MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scvxcvx Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem scvxcvx 23990
Description: A strictly convex function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
scvxcvx.1  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
scvxcvx.2  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
scvxcvx.3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
scvxcvx.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  x  <  y )  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( F `  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) )
Assertion
Ref Expression
scvxcvx  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <_  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
t, x, y, D    ph, a, b, t, x, y    X, a, b, t, x, y    Y, a, b, t, x, y   
t, F, x, y   
t, T
Allowed substitution hints:    T( x, y, a, b)    F( a, b)

Proof of Theorem scvxcvx
StepHypRef Expression
1 scvxcvx.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
21adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  D  C_  RR )
3 simpr1 1036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  D )
42, 3sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  RR )
54adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  X  e.  RR )
6 simpr2 1037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  D )
72, 6sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  RR )
87adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  Y  e.  RR )
95, 8lttri4d 9793 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( X  <  Y  \/  X  =  Y  \/  Y  <  X ) )
10 simprl 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  T  e.  ( 0 (,) 1 ) )
113adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  X  e.  D )
126adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  Y  e.  D )
1311, 12jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  -> 
( X  e.  D  /\  Y  e.  D
) )
14 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  X  <  Y )
15 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  ph )
16 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  <  y  <->  X  <  y ) )
17 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  (
t  x.  x )  =  ( t  x.  X ) )
1817oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )
1918fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) )
20 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
2120oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  (
t  x.  ( F `
 x ) )  =  ( t  x.  ( F `  X
) ) )
2221oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) )
2319, 22breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
2423ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
2524imbi2d 323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) ) ) )
2616, 25imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )  <->  ( X  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
27 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  <  y  <->  X  <  Y ) )
28 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  Y  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) )
2928oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  Y  ->  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y
) ) )
3029fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  ( (
t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  Y ) ) ) )
31 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  Y  ->  ( F `  y )  =  ( F `  Y ) )
3231oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  Y  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 y ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y
) ) )
3332oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  Y  ->  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y )
) ) )
3430, 33breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  Y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
3534ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  Y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
3635imbi2d 323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y )
) ) ) ) )
3727, 36imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )  <->  ( X  <  Y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) ) ) )
38 scvxcvx.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  x  <  y )  /\  t  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( F `  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) )
39383expia 1233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  x  <  y ) )  -> 
( t  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
4039ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  x  <  y ) )  ->  A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
4140expcom 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  x  <  y )  -> 
( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
42413expia 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  ( x  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) ) )
4326, 37, 42vtocl2ga 3101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X  <  Y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  Y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
4413, 14, 15, 43syl3c 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  ->  A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
45 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  T  ->  (
t  x.  X )  =  ( T  x.  X ) )
46 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  T  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  T ) )
4746oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  T  ->  (
( 1  -  t
)  x.  Y )  =  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )
4845, 47oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )
4948fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  ( F `  ( (
t  x.  X )  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  =  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) ) )
50 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  (
t  x.  ( F `
 X ) )  =  ( T  x.  ( F `  X ) ) )
5146oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 Y ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )
5250, 51oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  (
( t  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) )
5349, 52breq12d 4408 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y
) ) )  <->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
5453rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  X
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  Y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  Y
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) )
5510, 44, 54sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
5655orcd 399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  X  <  Y ) )  -> 
( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
5756expr 626 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( X  <  Y  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  \/  ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) ) )
58 unitssre 11805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
59 simpr3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6058, 59sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  RR )
6160recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  CC )
62 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
63 pncan3 9903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
6461, 62, 63sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
