 144, 2, 111, 163, 165, 170, 179sdclem2 31530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
g : { M }
--> A  /\  ta )
)  /\  ( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  ( g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) ) )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
181180ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
( j : Z --> { g  |  E. k  e.  Z  (
g : ( M ... k ) --> A  /\  th ) }  /\  ( j `  M )  =  g  /\  A. m  e.  Z  ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) ) )
182138, 181sylbid 217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  (
( j : (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  /\  ( j `
 if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) ) )
183182exlimdv 1747 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  ( E. j ( j : ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) --> J  /\  (
j `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  =  g  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ( j `  ( m  +  1
) )  e.  ( m F ( j `
 m ) ) )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) ) )
184125, 183mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( g : { M } --> A  /\  ta ) )  ->  E. f
( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
1851, 184exlimddv 1749 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : Z --> A  /\  A. n  e.  Z  ch ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844   {cab 2389    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061   [.wsbc 3279    \ cdif 3413    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ifcif 3887   ~Pcpw 3957   {csn 3974    X. cxp 4823    |` cres 4827   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282    ^m cmap 7459   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   ...cfz 11728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-dc 8860  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729
This theorem is referenced by:  sdc  31532
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