Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scott0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem scott0 8375
 Description: Scott's trick collects all sets that have a certain property and are of the smallest possible rank. This theorem shows that the resulting collection, expressed as in Equation 9.3 of [Jech] p. 72, contains at least one representative with the property, if there is one. In other words, the collection is empty iff no set has the property (i.e. is empty). (Contributed by NM, 15-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
scott0
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem scott0
StepHypRef Expression
1 rabeq 3024 . . 3
2 rab0 3756 . . 3
31, 2syl6eq 2521 . 2
4 n0 3732 . . . . . . . 8
5 nfre1 2846 . . . . . . . . 9
6 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
7 rspe 2844 . . . . . . . . . 10
86, 7mpan2 685 . . . . . . . . 9
95, 8exlimi 2015 . . . . . . . 8
104, 9sylbi 200 . . . . . . 7
11 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
12 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12
1312anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11
1411, 13spcev 3127 . . . . . . . . . 10
1514eximi 1715 . . . . . . . . 9
16 excom 1944 . . . . . . . . 9
1715, 16sylibr 217 . . . . . . . 8
18 df-rex 2762 . . . . . . . 8
19 df-rex 2762 . . . . . . . . 9
2019exbii 1726 . . . . . . . 8
2117, 18, 203imtr4i 274 . . . . . . 7
2210, 21syl 17 . . . . . 6
23 abn0 3754 . . . . . 6
2422, 23sylibr 217 . . . . 5
2511dfiin2 4304 . . . . . 6
26 rankon 8284 . . . . . . . . . 10
27 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10
2826, 27mpbiri 241 . . . . . . . . 9
2928rexlimivw 2869 . . . . . . . 8
3029abssi 3490 . . . . . . 7
31 onint 6641 . . . . . . 7
3230, 31mpan 684 . . . . . 6
3325, 32syl5eqel 2553 . . . . 5
34 nfii1 4300 . . . . . . . . 9
3534nfeq2 2627 . . . . . . . 8
36 eqeq1 2475 . . . . . . . 8
3735, 36rexbid 2891 . . . . . . 7
3837elabg 3174 . . . . . 6
3938ibi 249 . . . . 5
40 ssid 3437 . . . . . . . . . 10
41 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
4241sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11
4342rspcev 3136 . . . . . . . . . 10
4440, 43mpan2 685 . . . . . . . . 9
45 iinss 4320 . . . . . . . . 9
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8
47 sseq1 3439 . . . . . . . 8
4846, 47syl5ib 227 . . . . . . 7
4948ralrimiv 2808 . . . . . 6
5049reximi 2852 . . . . 5
5124, 33, 39, 504syl 19 . . . 4
52 rabn0 3755 . . . 4
5351, 52sylibr 217 . . 3
5453necon4i 2678 . 2
553, 54impbii 192 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   wss 3390  c0 3722  cint 4226  ciin 4270  con0 5430  cfv 5589  crnk 8252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-r1 8253  df-rank 8254 This theorem is referenced by:  scott0s  8377  cplem1  8378  karden  8384  scott0f  32476
 Copyright terms: Public domain W3C validator