6564oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  Y
)  =  ( 1  x.  Y ) )
66 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
6762, 61, 66sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  T
)  e.  CC )
687recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  Y  e.  CC )
6961, 67, 68adddird 9686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  Y
)  =  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
7068mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  x.  Y
)  =  Y )
7165, 69, 703eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  =  Y )
7271fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( F `
 Y ) )
7364oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  ( F `  Y )
)  =  ( 1  x.  ( F `  Y ) ) )
74 scvxcvx.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
7574adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  F : D --> RR )
7675, 6ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  Y
)  e.  RR )
7776recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  Y
)  e.  CC )
7861, 67, 77adddird 9686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  +  ( 1  -  T
) )  x.  ( F `  Y )
)  =  ( ( T  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
7977mulid2d 9679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  x.  ( F `  Y )
)  =  ( F `
 Y ) )
8073, 78, 793eqtr3d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  =  ( F `  Y ) )
8172, 80eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
8281adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( F `  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) )
83 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  Y  ->  ( T  x.  X )  =  ( T  x.  Y ) )
8483oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  Y  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )
8584fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  Y  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( F `  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) ) )
86 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  Y  ->  ( F `  X )  =  ( F `  Y ) )
8786oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  Y  ->  ( T  x.  ( F `  X ) )  =  ( T  x.  ( F `  Y )
) )
8887oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  Y  ->  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) )
8985, 88eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  Y  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  <->  ( F `  ( ( T  x.  Y )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
9082, 89syl5ibrcom 230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( X  =  Y  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) ) )
91 olc 391 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) )  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  \/  ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) )
9290, 91syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( X  =  Y  ->  ( ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  \/  ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) ) )
93 1re 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
94 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  T  e.  RR )
95 resubcl 9958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
9693, 94, 95sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
1  -  T )  e.  RR )
97 eliooord 11719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  T  /\  T  <  1 ) )
9897simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  T  <  1 )
99 posdif 10128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( T  <  1  <->  0  <  ( 1  -  T ) ) )
10094, 93, 99sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( T  <  1  <->  0  <  ( 1  -  T ) ) )
10198, 100mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  T
) )
10297simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  0  <  T )
103 ltsubpos 10127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <  T  <->  ( 1  -  T )  <  1 ) )
10494, 93, 103sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  T  <->  ( 1  -  T )  <  1 ) )
105102, 104mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
1  -  T )  <  1 )
106 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
10793rexri 9711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR*
108 elioo2 11702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( 1  -  T
)  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
1  -  T )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  T
)  /\  ( 1  -  T )  <  1 ) ) )
109106, 107, 108mp2an 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  T )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( (
1  -  T )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  T
)  /\  ( 1  -  T )  <  1 ) )
11096, 101, 105, 109syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
1  -  T )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
111110ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( 1  -  T
)  e.  ( 0 (,) 1 ) )
1126adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  ->  Y  e.  D )
1133adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  ->  X  e.  D )
114112, 113jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( Y  e.  D  /\  X  e.  D
) )
115 simprr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  ->  Y  <  X )
116 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  ->  ph )
117 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  <  y  <->  Y  <  y ) )
118 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  Y  ->  (
t  x.  x )  =  ( t  x.  Y ) )
119118oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  Y  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )
120119fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  ( F `  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) )
121 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  Y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  Y ) )
122121oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  Y  ->  (
t  x.  ( F `
 x ) )  =  ( t  x.  ( F `  Y
) ) )
123122oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) )
124120, 123breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
125124ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )
126125imbi2d 323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) ) ) )
127117, 126imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )  <->  ( Y  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
128 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  ( Y  <  y  <->  Y  <  X ) )
129 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  X  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( ( 1  -  t )  x.  X ) )
130129oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  X  ->  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  X
) ) )
131130fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  ( (
t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  X ) ) ) )
132 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  y )  =  ( F `  X ) )
133132oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  X  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 y ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X
) ) )
134133oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  X  ->  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X )
) ) )
135131, 134breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  X ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X ) ) ) ) )
136135ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  X  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  X ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X ) ) ) ) )
137136imbi2d 323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  (
( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X )
) ) ) ) )
138128, 137imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  X  ->  (
( Y  <  y  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) ) ) )  <->  ( Y  <  X  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X
) ) ) ) ) ) )
139127, 138, 42vtocl2ga 3101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  D  /\  X  e.  D )  ->  ( Y  <  X  ->  ( ph  ->  A. t  e.  ( 0 (,) 1
) ( F `  ( ( t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  X ) ) )  <  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X ) ) ) ) ) )
140114, 115, 116, 139syl3c 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  ->  A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X
) ) ) )
141 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
t  x.  Y )  =  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )
142 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  ( 1  -  T
) ) )
143142oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  X )  =  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X ) )
144141, 143oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  X
) ) )
145144fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  ( F `  ( (
t  x.  Y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  =  ( F `  ( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  X ) ) ) )
146 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
t  x.  ( F `
 Y ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )
147142oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 X ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  ( F `  X
) ) )
148146, 147oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
( t  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( F `  X )
) ) )
149145, 148breq12d 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( 1  -  T )  ->  (
( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X
) ) )  <->  ( F `  ( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  X ) ) )  <  (
( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  ( F `  X ) ) ) ) )
150149rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  T )  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( A. t  e.  (
0 (,) 1 ) ( F `  (
( t  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  X ) ) )  <  ( ( t  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  X
) ) )  -> 
( F `  (
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X ) ) )  <  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  ( F `  X
) ) ) ) )
151111, 140, 150sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( F `  (
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X ) ) )  <  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  ( F `  X
) ) ) )
152 nncan 9923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
15362, 61, 152sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
154153oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  X
)  =  ( T  x.  X ) )
155154oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  X ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  Y )  +  ( T  x.  X ) ) )
15693, 60, 95sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  -  T
)  e.  RR )
157156, 7remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  e.  RR )
158157recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  e.  CC )
15960, 4remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  x.  X
)  e.  RR )
160159recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  x.  X
)  e.  CC )
161158, 160addcomd 9853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( T  x.  X ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
162155, 161eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  X ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
163162adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  Y )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  X ) )  =  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )
164163fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( F `  (
( ( 1  -  T )  x.  Y
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  T ) )  x.  X ) ) )  =  ( F `
 ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) ) )
165153oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( F `  X )
)  =  ( T  x.  ( F `  X ) ) )
166165oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  ( F `
 X ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( F `
 Y ) )  +  ( T  x.  ( F `  X ) ) ) )
167156, 76remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
)  e.  RR )
168167recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
)  e.  CC )
16975, 3ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  RR )
17060, 169remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  x.  ( F `  X )
)  e.  RR )
171170recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  x.  ( F `  X )
)  e.  CC )
172168, 171addcomd 9853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) )  +  ( T  x.  ( F `
 X ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
173166, 172eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  ( F `
 X ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
174173adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) )  +  ( ( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  ( F `
 X ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
175151, 164, 1743brtr3d 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) )
176175orcd 399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 (,) 1 )  /\  Y  <  X ) )  -> 
( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
177176expr 626 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  ( Y  <  X  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  \/  ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) ) )
17857, 92, 1773jaod 1358 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( X  <  Y  \/  X  =  Y  \/  Y  <  X )  ->  ( ( F `
 ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )  < 
( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
1799, 178mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  e.  ( 0 (,) 1
) )  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  \/  ( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) ) ) )
180179ex 441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  ( ( F `
 ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )  < 
( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
181 elpri 3976 . . . 4  |-  ( T  e.  { 0 ,  1 }  ->  ( T  =  0  \/  T  =  1 ) )
18277addid2d 9852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  +  ( F `  Y ) )  =  ( F `
 Y ) )
183169recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  CC )
184183mul02d 9849 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  x.  ( F `  X )
)  =  0 )
185184, 79oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 0  x.  ( F `  X
) )  +  ( 1  x.  ( F `
 Y ) ) )  =  ( 0  +  ( F `  Y ) ) )
1864recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  X  e.  CC )
187186mul02d 9849 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  x.  X
)  =  0 )
188187, 70oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 0  x.  X )  +  ( 1  x.  Y ) )  =  ( 0  +  Y ) )
18968addid2d 9852 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  +  Y
)  =  Y )
190188, 189eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 0  x.  X )  +  ( 1  x.  Y ) )  =  Y )
191190fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( 0  x.  X
)  +  ( 1  x.  Y ) ) )  =  ( F `
 Y ) )
192182, 185, 1913eqtr4rd 2516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( 0  x.  X
)  +  ( 1  x.  Y ) ) )  =  ( ( 0  x.  ( F `
 X ) )  +  ( 1  x.  ( F `  Y
) ) ) )
193 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  0  ->  ( T  x.  X )  =  ( 0  x.  X ) )
194 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =  0  ->  (
1  -  T )  =  ( 1  -  0 ) )
195 1m0e1 10742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
196194, 195syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  0  ->  (
1  -  T )  =  1 )
197196oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  0  ->  (
( 1  -  T
)  x.  Y )  =  ( 1  x.  Y ) )
198193, 197oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  0  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( 0  x.  X )  +  ( 1  x.  Y
) ) )
199198fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( T  =  0  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( F `  ( ( 0  x.  X )  +  ( 1  x.  Y ) ) ) )
200 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  0  ->  ( T  x.  ( F `  X ) )  =  ( 0  x.  ( F `  X )
) )
201196oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  0  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( F `
 Y ) )  =  ( 1  x.  ( F `  Y
) ) )
202200, 201oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( T  =  0  ->  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  =  ( ( 0  x.  ( F `  X ) )  +  ( 1  x.  ( F `  Y )
) ) )
203199, 202eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( T  =  0  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  <->  ( F `  ( ( 0  x.  X )  +  ( 1  x.  Y ) ) )  =  ( ( 0  x.  ( F `  X )
)  +  ( 1  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
204192, 203syl5ibrcom 230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  =  0  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
205183addid1d 9851 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( F `  X )  +  0 )  =  ( F `
 X ) )
206183mulid2d 9679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  x.  ( F `  X )
)  =  ( F `
 X ) )
20777mul02d 9849 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  x.  ( F `  Y )
)  =  0 )
208206, 207oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  x.  ( F `  X
) )  +  ( 0  x.  ( F `
 Y ) ) )  =  ( ( F `  X )  +  0 ) )
209186mulid2d 9679 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1  x.  X
)  =  X )
21068mul02d 9849 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0  x.  Y
)  =  0 )
211209, 210oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  x.  X )  +  ( 0  x.  Y ) )  =  ( X  +  0 ) )
212186addid1d 9851 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( X  +  0 )  =  X )
213211, 212eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 1  x.  X )  +  ( 0  x.  Y ) )  =  X )
214213fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( 1  x.  X
)  +  ( 0  x.  Y ) ) )  =  ( F `
 X ) )
215205, 208, 2143eqtr4rd 2516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( 1  x.  X
)  +  ( 0  x.  Y ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( F `
 X ) )  +  ( 0  x.  ( F `  Y
) ) ) )
216 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  1  ->  ( T  x.  X )  =  ( 1  x.  X ) )
217 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =  1  ->  (
1  -  T )  =  ( 1  -  1 ) )
218 1m1e0 10700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
219217, 218syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  1  ->  (
1  -  T )  =  0 )
220219oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  1  ->  (
( 1  -  T
)  x.  Y )  =  ( 0  x.  Y ) )
221216, 220oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  1  ->  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) )  =  ( ( 1  x.  X )  +  ( 0  x.  Y
) ) )
222221fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( T  =  1  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( F `  ( ( 1  x.  X )  +  ( 0  x.  Y ) ) ) )
223 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  1  ->  ( T  x.  ( F `  X ) )  =  ( 1  x.  ( F `  X )
) )
224219oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  1  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( F `
 Y ) )  =  ( 0  x.  ( F `  Y
) ) )
225223, 224oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( T  =  1  ->  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( F `  X ) )  +  ( 0  x.  ( F `  Y )
) ) )
226222, 225eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( T  =  1  ->  (
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `
 X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y
) ) )  <->  ( F `  ( ( 1  x.  X )  +  ( 0  x.  Y ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( F `  X )
)  +  ( 0  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
227215, 226syl5ibrcom 230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  =  1  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
228204, 227jaod 387 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  =  0  \/  T  =  1 )  ->  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) ) )
229181, 228, 91syl56 34 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  e.  {
0 ,  1 }  ->  ( ( F `
 ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y
) ) )  < 
( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
230 0le1 10158 . . . . . 6  |-  0  <_  1
231 prunioo 11787 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  0  <_ 
1 )  ->  (
( 0 (,) 1
)  u.  { 0 ,  1 } )  =  ( 0 [,] 1 ) )
232106, 107, 230, 231mp3an 1390 . . . . 5  |-  ( ( 0 (,) 1 )  u.  { 0 ,  1 } )  =  ( 0 [,] 1
)
23359, 232syl6eleqr 2560 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  T  e.  ( (
0 (,) 1 )  u.  { 0 ,  1 } ) )
234 elun 3565 . . . 4  |-  ( T  e.  ( ( 0 (,) 1 )  u. 
{ 0 ,  1 } )  <->  ( T  e.  ( 0 (,) 1
)  \/  T  e. 
{ 0 ,  1 } ) )
235233, 234sylib 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( T  e.  ( 0 (,) 1 )  \/  T  e.  {
0 ,  1 } ) )
236180, 229, 235mpjaod 388 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) )
237 scvxcvx.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
2381, 237cvxcl 23989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) )  e.  D )
23975, 238ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  e.  RR )
240170, 167readdcld 9688 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  e.  RR )
241239, 240leloed 9795 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <_  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  <-> 
( ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  <  (
( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) )  \/  ( F `  ( ( T  x.  X )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  Y ) ) )  =  ( ( T  x.  ( F `  X )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y ) ) ) ) ) )
242236, 241mpbird 240 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  D  /\  Y  e.  D  /\  T  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( T  x.  X
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  Y ) ) )  <_  ( ( T  x.  ( F `  X ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( F `  Y )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    u. cun 3388    C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667
This theorem is referenced by:  amgmlem  23994
  Copyright terms: Public domain W3C validator